иррациональные уравнения какой класс
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие иррационального уравнения;
2) понятие иррационального неравенства;
3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;
4) методы решения иррациональных неравенств.
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Рассмотрим виды иррациональных уравнений
В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.
Из него следует, что а≥0, тогда 
Для нашего случая получим
или 
Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е. 
По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:
следовательно, решений нет
Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Решим уравнение: 
Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:
, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня 
, а у первоначального уравнения только один корень х=4.
Подчеркните корни данного уравнения
Решим данное уравнение.
Решите уравнение: 
Рассмотрим область определения функций:
Иррациональные уравнения в курсе девятилетней школы
Разделы: Математика
C простейшими иррациональными уравнениями я знакомлю учащихся в 8 классе после изучения темы “Квадратные корни. Арифметический квадратный корень” (п. 11). Затем на протяжении всего школьного курса продолжаю решать с учащимися эти уравнения, постепенно добавляя новые типы уравнений после изучения соответствующего материала в учебнике. Отдельных уроков на изучение иррациональных уравнений я не выделяю. Отработка навыков решения идёт:
а) в устных упражнениях, где, в основном повторяется алгоритм решения уже знакомых уравнений;
б) в письменных заданиях в классной работе;
в) в домашней работе.
При выполнении письменных упражнений обычно одно иррациональное уравнение решаю у доски я, затем одно уравнение – вызываю решить кого-нибудь из учащихся, аналогичное уравнение подбираю для задания на дом.
Такая работа проводится не на каждом уроке, это зависит от изучаемой темы, но всё же у учащихся постепенно вырабатывается навык решения иррациональных уравнений.
Итак, первое знакомство с иррациональными уравнениями происходит при работе по учебнику “Алгебра” (авторы Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией Теляковского), 8 класс, п. 11: “Квадратные корни. Арифметический квадратный корень”.
На первом уроке рассматривается весь теоретический материал, решаются упражнения типа №№ 287,288,289,291,293.
На втором уроке, при повторении теоретического материала, опять обращается внимание на тот факт, что равенство 
= в является верным, если выполняется два условия:
и на тот факт, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство: () 2 = а. Желательно на доске оставить такую запись:
(
) 2 = а,
Ещё лучше – вывесить эти формулы на стенде: “К уроку математики ”.
Решаются упражнения: №№ 295, 296, 297, 300, 301.
Решение упражнений №№ 300,301 (фрагмент урока):
а): “При каком значении переменной верно равенство: 
= 11?”.
Решение: (используем определение арифметического квадратного корня)
п. б), в), г) учащиеся решают у доски.
п. д), е) ученики решают каждый самостоятельно с последующей проверкой.
б) 10 = 3,
= 
,
1) > 0,
х = 
.
Ответ: х = .
д) 5- = 0,
= 5,
е) 2 + = 0,
б) 
= 0.
х = 
,
В данных уравнениях переменная стоит под знаком корня. Такие уравнения называются иррациональными (записываем определение в тетрадь). Далее (устно) учащиеся выбирают из записанных на доске уравнений иррациональные:
| а) 2х + 1 = 10. | г) = 3. |
| б) | х | = 5. | д)  · (х – 1) = 15. |
| в) 20: (х + 4) = 5. |
Ответ: пункт г) т. к. только здесь переменная содержится под знаком корня.
Домашнее задание: №№ 298,299,301 б),458 (а,г,д).
На последующих уроках в устных упражнениях можно решить следующие задания:
1) Показать, что число 7 является корнем уравнения:
2) Решить уравнение:
На дом можно добавлять к основному заданию уравнения типа: 
= 4; 
= 3.
После изучения темы “Уравнение х 2 = а ” (п.12) даю для решения такое уравнение:
= 5.
На дом уравнение: 
= 9.
В п. 16 “Квадратный корень из степени” рассматривается формула: 
= | х |.
На втором уроке после работы с данной формулой можно предложить следующие уравнения:
4) 
= 10,
= 10,
К основному домашнему заданию добавляю уравнения :
= 5 ; 
= 6.
Затем в 8 классе изучается тема “Решение квадратных уравнений по формуле”. В конце изучения темы я всегда предлагаю решить такие иррациональные уравнения:
а) 
= х – 5. Выражение х – 5 не может быть отрицательным:
Но решать неравенства мы ещё не умеем. Будем поступать так: решим уравнение и сделаем проверку.
= х – 5, [ 1 ]
х 1,2 = 
,
= х – 5,
= 8 – 5,
х = 8 является корнем уравнения.
= х – 5,
= 3 – 5,
х = 3 не является корнем уравнения.
Как решить это уравнение – показываю у доски я сама.
= х. (Ответ: 2) [ 2 ]
х +
. (Ответ: 3) [ 1 ]
Из дополнительных упражнений можно решить № 458 (б,в),№ 459.
№ 458. Решить уравнение:
б)  . | (Ответ:  ), | в)  . | (Ответ:  ). |
№ 459. Решить уравнение: 
.
1) 2 > 0, 
, 
.
2) 3 > 0, 
, 
, 
.
, 
,
— равенство верно.
В конце 8 класса изучается тема “Неравенства”.
Можно дать такой способ решения иррациональных уравнений:
= х – 2. [ 1 ]
х 1,2 = 
, х 1 = 5, х 2 = 1.
С помощью проверки решаем уравнения:
Так как у учащихся появляются навыки нахождения области определения функции вида: у = 
; у = 
и т.п., то можно предложить учащимся следующие задания:
1) Решить уравнение:
(х 2 – 9) ·  = 0, | ||
| х 2 – 9 = 0, | или | = 0, |
| х = ± 3. | 2 – х = 0, | |
| х = 2. |
Так обычно многие учащиеся и записывают ответ: х = ± 3, х = 2.
2) вместо проверки найти те значения х, которые можно подставлять в выражение
.2 – х >= 0, х 2 = 3 сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.
г) 
.
2) 4 – х >= 0, если х 2 – 24 – 2 
Эту замену учащиеся “видят ” без помощи учителя.
2 способ. Он более рациональный, я обязательно показываю его школьникам.
Пусть 
, тогда (
, х 2 – 24 = а 2
Данное уравнение имеет вид:
Аналогично решаются уравнения:
4) х 2 + 11 + 
. (Ответ: х = ± 5).
В 9 классе я продолжаю учить ребят работе с тестами. В них включаю следующее задание. [ 4 ]
Вычислить: х 3 +2х, где х – корень уравнения 3 + 
.
Ответ указан в пункте 5).
Так же в 9 классе даю решить несколько уравнений, содержащих два радикала:
— 
= 0. (Ответ: 6).
= 2 + 
. (Ответ: 7).
. (Ответ: 4).
— = 1. (Нет решений).
К концу девятилетнего обучения в школе у учащихся уже сформированы начальные навыки решения иррациональных уравнений. В 10 классе их остаётся развить и углубить, решая по учебнику уравнения из раздела “Повторение”.
В 11 классе появляется больше времени на решение нестандартных иррациональных уравнений, а так же на решение иррациональных неравенств, не входящих в школьный курс, но постоянно встречающихся на выпускных и вступительных экзаменах.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие иррационального уравнения;
2) понятие иррационального неравенства;
3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;
4) методы решения иррациональных неравенств.
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Рассмотрим виды иррациональных уравнений
В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.
Из него следует, что а≥0, тогда
Для нашего случая получим
или
Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.
По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:
следовательно, решений нет
Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Решим уравнение:
Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:
, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.
Подчеркните корни данного уравнения
Решим данное уравнение.
Решите уравнение:
Рассмотрим область определения функций: