Что удерживает протоны в ядре

15 самых интригующих фактов об атомах

Все во Вселенной — от ядра Земли до самых дальних галактик — состоит из атомов. Это фундаментальная единица элемента.

К настоящему времени было идентифицировано 118 элементов (все они перечислены в периодической таблице).

Слово «атом», означающее «неделимый», происходит от древнегреческого слова «ἄτομος». Древнегреческие философы считали, что атом невозможно разделить на что-то меньшее. Однако ученые доказали этот факт неправильно в начале 20 века, когда они открыли субатомные частицы (электроны, протоны, нейтроны).

Ниже мы перечислили некоторые из наиболее интригующих фактов об атомах, которые только сделают вас умнее. Так что давайте начнем с самого короткого и простого.

1. Состав атомов

Каждый атом содержит одно ядро ​​[в центре] и один или несколько электронов. Ядро обычно состоит из равного числа протонов и нейтронов, вместе называемых нуклонами.

2. Ядро содержит почти всю массу

Ядро, расположенное в центре атома, составляет более 99,9 % его массы, но занимает лишь одну триллионную его общего объема. Таким образом, большая часть пространства внутри атома пуста.

3. Электроны чрезвычайно малы

Электрон является наиболее активным компонентом атома, но он почти ничего не вносит в массу атома. Например, в атоме водорода масса электрона составляет всего 0,0005 массы ядра.

4. Атом может иметь электрический заряд

Электроны несут отрицательный заряд, протоны несут положительный заряд, а нейтроны не имеют электрического заряда. Атом электрически нейтрален, если он имеет одинаковое количество электронов и протонов.

Однако, если атом имеет меньше или больше протонов, чем электронов, он имеет общий положительный или отрицательный заряд (известный как Ион).

5. Что удерживает протоны и нейтроны вместе?

Ядерная сила удерживает протоны и нейтроны вместе в ядре атома. Электроны притягиваются к протонам другой силой, называемой электромагнитной силой, которая слабее ядерной силы.

6. 94 Атома естественного происхождения на Земле

Из 118 известных атомов 94 встречаются в природе, хотя некоторые встречаются в незначительных количествах. Остальные 24 были синтезированы только в лабораториях или ядерных реакторах.

7. Каждый атом уникален

Каждый атом содержит определенное количество протонов в ядре. Например, все атомы натрия содержат 11 протонов, а все атомы серебра содержат 47 протонов.

Изотоп элемента определяется числом нейтронов, а магнитные характеристики зависят от количества электронов в атоме.

8. Самый большой и самый маленький атом

Самым большим элементом (по размеру) является Франций, но поскольку он крайне нестабилен, предпочтение отдается Цезию. У него большая валентная оболочка и относительно менее эффективный заряд ядра.

Иллюстрация атома гелия | Предоставлено: Викимедиа.

9. Самый тяжелый и легкий атом

Оганессон, однако, является самым тяжелым синтетическим химическим элементом. Самым тяжелым природным элементом является Уран с атомным весом 238,029.

Элемент, который имеет самый легкий атом-это водород. У него есть только один протон, обращающийся вокруг одного электрона. Его самый распространенный изотоп, известный как Протий, состоит из одного протона и нулевых нейтронов.

10. Возможно ли преобразовать один элемент в другой?

В некоторых экстремальных условиях электромагнитная сила (которая отталкивает электроны и протоны) преодолевает сильную ядерную силу, выбрасывая нуклоны из атомного ядра и оставляя после себя совершенно другой элемент. Это именно то, что происходит при делении ядер.

Однако этот процесс [распада] является дорогостоящим и опасным. Ученые пока не смогли безопасно генерировать энергию с помощью ядерного деления.

11. Атомы в человеческом теле

Тело человека весом 70 кг состоит из 7 × 10 27 атомов. Три атома (водород, кислород и углерод) составляют до 99 процентов от общего количества.

12. Сколько атомов существует во Вселенной?

Наблюдаемая вселенная огромна: она охватывает приблизительно 93 миллиарда световых лет. Согласно теоретической оценке, в нашей вселенной насчитывается от 10 78 до 10 82 атомов.

Это не какой-то выдуманный номер. Расчеты основаны на достоверных данных (что мы знаем о вселенной). Однако между этими оценками существует огромная разница, что говорит о значительной степени ошибки. Более точные цифры будут доступны, когда мы узнаем больше о космосе.

13. Радиоактивные атомы

В нестабильном атоме силы неуравновешенны. В этом случае атомное ядро содержит избыток либо протонов, либо нейтронов. Атом пытается достичь стабильного состояния, выбрасывая свои дополнительные частицы или высвобождая энергию в других формах. Элементы, содержащие такие нестабильные ядра, называются радиоактивными.

Фермий, например, является радиоактивным элементом: его самый стабильный изотоп (Fm-257) имеет период полураспада 100,5 суток.

14. Видя атомы

Поскольку атомы невероятно малы по сравнению с длиной волны видимого света, их нельзя наблюдать даже с самым мощным в мире оптическим микроскопом.

Сканирующий туннельный микроскоп захватывает атомы кремния на поверхности кристаллического карбида кремния

Вот почему ученые используют микроскоп другого типа, известный как сканирующий туннельный микроскоп. Он может обеспечить боковое разрешение 0,1 нм и разрешение по глубине 0,01 нм, что достаточно для изображения отдельных атомов в материалах.

15. Квантовая природа атомных свойств

Поскольку атомы чрезвычайно малы по размеру, они проявляют квантовые свойства, поэтому предсказание их поведения с применением классической физики всегда приведет к неверным результатам.

Когда электрон прыгает с одного энергетического уровня (орбиты) на другой, он не перемещается в пространстве между ними. Вместо этого он исчезает с одной орбиты, а затем сразу же появляется на другой орбите.

Чтобы лучше описать и оценить их поведение, несколько атомных моделей включили в себя законы квантовой физики.

Источник

Внутри атомного ядра: сильное и слабое

Читавшие статью про устройство атомов в «Квантике» № 11 за 2018 год знают, что любое вещество состоит всего из трёх типов элементарных частиц — протонов, нейтронов и электронов. Протоны и нейтроны — тяжёлые, гораздо тяжелее электронов. Они образуют ядра атомов, а электроны летают вокруг этих ядер, совсем улететь им не даёт электрическое притяжение протонов: протоны имеют положительный заряд, а электроны — отрицательный, и все частицы с зарядами одного знака отталкиваются друг от друга, а с зарядами разных знаков — притягиваются.

Задача 1

Размер атома в этой модели (10 −10 : 10 −15 ) · 1 мм = 10 5 мм = 100 м. Размер вируса (10 −7 : 10 −15 ) · 1 мм = 10 8 мм = 100 км.

Эти «сильные силы» действительно очень велики, иначе ядра не удерживались бы и разваливались. Ведь протоны в них все «отпихиваются» друг от друга электрическими силами. К тому же нуклоны в ядре не стоят на месте, а быстро движутся. Попробуйте втроём-вчетвером взяться за руки и начать беспорядочно прыгать и метаться туда-сюда. Удержать друг друга и не расцепить руки будет гораздо сложнее, чем если бы все спокойно водили хоровод.

Радиоактивность

И всё же иногда сильного взаимодействия не хватает, чтобы удержать ядро, и оно разваливается на части. Это называется распад ядра, или радиоактивный распад, а элементы, или изотопы (помните, что это?), которые норовят распасться, называются радиоактивными. В большинстве атомов вокруг нас ядра устойчивые и никогда не развалятся. Разве что по ядру очень сильно стукнет, например, ещё один протон или нейтрон (это будет вынужденный распад). Они такие стабильные потому, что в них правильное соотношение протонов и нейтронов: у лёгких ядер — протонов и нейтронов примерно поровну, а у тяжёлых — нейтронов чуть больше; чем тяжелее ядро, тем больше доля нейтронов (проверьте по таблице Менделеева). Но ядру вредно быть очень толстым: если протонов в нём совсем много (больше 82), то устойчивой конфигурации уже нет: сколько нейтронов ни клади, ядро развалится.

Если соотношение протонов и нейтронов «неудачное», ядро рано или поздно распадётся. Некоторые, правда, могут перед этим прожить многие миллиарды лет, а другие не проживут и долю секунды. Ядро может развалиться на пару ядер поустойчивей и полегче, но чаще всего от него просто откалывается небольшой кусочек — обычно два протона и два нейтрона, то есть как раз ядро атома гелия. Ядро гелия \(<>^<4>_<2>\mathrm\) иначе называется альфа-частицей, а распад с испусканием этой частицы — альфа-распадом. Вот пример такой ядерной реакции:

Здесь ядро урана превращается в ядро тория.

Задача 2

Вспомните, что значат числа, стоящие возле символа элемента, и проверьте, что ни один протон или нейтрон в этом процессе не пострадал.

Вверху слева — массовое число, то есть число нуклонов (протоны + нейтроны) в ядре, внизу слева — заряд ядра, то есть число протонов.

Задача 3

Источник

Ядра атомов: в самом сердце материи

Рис. 1

Ядро атома получается крохотным, его радиус в 10 000–100 000 раз меньше всего атома. Каждое ядро содержит определённое количество протонов (обозначим его Z) и определённое количество нейтронов (обозначим его N), скреплённых вместе в виде шарика, по размеру не сильно превышающего сумму их размеров. Отметим, что протоны и нейтроны вместе часто называют «нуклонами», а Z+N часто называют A – общее количество нуклонов в ядре. Также Z, «атомное число» – количество электронов в атоме.

Типичное мультяшное изображение атома (рис. 1) чрезвычайно преувеличивает размер ядра, но более-менее правильно представляет ядро как небрежно соединённое скопление протонов и нейтронов.

Содержимое ядра

Откуда нам известно, что находится в ядре? Эти крохотные объекты просто охарактеризовать (и это было просто исторически) благодаря трём фактам природы.

1. Протон и нейтрон отличаются по массе всего лишь на тысячную часть, так что если нам не нужна чрезвычайная точность, можно сказать, что у всех нуклонов масса одинакова, и назвать её массой нуклона, m_нуклон:

(≈ означает «примерно равно»)

2. Количество энергии, необходимой для удержания вместе протонов и нейтронов в ядре, относительно мало – порядка тысячной доли части энергии массы (E = mc 2 ) протонов и нейтронов, так что масса ядра почти равна сумме масс его нуклонов:

3. Масса электрона равняется 1/1835 массы протона – так что почти вся масса атома содержится в его ядре:

Тут подразумевается наличие четвёртого важного факта: все атомы определённого изотопа определённого элемента одинаковы, как и все их электроны, протоны и нейтроны.

Поскольку в самом распространённом изотопе водорода содержится один электрон и один протон:

масса атома M_атом определённого изотопа просто равна Z+N, помноженному на массу атома водорода

и погрешность этих уравнений примерно равна 0,1%.

Поскольку нейтроны электрически нейтральны, электрический заряд Q_ядро ядра просто равен количеству протонов, помноженному на электрический заряд протона («e»):

В отличие от предыдущих уравнений, это уравнение выполняется точно.

Эти уравнения проиллюстрированы на рис. 2

Рис. 2

Используя открытия последних десятилетий XIX века и первых десятилетий XX, физики знали, как измерить в эксперименте оба обозначенных красным значения: заряд ядра в e, и массу любого атома в атомах водорода. Так что эти значения были известны уже в 1910-х. Однако правильно интерпретировать их смогли только в 1932 году, когда Джеймс Чедвик определил, что нейтрон (идею которого предложил Эрнест Резерфорд в 1920-м) является отдельной частицей. Но как только стало понятно, что нейтроны существуют, и что их масса практически равна массе протона, сразу же стало ясно, как интерпретировать числа Z и N — количество протонов и нейтронов. А также сразу родилась новая загадка – почему у протонов и нейтронов почти одинаковая масса.

Честно говоря, физикам того времени с научной точки зрения страшно повезло, что всё это было так легко установить. Закономерности масс и зарядов настолько просты, что даже самые долгие загадки были раскрыты сразу после открытия нейтрона. Если бы хотя бы один из перечисленных мною фактов природы оказался неверным, тогда на то, чтобы понять, что происходит внутри атомов и их ядер, ушло бы гораздо больше времени.

Рис. 3

Откуда нам известно, что ядро атома маленькое?

Одно дело – убедить себя, что определённое ядро определённого изотопа содержит Z протонов и N нейтронов; другое – убедить себя, что ядра атомов крохотные, и что протоны с нейтронами, будучи сжатыми вместе, не размазываются в кашу и не разбалтываются в месиво, а сохраняют свою структуру, как подсказывает нам мультяшное изображение. Как это можно подтвердить?

Я уже упоминал, что атомы практически пусты. Это легко проверить. Представьте себе алюминиевую фольгу; сквозь неё ничего не видно. Поскольку она непрозрачная, вы можете решить, что атомы алюминия:
1. Настолько крупные, что между ними нет просветов,
2. Настолько плотные и твёрдые, что свет сквозь них не проходит.

Насчёт первого пункта вы будете правы; в твёрдом веществе между двумя атомами почти нет свободного пространства. Это можно наблюдать на изображениях атомов, полученных при помощи особых микроскопов; атомы похожи на маленькие сферы (краями которых служат края электронных облаков), и они довольно плотно упакованы. Но со вторым пунктом вы ошибётесь.

Рис. 4

Если бы атомы были непроницаемыми, тогда сквозь алюминиевую фольгу ничто не смогло бы пройти – ни фотоны видимого света, ни рентгеновские фотоны, ни электроны, ни протоны, ни атомные ядра. Всё, что вы направили бы в сторону фольги, либо застревало бы в ней, либо отскакивало бы – точно так же, как любой кинутый объект должен отскочить или застрять в гипсокартонной стенке (рис. 3). Но на самом деле электроны высокой энергии легко могут пройти через кусочек алюминиевой фольги, как и рентгеновские фотоны, высокоэнергетические протоны, высокоэнергетические нейтроны, высокоэнергетические ядра, и так далее. Электроны и другие частицы – почти все, если точнее – могут пройти через материал, не потеряв ни энергии, ни импульса в столкновениях с чем-либо, содержащимся внутри атомов. Лишь малая часть их ударится об атомное ядро или электрон, и в этом случае они могут потерять большую часть своей начальной энергии движения. Но большая часть электронов, протонов, нейтронов, рентгеновских лучей и всякого такого просто спокойно пройдут насквозь (рис. 4). Это не похоже на швыряние гальки в стену; это похоже на швыряние гальки в сетчатый забор (рис. 5).

Рис. 5

Чем толще фольга – к примеру, если складывать всё больше и больше листов фольги вместе – тем вероятнее частицы, запущенные в неё, столкнуться с чем-либо, потеряют энергию, отскочат, изменят направление движения или даже остановятся. То же было бы верно, если бы вы наслаивали одну за другой проволочные сетки (рис. 6). И, как вы понимаете, из того, насколько далеко средняя галька может проникнуть сквозь слои сетки и насколько велики разрывы в сетке, учёные могут подсчитать на основании пройденной электронами или атомными ядрами дистанции, насколько атом пустой.

Рис. 6

Посредством таких экспериментов физики начала XX века установили, что внутри атома ничто – ни атомное ядро, ни электроны – не может быть большим, чем одна тысячная миллионных миллионных долей метра, то есть в 100 000 раз меньше самого атома. То, что такого размера достигает ядро, а электроны по меньшей мере в 1000 раз меньше, мы устанавливаем в других экспериментах – например, в рассеянии высокоэнергетических электронов друг с друга, или с позитронов.

Чтобы быть ещё более точным, следует упомянуть, что некоторые частицы потеряют часть энергии в процессе ионизации, в котором электрические силы, действующие между летящей частицей и электроном, могут вырвать электрон из атома. Это дальнодействующий эффект, и столкновением на самом деле не является. Итоговая потеря энергии значительна для летящих электронов, но не для летящего ядра.

Вы можете задуматься над тем, похоже ли то, как частицы проходят сквозь фольгу, на то, как пуля проходить сквозь бумагу – расталкивая части бумаги в стороны. Возможно, первые несколько частиц просто расталкивают атомы в стороны, оставляя большие отверстия, через которые проходят последующие? Мы знаем, что это не так, поскольку мы можем провести эксперимент, в котором частицы проходят внутрь и наружу контейнера, сделанного из металла или стекла, внутри которого вакуум. Если бы частица, проходя через стенки контейнера, создавала отверстия по размеру превышающие атомы, тогда внутрь устремились бы молекулы воздуха, и вакуум бы исчез. Но в таких экспериментах вакуум остаётся!

Также довольно легко определить, что ядро – это не особенно структурированная кучка, внутри которой нуклоны сохраняют свою структуру. Об этом уже можно догадаться по тому факту, что масса ядра очень близка к сумме масс содержащихся в нём протонов и нейтронов. Это выполняется и для атомов, и для молекул – их массы почти равны сумме масс их содержимого, кроме небольшой коррекции на связывающую энергию – и это отражено в том факте, что молекулы довольно легко разбить на атомы (к примеру, нагрев их так, чтобы они сильнее сталкивались друг с другом), и выбить электроны из атомов (опять-таки, при помощи нагрева). Сходным образом относительно легко разбить ядра на части, и этот процесс будет называться расщеплением, или собрать ядро из более мелких ядер и нуклонов, и этот процесс будет называться синтезом. К примеру, относительно медленно двигающиеся протоны или небольшие ядра, сталкивающиеся с более крупным ядром, могут разбить его на части; нет необходимости, чтобы сталкивающиеся частицы двигались со скоростью света.

Рис. 7

Но чтобы понять, что это не является неизбежным, упомяну, что этими свойствами не обладают сами протоны и нейтроны. Масса протона не равняется примерной сумме масс содержащихся в нём объектов; протон нельзя разбить на части; а для того, чтобы протон продемонстрировал что-нибудь интересное, необходимы энергии, сравнимые с энергией массы самого протона. Молекулы, атомы и ядра относительно просты; протоны и нейтроны чрезвычайно сложны.

Источник

Как работают атомы

Что удерживает электрон в атоме на орбите атомного ядра?

На первый взгляд, особенно если смотреть на мультяшную версию атома, описанную мною ранее со всеми её недостатками, электроны, двигающиеся по орбите вокруг ядра, выглядят так же, как планеты, двигающиеся по орбите вокруг Солнца. И вроде бы принцип этих процессов одинаков. Но есть подвох.

Что удерживает планеты на орбите вокруг Солнца? В Ньютоновской гравитации (Эйнштейновская сложнее, но тут она нам не нужна) любая пара объектов притягивается друг к другу посредством гравитационного взаимодействия, пропорционального произведению их масс. В частности, гравитация Солнца притягивает к нему планеты (с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. То есть, если расстояние уменьшается вдвое, сила увеличивается вчетверо). Планеты тоже притягивают Солнце, но оно настолько тяжёлое, что это почти не влияет на его движение.

Инерция, тенденция объектов к перемещению по прямым линиям в случае отсутствия действия на них других сил, работает против гравитационного притяжения, и в результате планеты двигаются вокруг Солнца. Это видно на рис.1, где изображена круговая орбита. Обычно эти орбиты эллиптические – хотя в случае планет они почти круглые, поскольку так формировалась Солнечная система. Для различных мелких камней (астероидов) и глыб льда (комет), двигающихся по орбитам вокруг Солнца, это уже не так.

Сходным образом все пары электрически заряженных объектов притягиваются или отталкиваются друг от друга, с силой, тоже обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Но, в отличие от гравитации, которая всегда притягивает объекты вместе, электрические силы могут как притягивать, так и отталкивать. Объекты, обладающие одинаковыми, положительными или отрицательными зарядами, отталкиваются. А отрицательно заряженный объект притягивает положительно заряженный объект, и наоборот. Отсюда и романтическая фраза «противоположности притягиваются».

Поэтому положительно заряженное атомное ядро в центре атома притягивает легковесные электроны, двигающиеся на задворках атома, к себе, примерно как Солнце притягивает планеты. Электроны тоже притягивают ядро, но масса ядер настолько больше, что их притяжение почти не влияет на ядро. Электроны также отталкиваются друг от друга, что является одной из причин, по которым они не любят проводить время близко друг к другу. Можно было бы считать, что электроны в атоме перемещаются по орбитам вокруг ядра примерно так же, как планеты перемещаются вокруг Солнца. И на первый взгляд, именно так они и поступают, особенно в мультяшном атоме.

Но вот, в чём подвох: на самом деле, это двойной подвох, и каждый из двух подвохов оказывает эффект, противоположный другому, в результате чего они взаимно уничтожаются!

Двойной подвох: как атомы отличаются от планетных систем

Первый подвох: в отличие от планет, электроны, двигающиеся по орбитам вокруг ядра, должны излучать свет (точнее, электромагнитные волны, одним из примеров которых служит свет). А это излучение должно заставлять электроны замедляться и по спирали падать на ядро. В принципе, в теории Эйнштейна существует схожий эффект – планеты могут испускать гравитационные волны. Но он чрезвычайно мал. В отличие от случая с электронами. Получается, что электроны в атоме должны очень быстро, за малую долю секунды, по спирали упасть на ядро!

И они бы так и сделали, если бы не квантовая механика. Потенциальная катастрофа изображена на рис. 2.

Второй подвох: но наш мир работает согласно принципам квантовой механики! А у неё есть свой удивительный и контринтуитивный принцип неопределённости. Этот принцип, описывающий тот факт, что электроны – это такие же волны, как и частицы, заслуживает своей собственной статьи. Но вот, что нам нужно знать о нём для сегодняшней статьи. Общее следствие этого принципа состоит в том, что невозможно знать все характеристики объекта одновременно. Существуют наборы характеристик, для которых измерение одной из них делает другие неопределёнными. Один из случаев – это местоположение и скорость таких частиц, как электроны. Если вы точно знаете, где находится электрон, вы не знаете, куда он направляется, и наоборот. Можно достичь компромисса и с некоторой точностью знать, где он, и с некоторой точностью знать, куда он направляется. В атоме так всё и получается.

Допустим, электрон по спирали падает на ядро, как на рис. 2. В процессе его падения нам всё точнее и точнее будет известно его местоположение. Тогда принцип неопределённости говорит нам, что его скорость будет становиться всё более и более неопределённой. Но если электрон остановится на ядре, его скорость не будет неопределённой! Поэтому он не может остановиться. Если он вдруг попробует упасть вниз по спирали, ему придётся всё быстрее и быстрее передвигаться случайным образом. И это увеличение скорости уведёт электрон в сторону от ядра!

Так что тенденция падения по спирали будет нейтрализована тенденцией к более быстрому движению согласно принципу неопределённости. Баланс находится, когда электрон располагается на предпочтительном расстоянии от ядра, и это расстояние определяет размер атомов!

Если электрон изначально находится далеко от ядра, он будет двигаться к нему по спирали, как показано на рис. 2, и излучать электромагнитные волны. Но в результате его расстояние от ядра станет достаточно малым для того, чтобы принцип неопределённости запретил дальнейшее сближение. На этом этапе, когда найден баланс между излучением и неопределённостью, электрон организует стабильную «орбиту» вокруг ядра (точнее, орбиталь – этот термин выбран, чтобы подчеркнуть, что в отличие от планет, у электрона из-за квантовой механики нет таких орбит, какие есть у планет). Радиус орбитали определяет радиус атома (рис. 3).

Ещё одна особенность – принадлежность электронов к фермионам – заставляет электроны не спускаться до одного радиуса, и выстраиваться по орбиталям разных радиусов.

Насколько атомы крупные? Приближение на основе принципа неопределённости

На самом деле мы можем примерно оценить размер атома, используя только расчёты для электромагнитных взаимодействий, массу электрона и принцип неопределённости. Для простоты проделаем расчёты для атома водорода, где ядро состоит из одного протона, вокруг которого двигается один электрон.

где ℏ — это постоянная Планка h, делённая на 2 π. Обратите внимание, он говорит, что (Δ v) (Δ x) не может быть слишком малым, что означает, что обе определённости не могут быть слишком малыми, хотя одна из них может быть очень малой, если другая будет очень большой.

Когда атом устанавливается в предпочтительном основном состоянии, мы можем ожидать, что знак ≥ превратится в знак

B означает, что «A и B не совсем равны, но и не сильно отличаются». Это очень полезный символ для оценок!

Для атома водорода в основном состоянии, в котором неопределённость положения Δx будет примерно равна радиусу атома R, а неопределённость скорости Δv будет примерно равна типичной скорости V движения электрона вокруг атома, мы получим:

Как узнать R и V? Между ними и силой, удерживающей атом вместе, существует взаимоотношение. В неквантовой физике объект массы m, находящийся на круговой орбите радиуса r, и двигающийся со скоростью v вокруг центрального объекта, притягивающего его с силой F, будет удовлетворять уравнению

где k – константа Кулона, e – единица заряда, c – скорость света, ℏ — это постоянная Планка h, делённая на 2 π, а α – определённая нами постоянная тонкой структуры, равная . Совместим два предыдущих уравнения для F, и оценочное соотношение получается следующим:

Теперь применим это к атому, где v → V, r → R, и m → m_e. Также умножим верхнее уравнение на . Это даёт:

На последнем шаге мы использовали наше соотношение неопределённости для атома, . Теперь можно вычислить радиус атома R:

И это оказывается практически точным! Такие простые оценки не дадут вам точных ответов, но очень хорошее приближение обеспечат!

Источник