Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ алгСбраичСскиС дополнСния

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Если Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ n-Π³ΠΎ порядка Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ k строк ΠΈ k столбцов, Ρ‚ΠΎ элСмСнты, стоящиС Π½Π° пСрСсСчСнии ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… строк ΠΈ столбцов, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ порядка k. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ k-Π³ΠΎ порядка.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, стоящиС Π½Π° пСрСсСчСнии ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ (n-k) строк ΠΈ (n-k) столбцов, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ порядка (n-k). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ называСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ Mk. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Mn-k.

АлгСбраичСским Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Mk Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€, взятый со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ β€œ+” ΠΈΠ»ΠΈ β€œ-” Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π° сумма Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² всСх строк ΠΈ столбцов, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… располоТСн ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Mk.

Если k=1, Ρ‚ΠΎ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ элСмСнту aik вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° k-Π³ΠΎ порядка Π½Π° Π΅Π³ΠΎ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² опрСдСлитСля Dn.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Вычислим алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ Mk. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ,

Π‘Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Mk

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, (1)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (2)

ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Mn-k

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, (3)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (4)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ (1) ΠΈ (3), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.(5)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ состоит ΠΈΠ· n элСмСнтов, располоТСнных Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… строках ΠΈ столбцах опрСдСлитСля D. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ опрСдСлитСля D. Π—Π½Π°ΠΊ произвСдСния (5) опрСдСляСтся суммой инвСрсий Π² подстановках (2) ΠΈ (4), Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ D опрСдСляСтся числом инвСрсий sk Π² подстановкС

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ равСнству (*), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Mk An-k состоит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² опрСдСлитСля.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Лапласа. Если Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ n-Π³ΠΎ порядка Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ k строк (ΠΈΠ»ΠΈ k столбцов) 1Β£kΒ£n-1, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ всСх ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² k-Π³ΠΎ порядка, содСрТащихся Π² Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… строках, Π½Π° ΠΈΡ… алгСбраичСскиС дополнСния Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ D.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

БлСдствиС (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ опрСдСлитСля ΠΏΠΎ строкС). Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ элСмСнтов Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ строки опрСдСлитСля Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ алгСбраичСскиС дополнСния Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

(Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π² качСствС упраТнСния.)

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ элСмСнтов i-ΠΎΠΉ строки опрСдСлитСля Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ алгСбраичСскиС дополнСния ΠΊ элСмСнтам j-ΠΎΠΉ строки (iΒΉj) Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.

(Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π² качСствС упраТнСния.)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Лапласа (ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ 2 ΠΈ 3 строкам).

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹= Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹=

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ послСднСму столбцу.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹7 Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π£Π΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ слСдствиС ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Лапласа ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ свойств Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· строк (ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· столбцов) всС элСмСнты, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΈ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΈ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ Mij ΠΊ элСмСнту aij опрСдСлитСля n-Π³ΠΎ порядка являСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ (nβˆ’1)-Π³ΠΎ порядка, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлитСля послС ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ i-Ρ‚ΠΎΠΉ строки ΠΈ j-Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ столбца.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· опрСдСлСния, ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ прСдставляСт собой ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ остаСтся послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ строку ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ столбСц. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, M12 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ устранСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строки ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ столбца. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ M34 слСдуСт Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ строку ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΉ столбСц.

Найти ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, слСдуя Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ:

ΠžΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎ! Если ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠ»Π°Π³ΠΈΠ°Ρ‚ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, Π½Π΅ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ (Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ отчислСния). Если Π½Π΅Ρ‚ возмоТности Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ самому, Π·Π°ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΡƒΡ‚.

ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ дСйствия ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ алгСбраичСского дополнСния ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ понятия, основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт какая-Ρ‚ΠΎ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ»ΠΈ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° n-Π³ΠΎ порядка:

\(ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ \ M_ \ элСмСнта \ a_ \ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \ A_\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, которая получаСтся ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ устранСния i-ΠΉ строки ΠΈ j-Π³ΠΎ столбца, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ располоТСны Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… пСрСсСчСниС совпадаСт с элСмСнтом \(a_.\)

Π’ качСствС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ достаточно просто Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ для вычислСния ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядков. РасчСт Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ элСмСнта \(a_<32>\) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 579, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(M_<32>=579\)

НСрСдко Π² тСматичСской Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ вмСсто Β«ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ элСмСнта ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹Β» ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»ΡΡŽΡ‚ понятиС Β«ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ элСмСнта опрСдСлитСля». Бмысл выраТСния сохраняСтся. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для вычислСния ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° элСмСнта \(a_\) трСбуСтся ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлитСля i-ю строку ΠΈ j-ΠΉ столбСц. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ, слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт собой ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ элСмСнта \(a_.\)

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ элСмСнта \(a_<12>\) опрСдСлитСля:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ цСлСсообразно с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для расчСта ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядков:

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ элСмСнта \(a_<12>\) составит 83, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(M_<12>=83\)

Π³Π΄Π΅ \(M_\) являСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ элСмСнта \(a_.\)

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ элСмСнта \(a_<32>\) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ алгСбраичСских Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ трСбуСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ расчСт ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ вычислСниСм нСпосрСдствСнно дополнСния. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Ссли трСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ \(A_<12>\) ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

НСобходимо Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ справСдливоС равСнство:

Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ \(M_<12>\) Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строки ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ столбца ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ лишнСС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°. Достаточно сразу Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для алгСбраичСского дополнСния \(A_<12>\) :

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

РСшСниС ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ алгСбраичСских Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ алгСбраичСскиС дополнСния Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ количСство строк Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ совпадаСт с количСством столбцов. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, записана ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°:

Π’ рассматриваСмой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ m строк ΠΈ n столбцов. ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ k-Π³ΠΎ порядка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A_\) прСдставляСт собой ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ с элСмСнтами, располоТСнными Π½Π° пСрСсСчСнии k строк ΠΈ k столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом k≀ m ΠΈ k≀ n.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ:

МоТно Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ для Π½Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка. Для этого слСдуСт ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ строки ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ столбца рассматриваСмой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ для расчСта строки β„–2, β„–4, β„–6 ΠΈ столбцы β„–1, β„–2, β„–4. Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ строки ΠΈ столбцы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ мСстС, Π³Π΄Π΅ располоТСны элСмСнты искомого ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°.

\(M=\left|\begin 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end \right|.\)

РасполоТСниС ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с пСрСсСчСниСм ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ строки ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ столбца. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ равСнство ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка элСмСнтам рассматриваСмой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ k-Π³ΠΎ порядка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A_=(a_)\) являСтся ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° главная диагональ рассматриваСмого ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A.

Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТат индСксы, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ \( a_<11>, a_<22>, a_<33>\) ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А, которая рассматриваСтся Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, содСрТит элСмСнты \(a_<11>=-1, a_<22>=7, a_<33>=18, a_<44>=8.\)

Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ А ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ строки ΠΈ столбцы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌ 1 ΠΈ 3, ΠΈΡ… пСрСсСчСниС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с элСмСнтами ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка. Главная диагональ этого ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ лишь Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ элСмСнтами ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ элСмСнты \( a_<11>=-1\) ΠΈ \(a_<33>=18\) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:

Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ строки ΠΈ столбцы с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ, получится Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

МоТно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M k-Π³ΠΎ порядка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A_ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ M\neq 0. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС, для всСх ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² с порядками Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ k, справСдливо равСнство Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M являСтся базисным, Π° строки ΠΈ столбцы, содСрТащиС элСмСнты базисного ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°, носят Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ базисных строк ΠΈ базисных столбцов.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ:

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° рассматриваСмой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ с элСмСнтами, расплоТСнными Π½Π° мСстС, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ строки β„–1, β„–2, β„–3 ΠΈ столбцы β„–1, β„–3, β„–4, прСдставляСт собой ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ искомого ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для расчСта ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядков:

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ с порядком Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ 3. Для составлСния ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ строкой, элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ значСния. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· этого, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ строкой. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ пятого порядка ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π½Π΅ прСдставляСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ наличия Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ А всСго Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… строк.

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка с Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠžΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ с этим, ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких порядков Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: рассматриваСмый ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ являСтся базисным. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΈ β„–1, β„–2, β„–3 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТат элСмСнты Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ базисными строками, Π° столбцы β„–1, β„–3, β„–4 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А β€” базисными столбцами.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±Ρ‹Π» рассмотрСн, являСтся Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Однако с Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ смысл базисного ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°. Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях базисных ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° сущСствСнно слоТнСС ΠΈ объСмнСС.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ являСтся ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€. Для раскрытия понятия ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ k-Π³ΠΎ порядка M ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A_\) находится Π² мСстС, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ k строки ΠΈ k столбцы. Если ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ совокупности Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… строк ΠΈ столбцов Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ строку ΠΈ столбСц, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ (k+1)-Π³ΠΎ порядка, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получился Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅, прСдставляСт собой ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ для ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° M.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ:

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка с элСмСнтами, располоТСнными Π² мСстС, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ строки β„–2 ΠΈ β„–5, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ столбцы β„–2 ΠΈ β„–4.

\(M=\left|\begin -17 & 19 \\ 12 & 21 \end \right|\)

К ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρƒ строк с элСмСнтами ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° М трСбуСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ строку β„–1, Π° ΠΊ столбцам β€” столбСц β„–5. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ манипуляций получится Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка с элСмСнтами, располоТСнными Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ строки β„–1, β„–2, β„–5 ΠΈ столбцы β„–2, β„–4, β„–5.

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ M’ прСдставляСт собой ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ для ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° M. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ добавлСния ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρƒ строк с элСмСнтами ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° М строки β„–4, Π° ΠΊ совокупности столбцов β€” столбца β„–3, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка.

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ M», Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ, прСдставляСт собой ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ для ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° M.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M k-Π³ΠΎ порядка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A_.\)

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (n-k)-Π³ΠΎ порядка с элСмСнтами, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ строк ΠΈ столбцов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТали ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M, называСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ M.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ пятого порядка:

Π’ рассматриваСмой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ строки β„–1 ΠΈ β„–3, столбцы β„–2 ΠΈ β„–5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… строк ΠΈ столбцов Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с элСмСнтами ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° М Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А строки β„–1 ΠΈ β„–3, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ столбцы β„–2 ΠΈ β„–5. На пСрСсСчСнии Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² располоТСны элСмСнты ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° М. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ, ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M’.

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ M’ с порядком, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ 5-2=3, прСдставляСт собой ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ M.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ алгСбраичСского дополнСния ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ M ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A_\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС \alpha являСтся суммой Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² строк ΠΈ столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A, содСрТащих элСмСнты ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° M, Π° M’ являСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ M. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ MΒ», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: «алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° MΒ».

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А. Π Π°Π½Π΅Π΅ для рассматриваСмой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±Ρ‹Π» ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ расчСтов ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка:

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Ρƒ являСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка:

Π’ качСствС обозначСния алгСбраичСского дополнСния ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° M цСлСсообразно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ: M^*

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· опрСдСлСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ \alpha прСдставляСт собой сумму Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² строк ΠΈ столбцов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ соотвСтствуСт ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ М. РасполоТСниС Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° соотвСтствуСт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ строк β„–1, β„–3 ΠΈ столбцов β„–2, β„–5. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

Благодаря Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для расчСта ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядков, прСдставляСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ свСдСния

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ систСм, состоящих ΠΈΠ· алгСбраичСских ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, для ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡ… записи примСняСтся Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°. Она содСрТит строки ΠΈ столбцы, пСрСсСчСниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… опрСдСляСтся элСмСнтами. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ строк характСризуСтся числом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° столбцов β€” количСством нСизвСстных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. ПослС построСния Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сводится ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Π½Π΅ΠΉ. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСмСнтов Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Над нСсколькими ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ арифмСтичСскиС дСйствия: ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈ этом допускаСтся ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ строки Π½Π° числа, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ нуля, слоТСниС строк ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… полоТСния. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ латинского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π°. Π₯арактСризуСтся ΠΎΠ½Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ прямолинСйной.

ΠŸΡ€ΠΈ матСматичСской записи ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ индСксы. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ строки, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” столбцы. На мСстС ΠΈΡ… пСрСсСчСния находится элСмСнт. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π²ΠΈΠ΄Π° m x n записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ A = (aij)m, n, Π³Π΄Π΅: aij β€” элСмСнт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π½Π° пСрСсСчСнии ΠΈ-Ρ‚ΠΎΠΉ строки ΠΈ ΠΉΠΎ-Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ столбца. Π Π°Π½Π³ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ наибольшСС число Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимых столбцов ΠΈΠ»ΠΈ строк, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²ΠΎΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ являСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚). ΠŸΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€. БущСствуСт нСсколько Π΅Π³ΠΎ разновидностСй:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ удалСния строки ΠΈ столбца ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта. ΠŸΡ€ΠΈ рассмотрСнии алгСбраичСских Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ совмСстно с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ понятиС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ принято Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° элСмСнтный ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ. Для Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ понимания сначала слСдуСт Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΅Ρ‘, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ β€” это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π° ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ элСмСнта ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ опрСдСлитСля находят ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ.

ВычислСниС ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ трудностСй. ΠŸΡ€ΠΈ этом стоит ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ простыС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° опрСдСлСния Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Π°:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ элСмСнта i, j. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ-Ρ‚ΡƒΡŽ строчку ΠΈ ΠΉΠΎ-Ρ‚Ρ‹ΠΉ столбСц. На ΠΈΡ… пСрСсСчСнии Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°, которая соотвСтствуСт элСмСнту aij. ПослС вычёркивания элСмСнтов, располоТСнных ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ опрСдСлитСля.

НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ имССтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π°:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

НуТно Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π΄Π²Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ. На пСрСсСчСнии Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ строчки ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ столбца стоит Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° минус Π΄Π²Π°. Π£Π±Ρ€Π°Π² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ искомый ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ M23:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка. Для этого ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Лапласа для разлоТСния ΠΏΠΎ любой строкС. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Ρ‚Ρƒ, Π³Π΄Π΅ стоят Π½ΡƒΠ»ΠΈ. ПослС прСобразования ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Аналогично Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ дСйствия ΠΈ для опрСдСлитСля.

Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ базисный ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ уровня ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ систСму, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· столбцов ΠΈ строк, число ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ восьмого порядка прСдставляСт собой ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, состоящий ΠΈΠ· восьми столбцов ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ числа строк. Π’ΡƒΡ‚ слСдуСт ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ больший порядок.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ порядка ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ². НапримСр, Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ восьмого уровня Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ столбцов ΠΈ ΠΏΡΡ‚ΡŒ строк. Π‘Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’ мСстах пСрСсСчСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ значСния, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° пятого порядка.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΡ… соотвСтствСнно, начиная с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строки. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ выписаны, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ пятого порядка. Π’Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько.

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ чисСл имССтся главная диагональ. НачинаСтся ΠΎΠ½Π° с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ с элСмСнта a11, ΠΈ заканчиваСтся Π½Π° послСднСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ элСмСнтС. Π’ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ диагональ.

Если Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ способом, Ρ‡Ρ‚ΠΎ главная Π΅Π³ΠΎ диагональ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· элСмСнтов Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ исходной Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, эта Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, которая Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя элСмСнты основной Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ исходной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ всС Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ элСмСнты. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΆΠ΅, находящийся ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… строк ΠΈ столбцов, называСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Базисный ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ наибольший порядок ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€. НапримСр, для систСмы Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, состоящСй ΠΈΠ· сСми строк ΠΈ восьми столбцов, наибольший ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сСдьмого порядка. ΠŸΡ€ΠΈ этом базисным считаСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ послСдний ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Если систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ дСвятый порядок ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСниях выяснится, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ уровня выроТдСнная, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ базисным. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ базиса всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшим. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΈ столбцы, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… состоит базис, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ базисными. Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько.

Когда ΠΈΠ· исходной Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ порядка, Ρ‚ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π·Π° Π½ΠΈΠΌ называСтся ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ строку ΠΈ столбСц. Π’Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ строку ΠΈΠ»ΠΈ столбСц.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Для закрСплСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° Π² школС ΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… завСдСниях учащимся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ расчёт нСсколько Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ слоТности. Π£ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ являСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ понимания Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Найти Π² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ всС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уровня ΠΈ алгСбраичСскиС дополнСния:

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ строчки. ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ убирая строки ΠΈ столбцы ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ вычёркивания, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ рассматриваСтся квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ характСристику:

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ имССтся Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнт. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡ… всС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ, вычёркивая соотвСтствСнныС столбцы ΠΈ строки:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ алгСбраичСских дополнСния. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° A:

Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², вычислСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ трудностСй, Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ усидчивости. ОсобСнно это касаСтся нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ВычисляСтся ΠΎΠ½Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ алгСбраичСских Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°ΠΌ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ. Π”ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ часто Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π°ΡŽΡ‚, ΠΈ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получаСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² случаС слоТных систСм Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΠΎΠ½ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

ИспользованиС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлённая Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° сайтов, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС вычислСния Π² автоматичСском Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. На ΠΈΡ… страницах содСрТится ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ скрипт, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ любой слоТности. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΡ‚ потрСбитСля Π½Π΅ трСбуСтся Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… особых Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ½ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΈ вовсС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π² алгСбраичСских вычислСниях.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Всё, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ для получСния ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°, β€” это ввСсти исходныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒΒ». БистСма автоматичСски ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ Π½Π° экран ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠŸΡ€ΠΈ этом, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ прСдоставлСна Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

По ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΈΠ· мноТСства Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… сСрвисов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сайтов:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ВсС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ сайты доступны Π½Π° русском языкС, бСсплатны, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ простой ΠΈ понятный интСрфСйс. На ΠΈΡ… страницах содСрТится справочная ΠΈ тСорСтичСская матСматичСская информация. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π½Π΅Ρ‘, для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° приводится Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с объяснСниСм. ИспользованиС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ врСмя ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ дСйствия ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π˜Ρ… использованиС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ студСнтам, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π°ΠΌ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ слоТныС вычислСния. Для спСциалистов ΠΎΠ½ΠΈ довольно вострСбованы, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ нСбольшая ошибка ΠΏΠΎ Π½Π΅Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ расчётС Π² автоматичСском Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *