Что такой дополнительный минор матрицы

Миноры и алгебраические дополнения

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка.

Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору M_k. Обозначается M_n-k.

Алгебраическим дополнением минора M_k будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M_k.

Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу a_ik вычисляется по формуле

Теорема. Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя D_n.

.

Вычислим алгебраическое дополнение к минору M_k. По определению,

Берем произвольный член минора M_k

, (1)

(2)

и произвольный член минора M_n-k

, (3)

(4)

Перемножая (1) и (3), получим

.(5)

Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя D. Следовательно, это произведение является членом определителя D. Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе D определяется числом инверсий s_k в подстановке

Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение M_k A_n-k состоит только из членов определителя.

Теорема Лапласа. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1£k£n-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю D.

.

Следствие (теорема о разложении определителя по строке). Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Теорема. Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (i¹j) равна 0.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Таким образом, мы получили формулы

Пример 1. Вычислить определитель по теореме Лапласа (предварительно разложив его по 2 и 3 строкам).

= =

Пример 2. Вычислить определитель, разложив его по последнему столбцу.

7

Замечание. Удобно применять следствие из теоремы Лапласа к определителю, преобразованному с помощью свойств таким образом, что в одной из строк (или в одном из столбцов) все элементы, кроме одного, равны 0.

Пример. Вычислить определитель

Источник

Минор и алгебраическое дополнение матрицы

Что такое минор и алгебраическое дополнение матрицы

Минор Mij к элементу aij определителя n-го порядка является определителем (n−1)-го порядка, получающимся из начального определителя после исключения i-той строки и j-того столбца.

Исходя из определения, минор представляет собой определитель, который остается после того, как вычеркнуть конкретную строку и конкретный столбец. К примеру, M12 будет получен в результате устранения первой строки и второго столбца. Для того чтобы получить M34 следует вычеркнуть третью строку и четвертый столбец.

Найти миноры с помощью вычерков можно, следуя алгоритму:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Порядок действия при определении алгебраического дополнения следующий:

Общие понятия, основные формулы

Предположим, что существует какая-то квадратная матрица или квадратная матрица n-го порядка:

\(Минор \ M_ \ элемента \ a_ \ матрицы \ A_\) будет являться определитель матрицы, которая получается из матрицы A в результате устранения i-й строки и j-го столбца, которые расположены таким образом, что их пересечение совпадает с элементом \(a_.\)

В качестве доказательства можно рассмотреть такую квадратную матрицу четвертого порядка:

Данный минор достаточно просто рассчитать с помощью теоремы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Расчет будет следующий:

Таким образом, минор элемента \(a_<32>\) равен 579, то есть \(M_<32>=579\)

Нередко в тематической литературе вместо «минор элемента матрицы» употребляют понятие «минор элемента определителя». Смысл выражения сохраняется. Таким образом, для вычисления минора элемента \(a_\) требуется исключить из начального определителя i-ю строку и j-й столбец. Элементы, которые остались, следует записать в новый определитель, который представляет собой минор элемента \(a_.\)

В качестве примера можно рассчитать минор элемента \(a_<12>\) определителя:

Вычислить минор целесообразно с помощью формулы для расчета определителей второго и третьего порядков:

В результате минор элемента \(a_<12>\) составит 83, то есть \(M_<12>=83\)

где \(M_\) является минором элемента \(a_.\)

В качестве примера можно рассчитать алгебраическое дополнение элемента \(a_<32>\) матрицы:

Как правило, при определении алгебраических дополнений не требуется выполнять отдельный расчет минора перед вычислением непосредственно дополнения. К примеру, если требуется определить \(A_<12>\) при условии, что:

Необходимо записать справедливое равенство:

Рассчитать \(M_<12>\) легко с помощью вычерка первой строки и второго столбца матрицы А. Поэтому нет необходимости вводить лишнее обозначение для минора. Достаточно сразу записать уравнение для алгебраического дополнения \(A_<12>\) :

Решение миноров и алгебраических дополнений

Миноры и алгебраические дополнения встречаются в задачах не только с квадратными матрицами, но и прямоугольными. Во втором случае матрицы отличаются тем, что количество строк не обязательно совпадает с количеством столбцов. К примеру, записана матрица:

В рассматриваемой матрице m строк и n столбцов. Минор k-го порядка матрицы \(A_\) представляет собой определитель с элементами, расположенными на пересечении k строк и k столбцов матрицы A. Следует учитывать, что при этом k≤ m и k≤ n.

В качестве примера можно рассмотреть матрицу:

Можно записать для нее какой-то минор третьего порядка. Для этого следует отобрать какие-то три строки и три столбца рассматриваемой матрицы. Выберем для расчета строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. Данные строки и столбцы будут пересекаться в том месте, где расположены элементы искомого минора.

\(M=\left|\begin 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end \right|.\)

Расположение миноров первого порядка будет совпадать с пересечением одной строки и одного столбца. Таким образом, выводим равенство миноров первого порядка элементам рассматриваемой матрицы.

Минор k-го порядка матрицы \(A_=(a_)\) является ключевым в том случае, когда главная диагональ рассматриваемого минора включает исключительно ключевые диагональные элементы матрицы A.

Главные диагональные элементы представляют собой такие элементы матрицы, которые содержат индексы, равные \( a_<11>, a_<22>, a_<33>\) и так далее. К примеру, матрица А, которая рассматривается в примере, содержит элементы \(a_<11>=-1, a_<22>=7, a_<33>=18, a_<44>=8.\)

В том случае, когда в матрице А исключены строки и столбцы, которые соответствуют номерам 1 и 3, их пересечение будет совпадать с элементами минора второго порядка. Главная диагональ этого минора будет содержать лишь диагональные элементы матрицы А. К примеру, такими элементами являются элементы \( a_<11>=-1\) и \(a_<33>=18\) матрицы A. Таким образом, главный минор второго порядка будет равен:

В том случае, если выбрать строки и столбцы с другими номерами, получится другой главный минор второго порядка.

Можно предположить, что какой-то минор M k-го порядка матрицы A_ обладает ненулевым значением, то есть M\neq 0. В данном случае, для всех миноров с порядками выше, чем k, справедливо равенство нулю. Тогда минор M является базисным, а строки и столбцы, содержащие элементы базисного минора, носят названием базисных строк и базисных столбцов.

В качестве примера можно рассмотреть следующую матрицу:

Запись минора рассматриваемой матрицы с элементами, распложенными на месте, где пересекаются строки №1, №2, №3 и столбцы №1, №3, №4, представляет собой минор третьего порядка и имеет следующий вид:

Рассчитать значение искомого минора можно, используя правило для расчета определителей второго и третьего порядков:

Далее можно попытаться записать какой-либо минор с порядком выше, чем 3. Для составления минора четвертого порядка необходимо воспользоваться четвертой строкой, элементы которой имеют нулевые значения. Исходя из этого, можно заключить, что любой минор четвертого порядка обладает нулевой строкой. Таким образом, значение каждого из миноров четвертого порядка равно нулю. Записать миноры пятого порядка и выше не представляется возможным по причине наличия в матрице А всего четырех строк.

По результатам вычислений удалось определить минор третьего порядка с ненулевым значением. Одновременно с этим, миноры более высоких порядков равны нулю, из чего можно сделать вывод: рассматриваемый минор является базисным. Строки №1, №2, №3 матрицы А, которые содержат элементы данного минора, являются базисными строками, а столбцы №1, №3, №4 матрицы А — базисными столбцами.

Пример, который был рассмотрен, является тривиальным. Однако с его помощью удобно продемонстрировать смысл базисного минора. В реальных условиях базисных миноров может быть более одного, а решение подобных задач на нахождение подобного минора существенно сложнее и объемнее.

Еще одним важным термином является окаймляющий минор. Для раскрытия понятия можно предположить, что какой-то минор k-го порядка M матрицы \(A_\) находится в месте, где пересекаются k строки и k столбцы. Если прибавить к совокупности данных строк и столбцов дополнительные строку и столбец, то минор (k+1)-го порядка, который получился в результате, представляет собой окаймляющий минор для минора M.

В качестве примера можно рассмотреть матрицу:

В первую очередь нужно записать минор второго порядка с элементами, расположенными в месте, где пересекаются строки №2 и №5, а также столбцы №2 и №4.

\(M=\left|\begin -17 & 19 \\ 12 & 21 \end \right|\)

К комплекту строк с элементами минора М требуется прибавить одну строку №1, а к столбцам — столбец №5. В результате манипуляций получится новый минор M’ третьего порядка с элементами, расположенными там, где пересекаются строки №1, №2, №5 и столбцы №2, №4, №5.

Минор M’ представляет собой окаймляющий минор для минора M. Таким же образом, путем добавления к комплекту строк с элементами минора М строки №4, а к совокупности столбцов — столбца №3, можно записать минор M», то есть минор третьего порядка.

Минор M», аналогично предыдущему, представляет собой окаймляющий минор для минора M.

Предположим, что существует какой-то минор M k-го порядка матрицы \(A_.\)

Определитель (n-k)-го порядка с элементами, полученными из матрицы A путем исключения строк и столбцов, которые содержали минор M, называется минором, дополнительным к минору M.

В качестве примера можно рассмотреть квадратную матрицу пятого порядка:

В рассматриваемой матрице можно выбрать строки №1 и №3, столбцы №2 и №5. Пересечение данных строк и столбцов будет совпадать с элементами минора М второго порядка.

Далее следует исключить из матрицы А строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении данных компонентов расположены элементы минора М. Элементы, которые остались нетронутыми, сформируют минор M’.

Минор M’ с порядком, соответствующим 5-2=3, представляет собой минор, являющийся дополнительным к минору M.

Запись алгебраического дополнения к минору M квадратной матрицы \(A_\) имеет следующий вид:

В данном случае \alpha является суммой номеров строк и столбцов матрицы A, содержащих элементы минора M, а M’ является дополнительным к минору M. Термин «алгебраическое дополнение к минору M», как правило, формулируют таким образом: «алгебраическое дополнение минора M».

В качестве примера можно рассмотреть матрицу А. Ранее для рассматриваемой матрицы был определен в ходе расчетов минор второго порядка:

Дополнительным к данному минору является такой минор третьего порядка:

В качестве обозначения алгебраического дополнения минора M целесообразно использовать: M^*

Исходя из определения, получим:

Параметр \alpha представляет собой сумму номеров строк и столбцов, которым соответствует минор М. Расположение данного минора соответствует пересечению строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Таким образом:

В результате можно записать:

Благодаря формуле для расчета определителей второго и третьего порядков, представляется возможным вычислить алгебраическое дополнение:

Источник

Общие сведения

При решении систем, состоящих из алгебраических и дифференциальных уравнений, для удобной их записи применяется таблица. Она содержит строки и столбцы, пересечение которых определяется элементами. Количество строк характеризуется числом уравнений, а столбцов — количеством неизвестных величин. После построения такой таблицы решение сводится к работе с ней. Совокупность элементов такой таблицы называют матрицей.

Над несколькими матрицами можно выполнять различные арифметические действия: преобразовывать, умножать, складывать. При этом допускается умножение строки на числа, отличные от нуля, сложение строк между собой и изменение их положения. Обозначают матрицу с помощью заглавной буквы латинского алфавита. Характеризуется она размерностью и может быть квадратной или прямолинейной.

При математической записи используют индексы. Первый из них обозначает строки, а второй — столбцы. На месте их пересечения находится элемент. То есть таблица вида m x n записывается как A = (aij)m, n, где: aij — элемент матрицы, располагающийся на пересечении и-той строки и йо-того столбца. Ранг же матрицы показывает наибольшее число линейно независимых столбцов или строк, при этом он не может превосходить размерность.

Важным параметром квадратной матрицы является определитель (детерминант). При его нахождении используется минор. Существует несколько его разновидностей:

В общем случае под определением минора матрицы понимают определитель, находимый с помощью удаления строки и столбца определённого элемента. При рассмотрении алгебраических дополнений совместно с ними используют понятие угловой минор.

Квадратная матрица

Минор принято разделять на элементный и матричный. Для лучшего понимания сначала следует разобрать минор квадратной матрицы. Рассматривать нужно её, так как минор — это определитель, а он бывает только у квадратной системы уравнений. Параметр элемента матрицы и определителя находят одинаково.

Вычисление минора обычно не вызывает трудностей. При этом стоит помнить простые правила определения детерминанта:

Пусть необходимо определить параметр элемента i, j. Для этого нужно посмотреть на записанную таблицу и выделить и-тую строчку и йо-тый столбец. На их пересечении будет стоять цифра, которая соответствует элементу aij. После вычёркивания элементов, расположенных от него по вертикали и горизонтали, оставшиеся в наборе и будут являться минором матрицы или определителя.

Например, пусть имеется определитель вида:

Нужно найти минор два три. На пересечении второй строчки и третьего столбца стоит цифра минус два. Убрав вторую соответствующую ей вертикаль и третью горизонталь, можно получить искомый минор M23:

Теперь, чтобы найти минор единицы, нужно вычислить определитель полученной матрицы четвёртого порядка. Для этого удобно использовать теорему Лапласа для разложения по любой строке. Выбирать лучше ту, где стоят нули. После преобразования полученный ответ и будет минором. Аналогично выполняют действия и для определителя.

Главный и базисный определитель

Минором высшего уровня описывают систему, состоящую из столбцов и строк, число которых превышает два. То есть минор восьмого порядка представляет собой определитель, состоящий из восьми столбцов и такого же числа строк. Тут следует отметить, что исходная матрица должна иметь больший порядок.

В таблице высшего порядка можно выделить несколько миноров. Например, в матрице восьмого уровня выделить пять столбцов и пять строк. Брать горизонтальные и вертикальные линии можно произвольно. В местах пересечения будут находиться значения, обозначающие элементы минора пятого порядка.

Записывают их соответственно, начиная с первой строки. После того как все члены выписаны, должен получиться новый определитель пятого порядка. Таких миноров указанного порядка может быть несколько.

В таблице чисел имеется главная диагональ. Начинается она с правого верхнего угла, то есть с элемента a11, и заканчивается на последнем правом элементе. В полученном миноре также можно выделить такую диагональ.

Если взять минор таким способом, что главная его диагональ будет состоять из элементов диагонали исходной таблицы, то такой минор называют главным. Иными словами, эта таблица, которая включает в себя элементы основной диагонали исходной матрицы. При этом необязательно, чтобы в главный минор матрицы были включены все главные элементы. Определитель же, находящийся из первых строк и столбцов, называется угловым минором матрицы.

Базисный определитель показывает, какой наибольший порядок может иметь полученный минор. Например, для системы данных, состоящей из семи строк и восьми столбцов, наибольший определитель может быть седьмого порядка. При этом базисным считается также последний определитель, который не равняется нулю. Если система уравнений имеет девятый порядок и при вычислениях выяснится, что система шестого уровня вырожденная, то предшествующий ему определитель также будет называться базисным. Значение базиса всегда будет наибольшим. Строки и столбцы, из которых состоит базис, называют также базисными. Их может быть несколько.

Когда из исходной таблицы выбран определитель не высшего порядка, то следующий за ним называется окаймляющим. Это значит, что необходимо добавить одну строку и столбец. Такого типа определителей может быть несколько, так как для того, чтобы их построить, можно добавить любую строку или столбец.

Решение задач

Для закрепления материала в школе и высших учебных заведениях учащимся предлагают выполнить расчёт несколько типовых заданий разной сложности. Умение их решать является доказательством понимания теории. Вот некоторые из них рекомендуемые для самостоятельного решения.

Найти в указанной матрице все определители второго уровня и алгебраические дополнения:

Для решения этой задачи нужно рассматривать первую и вторую строчки. Последовательно убирая строки и столбцы методом вычёркивания, можно получить шесть результатов:

В следующей задаче рассматривается квадратная матрица три на три, в которой необходимо найти дополнительную характеристику:

По условию в таблице имеется девять позиций, для которых можно найти дополнительный элемент. При решении нужно последовательно их все перебрать, вычёркивая соответственные столбцы и строки:

В следующем примере необходимо рассчитать первые три алгебраических дополнения. Пусть дана матрица A:

Как видно из примеров, вычисления обычно не вызывают трудностей, но требуют внимательности и усидчивости. Особенно это касается нахождения обратной матрицы. Вычисляется она с помощью алгебраических дополнений, которые равны минорам, умноженным на минус единицу. Довольно часто знаки путают, и в итоге получается неправильный ответ. Поэтому в случае сложных систем есть резон использовать онлайн-калькуляторы.

Использование интернет-калькулятора

В интернете есть определённая группа сайтов, позволяющая выполнять различные математические вычисления в автоматическом режиме. На их страницах содержится специальный скрипт, выполняющий нахождение минора матрицы онлайн любой сложности. При этом от потребителя не требуется никаких особых знаний, он даже и вовсе может ничего не понимать в алгебраических вычислениях.

Всё, что ему необходимо будет сделать для получения ответа, — это ввести исходные данные в предложенную форму и нажать кнопку «Вычислить». Система автоматически определит нужный алгоритм и, используя свойства матрицы, выведет на экран ответ. При этом, кроме результата, пользователю будет предоставлена возможность ознакомиться с подробным решением.

По отзывам потребителей, из множества таких сервисов можно выделить пять следующих сайтов:

Все указанные сайты доступны на русском языке, бесплатны, имеют простой и понятный интерфейс. На их страницах содержится справочная и теоретическая математическая информация. Кроме неё, для каждого раздела приводится типовой пример с объяснением. Использование онлайн-калькуляторов поможет сэкономить время и научит правильно выполнять действия по вычислению миноров.

Их использование будет полезным не только ученикам или студентам, желающим научиться самостоятельно решать задачи, но и инженерам, выполняющим сложные вычисления. Для специалистов они довольно востребованы, так как при самостоятельном решении небольшая ошибка по невнимательности приведёт к неправильному ответу, что исключено при расчёте в автоматическом режиме.

Источник