О линейном тренде
Автор: Алексей Батурин.
Из данного материалы вы узнаете, что важно знать о линейном тренде для прогнозирования :
Линейный тренд разложим на «запчасти»;
Как скорректировать значения линейного тренда и для чего;
Линейный тренд – это функция y=ax+b, где
Значение x – это номер периода во временном ряду (например, номер месяца, квартала, дня; См. статью о временных рядах.)
b – точка пересечения с осью y на графике (минимальный уровень);
a – это значение, на которое увеличивается следующее значение временного ряда;
Причем, если a>0, то динамика роста положительная,
по 28-й — y=53934*28+1784066 = 3294218
Получили прогнозные значения тренда с 15 по 28 месяца. Отношение прогноза к фактическим данным 1,34, т.е. прогнозируется рост на 34%.
Как мы можем скорректировать прогнозные значения тренда?
Если нас рост не устраивает, т.е. мы понимаем, что есть факторы, которые на него повлияют, мы можем скорректировать тренд.
Скорректируем значение рассчитанного нами выше тренда y=53934x+1784066 – ряд 1 на графике:
Если изменяем значение «a» линейного тренда y=ax+b, то увеличиваем наклон тренда (ряд 3 на графике);
Если изменяем значение «b» линейного тренда (Ряд 2), то тренд мы поднимаем параллельно ряду 1.
Т.е. мы можем изменять наклон тренда, изменять уровень тренда, и одновременно и уровень и наклон — ряд 4 (пример во вложении).
Теперь рассчитаем коэффициенты сезонности с помощью Forecast4AC PRO (лист «ForLin»). Умножим значения тренда на сезонность. Прогноз продаж готов! Также стоит учесть дополнительные факторы, кроме сезонности, которые влияют на объем продаж.
Точных вам прогнозов!
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:
Тестируйте возможности платных решений:
Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.
Построение линейного тренда
Наиболее часто тренд представляется линейной зависимостью исследуемой величины вида
где y – исследуемая переменная (например, производительность) или зависимая переменная;
x – число, определяющее позицию (второй, третий и т.д.) года в периоде прогнозирования или независимая переменная.
При линейной аппроксимации связи между двумя параметрами для нахождения эмпирических коэффициентов линейной функции используется наиболее часто метод наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что линейная функция «наилучшего соответствия» проходит через точки графика, соответствующие минимуму суммы квадратов отклонений измеряемого параметра. Такое условие имеет вид:
где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).
Рис. 5.3. Построение тренда методом наименьших квадратов
Значения констант b и a или коэффициента при переменной Х и свободного члена уравнения определяются по формуле:
В табл. 5.1 приведен пример вычисления линейного тренда по данным [1].
Таблица 5.1. Вычисление линейного тренда
Методы сглаживания колебаний.
При сильных расхождениях между соседними значениями тренд, полученный методом регрессии, трудно поддается анализу. При прогнозировании, когда ряд содержит данные с большим разбросом колебаний соседних значений, следует их сгладить по определенным правилам, а потом искать смысл в прогнозе. К методу сглаживания колебаний
относят: метод скользящих средних (рассчитывается n-точечное среднее), метод экспоненциального сглаживания. Рассмотрим их.
Метод «скользящих средних» (МСС).
МСС позволяет сгладить ряд значений с тем, чтобы выделить тренд. При использовании этого метода берется среднее (обычно среднеарифметическое) фиксированного числа значений. Например, трехточечное скользящее среднее. Берется первая тройка значений, составленная из данных за январь, февраль и март (10 + 12 + 13), и определяется среднее, равное 35 : 3 = 11,67.
Полученное значение 11,67 ставится в центре диапазона, т.е. по строке февраля. Затем «скользим на один месяц» и берется вторая тройка чисел, начиная с февраля по апрель (12 + 13 + 16), и рассчитывается среднее, равное 41 : 3 = 13,67, и таким приемом обрабатываем данные по всему ряду. Полученные средние представляют новый ряд данных для построения тренда и его аппроксимации. Чем больше берется точек для вычисления скользящей средней, тем сильнее происходит сглаживание колебаний. Пример из МВА построения тренда дан в табл. 5.2 и на рис. 5.4.
Таблица 5.2 Расчет тренда методом трехточечного скользящего среднего
Характер колебаний исходных данных и данных, полученных методом скользящего среднего, иллюстрирован на рис. 5.4. Из сравнения графиков рядов исходных значений (ряд 3) и трехточечных скользящих средних (ряд 4), видно, что колебания удается сгладить. Чем большее число точек будет вовлекаться в диапазон вычисления скользящей средней, тем нагляднее будет вырисовываться тренд (ряд 1). Но процедура укрупнения диапазона приводит к сокращению числа конечных значений и это снижает точность прогноза.
Прогнозы следует делать исходя из оценок линии регрессии, составленной по значениям исходных данных или скользящих средних.
Рис. 5.4. Характер изменения объема продаж по месяцам года:
исходные данные (ряд 3); скользящие средние (ряд 4); экспоненциальное сглаживание (ряд 2); тренд, построенный методом регрессии (ряд 1)
Метод экспоненциального сглаживания.
Альтернативный подход к сокращению разброса значений ряда состоит в использовании метода экспоненциального сглаживания. Метод получил название «экспоненциальное сглаживание» в связи с тем, что каждое значение периодов, уходящих в прошлое, уменьшается на множитель (1 – α).
Каждое сглаженное значение рассчитывается по формуле вида:
где St – текущее сглаженное значение;
Yt – текущее значение временного ряда; St – 1 – предыдущее сглаженное значение; α – сглаживающая константа, 0 ≤ α ≤ 1.
Анализ временных рядов, тренд ряда динамики, точечная оценка прогноза
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Анализ временных рядов
Временной ряд (или ряд динамики) – это упорядоченная по времени последовательность значений некоторой произвольной переменной величины. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда.
Временные ряды состоят из двух элементов:
Временные ряды классифицируются по следующим признакам:
Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).
Анализ временных рядов – совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.
Прогноз, характеристики и параметры прогнозирования
Прогноз (от греч. 
– предвидение, предсказание) – предсказание будущего с помощью научных методов, а также сам результат предсказания. Прогноз – это научная модель будущего события, явлений и т.п.
Прогнозирование, разработка прогноза; в узком значении – специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса.
К основным методам прогнозирования относятся:
Прогноз – обоснованное суждение о возможном состоянии объекта в будущем или альтернативных путях и сроках достижения этих состояний. Прогнозирование – процесс разработки прогноза. Этап прогнозирования – часть процесса разработки прогнозов, характеризующаяся своими задачами, методами и результатами. Деление на этапы связано со спецификой построения систематизированного описания объекта прогнозирования, сбора данных, с построением модели, верификацией прогноза.
Прием прогнозирования – одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. В качестве приема могут выступать сглаживание динамического ряда, определение компетентности эксперта, вычисление средневзвешенного значения оценок экспертов и т. д.
Модель прогнозирования – модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта прогнозирования в будущем и (или) путях и сроках их осуществления.
Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.
Методика прогнозирования – совокупность специальных правил и приемов (одного или нескольких методов) разработки прогнозов.
Прогнозирующая система – система методов и средств их реализации, функционирующая в соответствии с основными принципами прогнозирования. Средствами реализации являются экспертная группа, совокупность программ и т. д. Прогнозирующие системы могут быть автоматизированными и неавтоматизированными.
Прогнозный вариант – один из прогнозов, составляющих группу возможных прогнозов.
Объект прогнозирования – процесс, система, или явление, о состоянии которого даётся прогноз.
Характеристика объекта прогнозирования – качественное или количественное отражение какого-либо свойства объекта прогнозирования.
Переменная объекта прогнозирования – количественная характеристика объекта прогнозирования, которая является или принимается за изменяемую в течение периода основания и (или) периода упреждения прогноза.
Период основания прогноза – промежуток времени, за который используют информацию для разработки прогноза. Этот промежуток времени называют также периодом предыстории.
Период упреждения прогноза – промежуток времени, на который разрабатывается прогноз.
Прогнозный горизонт – максимально возможный период упреждения прогноза заданной точности.
Точность прогноза – оценка доверительного интервала прогноза для заданной вероятности его осуществления.
Достоверность прогноза – оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала.
Ошибка прогноза – апостериорная величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта.
Источник ошибки прогноза – фактор, способный привести к появлению ошибки прогноза. Различают источники регулярных и нерегулярных ошибок.
Верификация прогноза – оценка достоверности и точности или обоснованности прогноза.
Статистические методы прогнозирования – научная и учебная дисциплина, к основным задачам которой относятся разработка, изучение и применение современных математико-статистических методов прогнозирования на основе объективных данных; развитие теории и практики вероятностно-статистического моделирования экспертных методов прогнозирования; методов прогнозирования в условиях риска и комбинированных методов прогнозирования с использованием совместно экономико-математических и эконометрических (как математико-статистических, так и экспертных) моделей. Научной базой статистических методов прогнозирования является прикладная статистика и теория принятия решений.
Простейшие методы восстановления используемых для прогнозирования зависимостей исходят из заданного временного ряда, т. е. функции, определённой в конечном числе точек на оси времени. Временной ряд при этом часто рассматривается в рамках той или иной вероятностной модели, вводятся другие факторы (независимые переменные), помимо времени, например, объем денежной массы. Временной ряд может быть многомерным. Основные решаемые задачи – интерполяция и экстраполяция. Метод наименьших квадратов в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан К. Гауссом в 1794–1795 гг. Могут оказаться полезными предварительные преобразования переменных, например, логарифмирование. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов при нескольких факторах.
Оценивание точности прогноза (в частности, с помощью доверительных интервалов) – необходимая часть процедуры прогнозирования. Обычно используют вероятностно-статистические модели восстановления зависимости, например, строят наилучший прогноз по методу максимального правдоподобия. Разработаны параметрические (обычно на основе модели нормальных ошибок) и непараметрические оценки точности прогноза и доверительные границы для него (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей). Применяются также эвристические приемы, не основанные на вероятностно-статистической теории: метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания.
Многомерная регрессия, в том числе с использованием непараметрических оценок плотности распределения – основной на настоящий момент статистический аппарат прогнозирования. Нереалистическое предположение о нормальности погрешностей измерений и отклонений от линии (поверхности) регрессии использовать не обязательно; однако для отказа от предположения нормальности необходимо опереться на иной математический аппарат, основанный на многомерной Центральной Предельной Теореме теории вероятностей, технологии линеаризации и наследования сходимости. Он позволяет проводить точечное и интервальное оценивание параметров, проверять значимость их отличия от 0 в непараметрической постановке, строить доверительные границы для прогноза.
Уравнение тренда временного ряда
Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, в качестве основных целей исследования временных рядов можно выделить: выявление и анализ характерного изменения параметра у, оценка возможного изменения параметра в будущем (прогноз).
Значения временного ряда можно представить в виде: 
, где f (t) – неслучайная функция, описывающая связь оценки математического ожидания со временем, 
– случайная величина, характеризующая отклонение уровня от f(t ).
Неслучайная функция f (t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) yt за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических или эмпирических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая, логарифмическая, показательная функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами ( t, yt ) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы: сглаживание с помощью скользящей средней, метод наименьших квадратов и другие.
Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде yt=f(t ), где f (t) = a0+a1(t ).
Пример 1. Имеется временной ряд:
где n – количество значений временного ряда.
Полученная система может быть преобразована (математически) в систему так называемых нормальных уравнений. При этом уравнения примут вид:
Теперь необходимо решить преобразованную систему уравнений относительно а0 и а1. Однако предварительно следует составить и заполнить вспомогательную таблицу:
| t | t 2 | хt | хtt |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 1 | 2 |
| 3 | 9 | 4 | 12 |
| 4 | 16 | 4 | 16 |
| 5 | 25 | 6 | 30 |
| 6 | 36 | 8 | 48 |
| 7 | 49 | 7 | 49 |
| 8 | 64 | 9 | 72 |
| 9 | 81 | 12 | 108 |
| 10 | 100 | 11 | 110 |
 |  |  |  |
Подставив значения n = 10 в систему уравнений (2), получим
Изобразим полученную функцию на графике.
Временной ряд приведен в таблице. Используя средства MS Excel :
1. Реализация аспирина по аптеке (у.е.) за последние 7 недель приведена в таблице:
2. Динамика потребления молочных продуктов (у.е.) по району за последние 7 месяцев:
3. Динамика числа работников, занятых в одной из торговых сетей города за последние 8 лет приведена в таблице:
4. Динамика потребления сульфаниламидных препаратов в клинике по годам (тыс. упаковок):
5. Динамика продаж однокомнатных квартир в городе за последние 8 лет (тыс. ед.):
6. Динамика потребления антибиотиков в клинике (тыс. упаковок):
7. Динамика производства хлебобулочных изделий на хлебозаводе (тонн):
8. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в начале эпидемии гриппа (тыс. единиц):
9. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в конце эпидемии гриппа (тыс. единиц):
10. Динамика потребления витаминов по аптечной сети в весенний период (с марта по апрель) в разные годы (у.е.):
Пример 2. Используя данные примера 1, приведенного выше, вычислить точечный прогноз исходного временного ряда на 5 шагов вперед.
Исходя из условия задачи, необходимо определить точечную оценку прогноза для t = 11, 12, 13, 14, 15, где t в данном случае – шаг упреждения.
Щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, вызвать контекстное меню, выбрать «Формат линии тренда», в окне Параметры линии тренда указать прогноз на 5 периодов и поставить флажок в окошке «Показывать уравнение на диаграмме (рис. 14.3 рис. 14.3.). В версии Excel ранее 2007 окно диалога представлено на рисунке 14.4 рис. 14.4.
Итоговый график представлен на рисунке 14.5 рис. 14.5.
Значения прогноза для 11, 12, 13, 14 и 15 уровней получим, используя функцию ПРЕДСКАЗ( ). Данная функция позволяет получить значения прогноза линейного тренда. Вычисленные значения: 12,87, 14,04, 15,22, 16,39, 17,57.
Значения точечного прогноза для исходного временного ряда на 5 шагов вперед можно вычислить и с помощью уравнения функции тренда f(t ), найденного по методу наименьших квадратов. Для этого в полученное для f (t) выражение необходимо подставить значения t = 11, 12, 13, 14, 15. В результате получим (эти значения следует рассчитать, сформировав формулу в табличном процессоре MS Excel ):
Сравнивая результаты точечных прогнозных оценок, полученных разными способами, выявляем, что данные отличаются незначительно, таким образом, в любом из способов расчета присутствует определенная погрешность (ошибка) прогноза ().
Используя значения временного ряда Задания 1 согласно вашего варианта, вычислить точечный прогноз на 4 шага вперед. Продлить линию тренда на 4 прогнозных значения, вывести уравнение тренда, определить эти значения с помощью функции ПРЕДСКАЗ() или ТЕНДЕНЦИЯ(), а также по выражению функции тренда f(t ), полученному по методу наименьших квадратов в Задании 1. Сравнить полученные результаты.
Как спрогнозировать бизнес-показатели по методу линейного тренда с учетом сезонности: пошаговый мануал
В любом бизнесе возникает необходимость прогнозирования ключевых показателей деятельности: объема продаж, ожидаемой прибыли, количества лидов с формы заказа звонка или посетителей магазина. В данной статье я описала простой и быстрый способ прогнозирования таких показателей, на основе минимальных данных за предыдущие периоды.
Прежде чем приступить к описанию метода, необходимо понять суть прогнозирования. Прогноз — это не точное значение показателя в будущем, это определенная планка, которую нужно достичь. Или, в случае если прогноз неутешительный, толчок к поиску новых решений для избежания негативной тенденции. Недостаточно просто рассчитать будущие показатели и ждать той самой цифры, прогноз — это фундамент для постановки целей и, пожалуй, единственный способ (помимо гадания и вангования) избежать неопределенности в будущем.
Что собой представляет метод линейного тренда?
Думаю, всем знакомо понятие «тренда». Тренд — это закономерность подъема или падения показателя в динамике. Если построить модель, описывающую это явление, то получается довольно простой и очень удобный инструмент для прогнозирования, не требующий каких-либо сложных вычислений и временных затрат на проверку значимости и адекватности влияющих факторов.
Линейная модель тренда — самая простая, интуитивно понятная и часто встречающаяся из всех существующих. Она описывает равномерное изменение показателя во времени. С линейным трендом справится каждый, достаточно лишь уметь пользоваться стандартными формулами Excel.
Уравнение линейного тренда имеет такой вид — y(x)=a+bx, где:
В данной статье рассмотрим разные способы расчета линейного тренда с помощью встроенных excel-функций. А также учтем индекс сезонности при расчете прогнозных значений.
Для наглядности предлагаю сразу перейти в Excel или в Google Spreadsheets, функционала которых, для данного метода, более, чем достаточно.
Способ 1. Расчет линейного тренда с помощью функции ЛИНЕЙН
Наиболее наглядный метод, чтобы разобраться в механике расчета.
Шаг 1. Представим исходные данные в виде простой таблицы
Справа добавим столбцы для расчета значения тренда и индекса сезонности, выбранного в качестве дополнительного фактора влияния.
Шаг 2. Рассчитываем значение линейного тренда — y(x)=a+bx
Найдем значения параметров а и b с помощью функции ЛИНЕЙН, где первый параметр функции — диапазон значений y, второй — диапазон значений x. В третий и четвертый параметры вносим 1 и 0 соответственно:
Примечание для тех, кто работает в Exсel: чтобы рассчитать сразу 2 коэффициента линейного тренда (a) и (b), необходимо установить курсор в ячейку с формулой, выделить соседнюю справа и нажать клавишу F2, а затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД. Google Таблицы справляются сами по умолчанию.
Шаг 3. Для каждого периода рассчитываем значение линейного тренда
В известное уравнение y(x)=a+bx подставляем рассчитанные коэффициенты:
Шаг 4. Определяем индекс сезонности для каждого месяца (отношение продаж месяца к средней величине)
Фактически, нужно каждый объем продаж за месяц разделить на средний объем продаж за год:
Мы подготовили все необходимые данные для составления прогноза.
Шаг 5. Создаем таблицу для прогнозных значений на следующий год и рассчитываем значения тренда для них
Последовательность нумерации периодов продолжаем:
Шаг 6. На основе полученных данных, составляем прогноз по продажам на следующий год с учетом сезонности
Способ 2. Быстрый расчет прогноза, с помощью функций ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗ
Если вам показалось, что расчет первым способ долгий, вы можете воспользоваться функциями ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗ, которые моментально рассчитают значения тренда для будущих периодов.
Примечание. С функцией ЛИНЕЙН мы познакомились не зря, дальше в этом убедитесь.
Шаг 1. Рассчитываем значения линейного тренда с помощью стандартной функции ТЕНДЕНЦИЯ
Примечание для тех, кто работает в Excel. Чтобы рассчитать значения тренда для всего временного диапазона, выделяем диапазон ячеек равный диапазону с новыми значениями X с формулой в первой ячейке и нажимаем клавишу F2, а затем — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД.
Шаг 2. Рассчитываем значения линейного тренда с помощью стандартной функции ПРЕДСКАЗ
В данном случае формулу необходимо протянуть на все периоды, для которых нужно рассчитать значение.
Как можно исправить прогнозные значения тренда?
Иногда возникает необходимость внести коррективы в прогнозные значения. Такое случается, например, если вас не устраивает прогнозируемый рост и при этом вы понимаете, что есть факторы, которые на него повлияют (рекламная кампания, расширение сети сбыта и т.п.).
Скорректировать будущие значения тренда — возможно. Сделать это достаточно просто, на основе расчета первым способом, — с помощью функции ЛИНЕЙН.
Мы можем влиять на параметры a и b линейного уравнения y = a + bx, тем самым изменяя значения:
Таким образом, мы можем изменять наклон и уровень тренда, как в отдельности, так и одновременно (подробнее в примере):