что такое унитарное преобразование

Для унитарных пространств также, как для евклидовых, вводятся понятия длины (нормы, модуля) вектора, ортогональности векторов, ортогонального и ортонормированного базисов, процесса ортогонализации, ортогонального дополнения, изоморфизма. В частности, любое n-мерное унитарное пространство изоморфно комплексному арифметическому пространству [math]\mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением

Линейные преобразования унитарных пространств

Рассмотрим линейные преобразования конечномерных унитарных пространств, т.е. комплексных линейных пространств со скалярным произведением. Заметим, что в отличие от линейных преобразований вещественных пространств любое линейное преобразование комплексного пространства всегда имеет собственные значения и собственные векторы, которые совпадают с собственными значениями и собственными векторами матрицы этого преобразования, определенной относительно любого базиса.

Сопряженные преобразования унитарного пространства

Определения сопряженных преобразований унитарных и евклидовых пространств совпадают. Поэтому они имеют аналогичные свойства.

1. Сопряженное преобразование унитарного пространства — линейное.

2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования является сопряженной по отношению к матрице данного преобразования. Другими словами, если [math]A[/math] — матрица преобразования [math]\mathcal[/math] (определенная относительно ортонормированного базиса), то сопряженная матрица [math]A^<\ast>[/math] является матрицей сопряженного преобразования [math]\mathcal^<\ast>[/math] (определенной относительно того же базиса).

Эрмитово преобразование унитарного пространства[/h1]

Определение эрмитова преобразования аналогично определению самосопряженного преобразования евклидова пространства. Поэтому они имеют аналогичные свойства.

2. Все корни характеристического уравнения эрмитова преобразования действительные.

3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям эрмитова преобразования, ортогональны.

[h2]Унитарное преобразование унитарного пространства

Унитарное преобразование аналогично ортогональному преобразованию евклидова пространства и обладает соответствующими свойствами (см. свойства ортогонального преобразования).

1. Унитарное преобразование — линейное.

2. Линейное преобразование унитарно тогда и только тогда, когда оно отображает ортонормированный базис в ортонормированный.

4. Унитарное преобразование обратимо.

5. Все собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице.

6. Определитель матрицы унитарного преобразования по модулю равен единице.

Нормальное преобразование унитарного пространства

Эрмитовы и унитарные преобразования являются нормальными, так как из равенства [math]\mathcal= \mathcal^<\ast>[/math] следует, что

Нормальное преобразование унитарного пространства обладает следующими свойствами.

Теорема (9.13) о диагонализируемости нормального преобразования

где [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] — собственные значения преобразования of, повторенные в соответствии с их кратностью.

Методика приведения нормального преобразования к диагональному виду аналогична методике приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду.

Источник

Унитарный оператор

где U ∗ — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре, элемент U алгебры называется унитарным элементом если

где I единичный элемент. [1]

Свойства унитарных преобразований:

Содержание

Примеры

Свойства

Унитарные преобразования в физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Унитарный оператор» в других словарях:

УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор U, отображающий предгильбертово пространство (в частности, гильбертово пространство) X в предгильбертово пространство Y и сохраняющий нормы (или длины векторов). Линейный оператор унитарен тогда и только тогда, когда ( х, y) =… … Физическая энциклопедия

унитарный оператор — unitarinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. unitary operator vok. unitärer Operator, m rus. унитарный оператор, m pranc. opérateur unitaire, m … Fizikos terminų žodynas

Унитарный оператор — обобщение понятия вращения евклидова пространства на бесконечномерный случай. Именно, У. о. – оператор вращений гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство) вокруг нулевой точки. Оператор U, отображающий гильбертово… … Большая советская энциклопедия

УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор U, отображающий линейное нормированное пространство Xна линейное нормированное пространство Yи такой, что Наиболее важными являются У. о., отображающие гильбертово пространство в себя. Такой оператор унитарен тогда и только… … Математическая энциклопедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — линейное преобразование, отображение между двумя векторными пространствами, согласованное с их линейными структурами. Точнее, отображение где Еи F векторные пространства над полем k, наз. л и н е й н ы м оператором из Ев F, если при всех… … Математическая энциклопедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

Линейное отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Линейное отображение, линейный оператор обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные… … Википедия

Функциональный анализ — I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия

Представление Гейзенберга — Квантовая механика … Википедия

Источник