Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы решили подробно рассказать о такой геометрической фигуре, как ТРАПЕЦИЯ.
Ее подробно изучают на уроках геометрии в 8-м классе. И эти уроки являются частью общего знакомства школьников с различными четырехугольниками.
Определение трапеции
Трапеция – геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник, у которого две противоположные стороны располагаются на параллельных прямых. А две другие стороны должны, наоборот, быть не параллельными.
Вот так выглядит классическая трапеция:
У этой фигуры стороны АВ и CD являются параллельными. А вот AD и CB – нет.
Происхождения слова
Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида.
В его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом.
Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:
Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.
И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.
Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает « обеденный стол». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.
Стороны трапеции
Парные стороны трапеций имеют свои названия:
Закрепим это с помощью рисунка:
В данном случае стороны АВ и CD параллельны друг другу. А значит, именно они являются основаниями. А вот АС и BD – наоборот, явно не параллельны. И соответственно, это боковые стороны.
Кстати, расположение сторон не зависит от расположения самой фигуры. Даже вот в таких положениях
все равно параллельные стороны будут считаться основаниями, а непараллельные – боковыми.
Равнобедренная и прямоугольная трапеции
Вариант трапеции, который мы рассмотрели – это самые распространенные виды геометрической фигуры. Но есть и частные случаи:
Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые (не параллельные) стороны равны. Ее еще называют равнобокой или равнобочной.
Выглядит она вот так:
В данном примере графически показано, что стороны AD и ВС равны между собой. Об этом свидетельствуют небольшие черточки.
Прямоугольная трапеция – та, у которой одна из боковых сторон и основания образовывают прямой угол.
Выглядит она вот так:
В данном примере, углы DAB и ADC являются прямыми, то есть равны 90 градусам. А соответственно, трапеция называется прямоугольной.
Тут важно заметить, что под прямым углом к основанию должна идти только одна боковая сторона. Если будут обе, то трапеция автоматически превратится в квадрат.
Свойства трапеций
С трапециями связаны несколько понятий в геометрии, которые активно используются для решения различных теорем.
Средняя линия
Средняя линия трапеции – это отрезок, который идет параллельно основаниям и соединяет середины:
Со средней линией связана одна интересная теорема. Очень часто на уроках геометрии школьников просят определить ее длину. И сделать это весьма просто.
Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин ее оснований.
Звучит может и несколько тяжеловато. Но на деле – это весьма просто. Так, чтобы посчитать в нашем примере длину отрезка MN, который является средней линией, надо применить формулу:
И это правило распространяется на все виды трапеций.
Биссектриса углов трапеции
Биссектриса – это линия (луч), которая делит угол пополам. Так вот
Любая биссектриса, выведенная из угла трапеции, отсекает на основании отрезок, равный по длине боковой стороне.
На данном рисунке отрезок АЕ является биссектрисой угла ABD. И исходя из этого, отрезки АВ и ВЕ равны между собой, о чем свидетельствуют небольшие черточки на них.
В то же время у биссектрис в трапеции есть еще одно свойство.
Две биссектрисы, выведенные из углов одной боковой стороны, пересекаются под прямым углом.
Все эти теоремы в процессе школьного обучения, ученикам еще необходимо доказывать. Ну а мы решили не приводить долгие математические и геометрические выкладки. Просто примите как данность!
Вот и все, что мы хотели рассказать вам о трапеции.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (1)
А я, глядя на трапецию, пуделя своего вспомнил, о трапеции он ничего не знал, но вставал в такую стойку, что передние и задние лапы образовывали трапецию.
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.
Содержание
Виды трапеций
Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.
Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.
Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.
Элементы трапеции
a, b — основания трапеции ( a параллельно b ),
m, n — боковые стороны трапеции,
h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),
MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).
Площадь трапеции
Свойства трапеции
Средняя линия трапеции
Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:
MN || a, MN || b, MN = \frac
Сумма углов трапеции
Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^ <\circ>:
Равновеликие треугольники трапеции
Подобие образованных треугольников трапеции
\triangle AOD \sim \triangle COB
Коэффициент подобия k находится по формуле:
Причем отношение площадей этих треугольников равно k^ <2>.
Отношение длин отрезков и оснований
Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:
Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.
Описанная около трапеции окружность
Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.
Вписанная в трапецию окружность
Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.
Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон
Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция (понятие, определение):
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.
Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Виды трапеций:
Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Рис. 2. Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.
Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.
Рис. 3. Прямоугольная трапеция
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.
AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.
AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.
Рис. 5. Трапеция и срединная линия
Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.
Высота трапеции (h) определяется формулой:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
Свойства трапеции:
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Рис. 7. Трапеция и срединная линия
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
Рис. 10. Трапеция
6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.
Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.
Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.
9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.
BC : AD = OC : AO = OB : DO
10. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,
KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции
12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S1 и S2 – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.
2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.
3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.
4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.
5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.
6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.
Формулы трапеции:
Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d1 и d2 – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.
Формулы для определения сторон трапеции:
Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
a = b + h · (ctg α + ctg β)
b = a – h · (ctg α + ctg β)
Через боковые стороны и углы при нижнем основании:
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a – c· cos α – d· cos β
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
Формулы для определения средней линии трапеции:
Через длины оснований трапеции:
Через площадь и высоту трапеции:
Формулы для определения высоты трапеции:
Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
Через диагонали трапеции и углы между ними:
Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:
Через площадь и длины оснований трапеции:
Через площадь и длину средней линии трапеции:
Формула для определения периметра трапеции:
Формулы для определения площади трапеции:
Через основания и высоту трапеции:
Через среднюю линию и высоту трапеции:
Через диагонали трапеции и угол между ними:
Через все стороны трапеции:
С помощью формулы Герона для трапеции:
Как называется объемная трапеция?
Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.
В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.