что такое трансцендентное число

Трансцендентное число

Полезное

Смотреть что такое «Трансцендентное число» в других словарях:

Трансцендентное число — (от лат. transcendere переходить, превосходить) это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами. Содержание 1 Свойства 2… … Википедия

трансцендентное число — число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число π = 3,14159. ; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828. и др … Энциклопедический словарь

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не удовлетворяющее никакому алгебр. ур нию с целыми коэффициентами. Т. ч. являются: число ПИ = 3,14159. ; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828. и др … Естествознание. Энциклопедический словарь

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Областью определения таких чисел являются ноля действительных, комплексных и р адических чисел. Существование и явные построения действительных Т. ч. обосновал Ж. Лиувилль… … Математическая энциклопедия

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение это уравнение … Википедия

ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

Число E — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Число e — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Число Эйлера — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Источник

Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Содержание

Свойства

Примеры

История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если , — алгебраическое число, и — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Некоторые открытые проблемы

См. также

Примечания

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Трансцендентное число» в других словарях:

трансцендентное число — число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число π = 3,14159. ; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828. и др … Энциклопедический словарь

Трансцендентное число — число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение) с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам (См. Алгебраическое число).… … Большая советская энциклопедия

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не удовлетворяющее никакому алгебр. ур нию с целыми коэффициентами. Т. ч. являются: число ПИ = 3,14159. ; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828. и др … Естествознание. Энциклопедический словарь

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Областью определения таких чисел являются ноля действительных, комплексных и р адических чисел. Существование и явные построения действительных Т. ч. обосновал Ж. Лиувилль… … Математическая энциклопедия

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение это уравнение … Википедия

ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

Число E — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Число e — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Число Эйлера — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Источник

Трансцендентное число

Содержание

История [ править ]

Джозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 г. [8], а в 1851 г. привел первые десятичные примеры, такие как постоянная Лиувилля.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа несчетны. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. [11] [12] Хотя это уже подразумевалось в его доказательстве счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, которая доказывает, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько существует действительных чисел. [13] Работа Кантора установила повсеместное распространение трансцендентных чисел.

Свойства [ править ]

Никакое рациональное число не является трансцендентным, а все настоящие трансцендентные числа иррациональны. В иррациональных числах содержат все действительные числа трансцендентных и подмножество алгебраических чисел, включая квадратичные иррациональности и другие формы алгебраических иррациональные.

В невычислимых числах представляют собой строгое подмножество чисел трансцендентных.

Доказано, что числа трансцендентны [ править ]

Числа оказались трансцендентными:

Возможные трансцендентные числа [ править ]

Числа, трансцендентные или алгебраические числа которых еще предстоит доказать:

Набросок доказательства того, что е трансцендентно [ править ]

Теперь для положительного целого числа k определим следующий многочлен:

и умножьте обе части приведенного выше уравнения на

чтобы прийти к уравнению:

c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) = 0. <\displaystyle c_<0>\left(\int _<0>^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)+c_<1>e\left(\int _<0>^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)+\cdots +c_e^\left(\int _<0>^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)=0.>

Разбив соответствующие области интегрирования, это уравнение можно записать в виде

P = c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 1 ∞ f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 2 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ n ∞ f k e − x d x ) Q = c 1 e ( ∫ 0 1 f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 0 2 f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 n f k e − x d x ) <\displaystyle <\beginP&=c_<0>\left(\int _<0>^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)+c_<1>e\left(\int _<1>^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)+c_<2>e^<2>\left(\int _<2>^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)+\cdots +c_e^\left(\int _^<\infty >f_e^<-x>\,dx\right)\\Q&=c_<1>e\left(\int _<0>^<1>f_e^<-x>\,dx\right)+c_<2>e^<2>\left(\int _<0>^<2>f_e^<-x>\,dx\right)+\cdots +c_e^\left(\int _<0>^f_e^<-x>\,dx\right)\end>>

Доказательство. Каждый член в P представляет собой целое число, умноженное на сумму факториалов, которая получается из отношения

что справедливо для любого положительного целого числа j (рассмотрим гамма-функцию ).

Он не равен нулю, потому что для любого a, удовлетворяющего 0 c a e a ∫ a ∞ f k e − x d x <\displaystyle c_e^\int _^<\infty >f_e^<-x>\,dx>

f k e − x = x k [ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 e − x = ( x ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ) k ⋅ ( ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) e − x ) = u ( x ) k ⋅ v ( x ) <\displaystyle <\beginf_e^<-x>&=x^[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^e^<-x>\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^<-x>\right)\\&=u(x)^\cdot v(x)\end>>

завершая доказательство этой леммы.

Превосходство числа π [ править ]

Для получения подробной информации о доказательствах трансцендентности π и e см. Ссылки и внешние ссылки.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

История

Джозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 году, а в 1851 году привел первые десятичные примеры, такие как постоянная Лиувилля.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа несчетны. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. Хотя это уже подразумевалось в его доказательстве счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, которая доказывает, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько существует действительных чисел. Работа Кантора установила повсеместное распространение трансцендентных чисел.

Характеристики

Никакое рациональное число не является трансцендентным, а все настоящие трансцендентные числа иррациональны. В иррациональных числах содержат все действительные числа трансцендентных и подмножество алгебраических чисел, включая квадратичные иррациональности и другие формы алгебраических иррациональные.

В невычислимых числах представляют собой строгое подмножество чисел трансцендентных.

Числа оказались трансцендентными

Числа оказались трансцендентными:

Возможные трансцендентные числа

Числа, трансцендентные или алгебраические числа которых еще предстоит доказать:

Набросок доказательства трансцендентности e

Теперь для положительного целого числа k определим следующий многочлен:

и умножьте обе части приведенного выше уравнения на

чтобы прийти к уравнению:

Разбив соответствующие области интегрирования, это уравнение можно записать в виде

Доказательство. Каждый член в P представляет собой целое число, умноженное на сумму факториалов, которая получается из отношения

что справедливо для любого положительного целого числа j (рассмотрим гамма-функцию ).

равна e −x, умноженному на сумму членов, младшая степень x которых равна k +1 после замены x на x + a в интеграле. Тогда это становится суммой интегралов вида

заканчивая доказательство этой леммы.

Трансцендентность π

Для получения подробной информации о доказательствах трансцендентности π и e см. Ссылки и внешние ссылки.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

602440 | Трансцендентное число (математика)>

Источник

трансцендентное число

Смотреть что такое «трансцендентное число» в других словарях:

Трансцендентное число — (от лат. transcendere переходить, превосходить) это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами. Содержание 1 Свойства 2… … Википедия

Трансцендентное число — число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение) с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам (См. Алгебраическое число).… … Большая советская энциклопедия

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не удовлетворяющее никакому алгебр. ур нию с целыми коэффициентами. Т. ч. являются: число ПИ = 3,14159. ; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828. и др … Естествознание. Энциклопедический словарь

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Областью определения таких чисел являются ноля действительных, комплексных и р адических чисел. Существование и явные построения действительных Т. ч. обосновал Ж. Лиувилль… … Математическая энциклопедия

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение это уравнение … Википедия

ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

Число E — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Число e — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Число Эйлера — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Источник