что такое тор в математике
Геометрические тела. Тор (тороид).
Тор (тороид) — поверхность вращения, которая получается методом вращения образующей окружности вокруг оси, которая лежит в плоскости этой окружности, но при этом не проходит через её центр. Причем ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности.
В 1-х двух случаях тор является закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.
Красным обозначена образующая окружность.
Тор – это поверхность 4-го порядка.
Ось тора.
Ось тора может располагаться вне образующей окружности или касаться её.
Свойства тороида.
Сечения тороида.
1. При сечении тора бикасательной плоскостью кривая четвёртого порядка, которая образуется, является вырожденной: пересечение называется объединением 2-х окружностей являющимися окружностями Вилларсо:
2. Открытый тор можно представить в виде поверхности вращения окружности зацепленной за ось вращения.
3. 1-но из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, остальные кривые линии называются графическими линиями и являются кривыми Персея (спирические линии, сечения тора плоскостью, которая параллельна его оси)
4. Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью выглядят как эллипс (кривая второго порядка). Кривая, которая получается т.о., выражается алгебраическим уравнением четвертого порядка.
8 необычных геометрических форм, о существовании которых ты вряд ли знал
Какие фигуры ты знаешь? Квадрат, круг, треугольник. Этого вполне достаточно для повседневных задач. Но форм куда больше, чем ты можешь себе представить, и они порой настолько необычные, что кажется, будто их выдумали, просто чтобы потренироваться в фантазии.
1. Тор
Если говорить научным языком, тор, или, как его ещё называют, тороид, — это поверхность, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её. Звучит непонятно, и человеку, незнакомому с геометрией, вообще невозможно представить, что это такое.
А на самом деле всё просто, ведь тор ты видишь каждый день — это форма бублика, пончика, спасательного круга, шины колеса и всего похожего на них. Что касается природы, то и в ней встречаются такие фигуры. Например, форму тора имеют вихревые потоки, электромагнитные поля, траектории элементарных частиц.
Так что в следующий раз, когда тебя спросят, какую форму имеет пончик, можешь сказать, что это тор.
2. Треугольник Рёло
Треугольник Рёло — это область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Сам треугольник чем-то напоминает медиатор для гитары и имеет не прямые, а изогнутые грани.
Его ты тоже регулярно встречаешь в обычной жизни. Так, например, треугольник Рёло используют в сфере искусства для уже упомянутых струнных инструментов, а также при рисовании различных диаграмм, где несколько элементов по кругу, сочетаясь между собой, приводят к центральному ядру.
Кроме того, треугольник Рёло — это одна из первых изобретённых человеком форм, так как древние люди, изготавливая свои примитивные орудия труда из камня, нередко обтачивали их именно в такой форме, что позволяло использовать их с любой стороны.
3. Гиперболоид
Гиперболоид — это трёхмерная форма, которая напоминает песочные часы. Существуют однополостные и двухполостные гиперболоиды. Вторые ты можешь увидеть в тех знаменитых тарелках спутниковой связи, а также в телескопах, если интересуешься астрономией. Не путай гиперболоид с гиперболой — это разные вещи.
4. Аполлонийская прокладка, или аполлоническая сетка
Это очень сложная фигура, состоящая из одного большого круга с кругами меньшего размера, которые заполняют пространство внутри него.
Эта фигура редко где используется, и её можно было встретить в старых калейдоскопах, а также в искусстве. В художественных школах иногда ученики рисуют аполлонийские прокладки для отработки навыка рисования ровных кругов от руки.
5. Балбис
Думаешь, что буква Н — это просто буква? На самом деле это геометрическая форма, которую по-простому можно описать как одну первичную линию, которая завершается вторичной линией на одном конце и ещё одной — на другом. Завершающие линии располагаются под прямым углом к первичной, а его параллельные стороны могут быть бесконечно длинными.
6. Лента Мёбиуса
Про эту фигуру ты мог слышать в каких-нибудь фантастических фильмах, да и то редко. Это простейшая неориентируемая поверхность, являющаяся односторонней и непрерывной в трёхмерном пространстве. Лучше увидеть ленту Мёбиуса своими глазами, чтобы понять, что это такое. Если ты хочешь пошутить над человеком, то просто попроси его развернуть ленту Мёбиуса так, чтобы она не изгибалась. Заранее скажем, что сделать это невозможно.
7. «Рыбий пузырь»
Эта фигура больше известна как Vesica piscis, и она образована пересечением двух кругов с одинаковым радиусом, наложенных так, что центр одного лежит на окружности другого.
Где ты мог видеть такую фигуру? К примеру, в эмблеме Audi или Олимпийских игр. Также «рыбий пузырь» можно встретить в средневековой архитектуре в орнаментах и мозаиках.
8. Лемниската
Не зря лемниската идет у нас под восьмым номером, ведь своим видом она напоминает именно эту цифру, а также символ бесконечности. Эта плоская алгебраическая кривая может иметь несколько фиксированных фокусов, и от количества точек будет зависеть её конечная форма.
ПОВЕРХНОСТЬ ОТ ВРАЩЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ
Аннотация
Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.
Ключевые слова: вращение; ось; окружность; сфера; тор; мнимое сопровождение; сингулярность; двойные точки.
Введение
1. Круговой тор
Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.
Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.
где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.
Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r 2 + R 2 ).
Исследование тора сечениями.
Три вида точек поверхности тора.
В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k1k2. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k1 и k2 имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K
Площадь поверхности и объём тора.
Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:
2. Мнимое сопровождение тора
* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].
. 3. Сфера от вращения окружности
Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.
В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.
Пусть ось расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.
Уравнение образующей окружности:
c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.
Заключение
Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их «иероглифами анализа» не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.
Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.
Список литературы
Рисунки к докладу
а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки
Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения
Задание сферы Ω(R) образующей окружностью c(r) и осью вращения a
