что такое тензор простыми словами

Что такое тензор?

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Jun 22, 2020 · 3 min read

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Концепция тензора была создана в 1900 году двумя итальянскими математиками — Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, и, как это обычно бывает, основывалась на работе других математиков. Страница в Википедии о тензорах начинается так:

Звучит непросто для тех, кто не разбирается в математике!

К счастью, на практике намного проще понять, что такое тензор и как он используется в науке о данных.

Я предпочитаю изображать тензор в виде в л оженных “списков” чисел с любым количеством “уровней”. Другой способ представления: ячейка в электронной таблице Excel, содержащая все данные из другой таблицы. Во второй таблице каждая ячейка связана с другой таблицей и так далее. Каждую таблицу можно рассматривать как дополнительное “измерение”.

Тензор первого порядка имеет только одно измерение. В компьютерных науках это можно назвать вектором или упорядоченным набором чисел. Тензор второго порядка будет матрицей, как электронная таблица в Excel, то есть двумерным. С ростом числа измерений можно рассматривать информацию как векторы, матрицы или массивы, вложенные в массивы, с любым числом измерений ( n-мерные).

Вот как можно представить тензор третьего порядка:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Каждая из групп верхнего уровня значений представлена разным цветом. В этом примере цифры каждого значения соответствуют конкретной ячейке значения в общей структуре данных. Крайняя правая цифра каждого значения соответствует группе верхнего уровня, к которой она относится. Все значения красного цвета находятся в группе верхнего уровня номер 1, зелёные — в группе номер 2 и голубые в группе номер 3.

Каждая группа верхнего уровня является матрицей (двумерной). Крайняя левая цифра каждого значения соответствует строке, в которой находится, а средняя цифра — столбцу. Таким образом сохраняется порядок всех значений, что позволяет нам выполнять вычисления на всей структуре, используя другие векторы, матрицы или массивы.

Вот та же структура, содержащая другую информацию:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Каждая буква отображает уникальное положение в структуре; та же цветовая кодировка используется для разграничения матриц верхнего уровня.

Более сложная визуализация возможна с трёхмерным кубом. Каждый вертикальный уровень такого куба будет содержать данные одной из групп верхнего уровня, создавая куб 3x3x3 с 27 уникальными местоположениями. Но возможность визуализировать тензор при помощи графики исчезает, как только мы выходим за пределы трёх измерений.

Из-за этого ограничения давайте рассмотрим, как можно закодировать те же данные, используя компьютерное ПО. С помощью Python и Numpy создадим массив числовых данных из первого примера:

При таком кодировании нам доступно любое количество измерений, что имеет колоссальное значение при работе с гигантскими объёмами сложных данных!

Я надеюсь, у меня получилось объяснить, что, как минимум в машинном обучении, тензоры могут быть представлены в виде вложенных массивов.

Источник

Тензор

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Часто тензор представляют как многомерную таблицу что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, заполненную числами — компонентами тензора (где что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами— размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом.

Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.

Содержание

Определения

Современное определение

Тензор ранга что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словаминад что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами-мерным векторным пространством что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиесть элемент тензорного произведения что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамипространств что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамии что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамисопряжённых пространств что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами(то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами)

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Сумма чисел что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словаминазывается валентностью тензора (её также часто называют рангом). Тензор ранга что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамитакже называется что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамираз ковариантным и что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамираз контравариантным.

Тензор как полилинейная функция

Точно так же как ковариантный тензор ранга что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиможно представлять как линейный функционал, тензор что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиранга что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиудобно представлять себе как функцию что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиот что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамивекторных аргументов что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, которая линейна по каждому аргументу что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами(такие функции называются полилинейными), то есть для любой константы что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамииз поля что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами(над которым определено векторное пространство)

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

В том же ключе, тензор что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамипроизвольного ранга что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамипредставляется полилинейным функционалом от что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамивекторов и что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиковекторов:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Компоненты тензора

Выберем в пространстве что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамибазис что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, и соответственно что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамидуальный базис в сопряжённом пространстве что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами(то есть что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, где что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами— символ Кронекера).

Тогда в пространстве тензоров что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиестественным образом возникает базис

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами.

Произвольный тензор что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиможно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Используя соглашение Эйнштейна это разложение записывается как

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Числа что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словаминазываются компонентами тензора что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами. Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние — контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамибудет таким:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

О классическом определении

Классический подход к определению тензора, более распространённый в физической литературе, начинает с представления тензоров в компонентах. Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом, то есть набором чисел, занумерованных несколькими индексами, или, иначе говоря, таблицей (вообще говоря, что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами-мерной, где что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамивалентность тензора (см. выше)).

Так вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом (строкой или лучше — столбцом), а такие объекты как линейный оператор и квадратичная форма — двумерной матрицей. Скаляр же (тензор нулевого ранга) задаётся одним числом (которое можно рассматривать как нульмерный массив с единственным элементом). (Скаляры и векторы удобно рассматривать в качестве частных случаев тензоров, так как все тензорные определения и теоремы для них в силе и векторы со скалярами можно при общем рассмотрении не упоминать отдельно).

Вводятся тензорные операции, которые можно считать прямым обобщением матричных операций (умножение матриц между собой и с векторами), а также векторных операций, таких, как скалярное произведение. Эти операции, если исходить из современного (аксиоматического) определения, прямо вытекают из (поли-)линейности тензоров в этом определении, после разложения векторов, свёртываемых с тензорами, по базису векторного пространства, точно так же, как и матричные операции вытекают из линейности линейных операторов и билинейных форм, представлением каждого из которых в конкретном базисе является конкретная матрица.

С помощью этих операций тензоры связываются с такими фундаментальными геометрическими объектами, как векторы и скаляры, чем, в конечном счёте, определяется их геометрический смысл. Эти же операции связывают тензоры с матрицами преобразований координат (матрицами Якоби). Если речь идёт о тензорном анализе на (римановом или псевдоримановом, с которыми обычно имеют дело в классическом подходе, по крайней мере, на первом этапе) многообразии общего вида, все эти операции определяются обычно общековариантным способом (то есть способом, не зависящим от выбора криволинейных координат) с помощью метрического тензора.

Основными тензорными операциями являются сложение, в этом подходе сводящееся к покомпонентному сложению, аналогично векторам, и свёртка — с векторами, между собой и сами с собой, обобщающая матричное умножение, скалярное произведение векторов и взятие следа матрицы. Умножение тензора на число (на скаляр) можно при желании считать частным случаем свёртки, оно сводится к покомпонентному умножению.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность, от них не зависит.

Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое.

Например, скалярное произведение и длина векторов не меняется при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным. Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ построения скалярных инвариантов.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону.

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса

Следует заметить, что при этом подразумевается, что все тензоры (все тензоры над одним векторным пространством), независимо от их ранга (то есть и векторы в том числе), преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы). Компоненты тензора, таким образом, преобразуются по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент.

Например, компоненты тензора

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

преобразуется так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора.

Примеры

Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат. Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.

Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся:

Тензорные операции

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

Симметрии

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя любые индексы, учитывая, правда, следующее: симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии же, смешивающие ко- и контравариантные индексы тензоров, как правило, не имеют особого смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения (то есть неинвариантны).

Впрочем, в присутствии метрического тензора, наличие операций поднятия или опускания индекса устраняет это неудобство, и ограничение этим по сути снимается, когда тензор представлен подходящим образом (так, например, тензор кривизны Римана что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиантисимметричен по первым двум и последним двум индексам).

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.

Тензоры в физике

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твердое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела.

Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся.

Примерами тензоров в физике являются:

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров, а более точно — симметричных тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора (удельной) электропроводности что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами. Интуитивно понятно, что анизотропная среда, например, кристалл, или даже какой-то специально изготовленный искусственный материал, не будет в общем случае проводить ток одинаково легко во всех направлениях (например, из-за формы и ориентации молекул, атомных слоев или каких-то надмолекулярных структур — можно представить себе, например, тонкие проволочки хорошо проводящего металла, одинаково ориентированные и вплавленные в плохо проводящую среду). Возьмем за основу для простоты и конкретности, последнюю модель (хорошо проводящие проволочки в плохо проводящей среде). Электропроводность вдоль проволочек будет большой, назовем ее что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, а поперек — маленькой, обозначим ее что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами. (Ясно, что в общем случае (например, когда проволочки сплюснуты в сечении и эта сплюснутость также ориентирована у всех проволочек одинаково, электропроводность что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамибудет отличаться от что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, в случае же круглых равномерно распределенных проволочек — что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, но не равны что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами). Довольно нетривиальный в общем случае, но довольно очевидный в нашем примере, факт состоит в том, что найдутся три взаимно перпендикулярных направления, для которых связь вектора плотности тока что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамии напряженности вызывающего его электрического поля что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамибудут связаны просто числовым множителем (в нашем примере — это направление вдоль проволочек, второе — вдоль их сплюснутости и третье перпендикулярное первым двум). Но любой вектор можно разложить на компоненты по этим удобным направлениям:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

тогда можно для каждой компоненты записать:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

И мы увидим, что для любого направления, не совпадающего с 1, 2 и 3, вектор что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиуже не будет совпадать по направлению с что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, если только не равны хотя бы два из что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамии что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами.

Переходя к произвольным декартовым координатам, не совпадающим с этими выделенными направлениями, мы вынуждены будем включить матрицу поворота для преобразования координат, и поэтому в произвольной системе координат соотношение между что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамии что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамибудет выглядеть так:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

то есть тензор электропроводности будет представлен симметричной матрицей что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами.

Учитывая же то, что удельная мощность тепловыделения что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамив проводнике равна скалярному произведению что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами, нетрудно записать:

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами

где что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами— удельное сопротивление — матрица, обратная матрице что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словами. Так мы наглядно видим еще одно типичное использование симметричного тензора второго ранга в физике — как квадратичной формы, преобразующей вектор в скаляр.

Таким образом, мы получили (правда, говоря строго, только для случая симметричного тензора) хороший наглядный геометрический образ тензора, применимый в физике. Этот образ состоит из ортогонального базиса (называемого собственным базисом тензора или его собственными координатами), ориентированного в пространстве определенным образом (определяемым свойствами среды, порождающей тензор), и трех (для трехмерного пространства) чисел (коэффициентов), связанных каждое с одной из этих осей (называемых собственными числами или собственными значениями тензора), предназначенных для умножения на них соответствующих компонент вектора, чтобы получить компоненты вектора нового. Как видим, в частном случае что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамиумножение на тензор что такое тензор простыми словами. Смотреть фото что такое тензор простыми словами. Смотреть картинку что такое тензор простыми словами. Картинка про что такое тензор простыми словами. Фото что такое тензор простыми словамисводится к умножению на число (на скаляр).

Или, умножая квадраты этих компонент (компонент в собственном базисе тензора) вектора на собственные числа, и сложив их, получаем скаляр. Поверхности уровня такой квадратичной формы — эллипсоиды. Такой эллипсоид служит также хорошим геометрическим образом тензора. Направление его главных осей — дает собственный базис тензора, а их величины — определяют его собственные числа.

В алгебре же всё сказанное иллюстрирует понятия собственных векторов (собственного базиса) и собственных чисел линейного оператора, квадратичной формы или матрицы, а процесс нахождения собственного базиса и собственных чисел (называемый задачей на собственные значения) называется диагонализацией оператора, квадратичной (или билинейной) формы или матрицы (так как матрица, представляющая оператор или билинейную форму становится в этом базисе диагональной).

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *