что такое тангенс отношение чего к чему

Тангенс

Тангенс (tg) — это отношение синуса к косинусу (tgα = sinα / cosα). Либо отношение противолежащего катета (дальнего/противоположного) к прилежащему (который находится рядом с углом).

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

В этом треугольнике тангенс угла вычисляется по этой формуле:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Обратите внимание, что в вычислении принимают участие только катеты, гипотенузы здесь нет (противолежащий делится на прилежащий — это тангенс острого угла прямоугольного треугольника).

Вычислите длину стороны BC, зная, что tan α = 0,4:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

tan α = противолежащий катет / прилежащий катет = BC / AB = x / 15

x / 15 = 0,4 x = 15 * 0,4 x = 6

Таблица тангенсов и котангенсов (главных углов от 0° до 360°)

α градусов30°45°60°90°180°270°360°
α радиан0π/6π/4π/3π/2π3π/2
tg α0√3/31√300
ctg α√31√3/300

Основные тригонометрические тождества

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Что такое синус?

Синус угла (sin) — это отношение противолежащего катета (который находится напротив угла) к гипотенузе (самой длинной стороне, находится напротив прямого угла).

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

В нашем примере sin α = BC/AC.

Что такое косинус?

Косинус угла (cos) — это отношение прилежащего катета (находится рядом с углом) к гипотенузе (самой длинной стороне, находится напротив прямого угла). В нашем примере cos α = AB/AC.

Что такое котангенс?

Котангенс угла (ctg) — это отношение прилежащего катета (который находится рядом с углом) к противолежащему (напротив угла). В нашем примере ctg α = AB / BC. Обратите внимание, что котангенс — это как «тангенс наоборот» (прилежащий делится на противолежащий), т. е. ctg α = AB / BC, а tg α = BC / AB (противолежащий делится на прилежащий).

Что такое секанс?

Секанс (sec или sec x) — это отношение гипотенузы (самой длинной стороны, напротив прямого угла) к прилежащему катету (рядом с углом) острого угла в прямоугольном треугольнике. Ещё секанс определяется формулой:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Что такое гипотенуза и катет?

Гипотенуза — это та сторона, которая находится напротив прямого угла (она самая длинная), в нашем треугольнике это сторона AC. Катеты — это две другие стороны, которые находятся рядом с прямым углом, в нашем треугольнике это стороны BC и AB:

Источник

Тригонометрия. Понятие тригонометрической величины (тангенс и котангенс).

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует, т.е. тригонометрическая величина это функция угла.

Линией тангенса (ADl, AD2 и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец А первого диаметра, от точки касания до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OMl, ОМ2 и. т.д.).

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Линией котангенса (BEl, ВЕ2 и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец В второго диаметра, от точки касания В до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OM1, OM2 и т.д.).

Тангенс угла (tgх) – это отношение линии тангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Котангенс угла (сtgх) — отношение линии котангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Знаки тангенса и котангенса для различных четвертей указаны на рисунке ниже:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Секанс (secx) и косеканс (cosecx) проще всего определить как обратные величины косинуса и синуса.

Существуют законы, которые связывают все тригонометрические функции между собой, т. е позволяют их выражать одну через любую другую.

Источник

Основное тригонометрическое тождество

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

tg 2 α + 1 = что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

1 + ctg 2 α = что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Подставляем значения sin α:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Тангенс — что это такое (отношение чего к чему) и как его найти (по формулам и по клеточкам)

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

Решение уравнения tg x = a

Обычная форма
записи решения:
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
Более удобная форма
записи решения
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Более удобная форма записи решения:

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Ограничения на число a:

Графическое обоснование решения уравнения tg x = a представлено на рисунке 3.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Частные случаи решения уравнений tg x = a

УравнениеРешение
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чемучто такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
tg x = – 1что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чемучто такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
tg x = 0что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чемучто такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
tg x = 1что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему
что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чемучто такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тригонометрические функции и их значение в изучении геометрии

В геометрии особую роль имеют тригонометрические функции, при помощи которых определяют, как относятся между собой стороны и углы прямоугольного треугольника. Конечно, тригонометрия не стоит на месте и со времен Евклида она намного шагнула вперёд и теперь может эти функции могут выражаться через решение дифференциальных уравнений.

В данный момент используются шесть обозначений для основных тригонометрических функций, причем четыре функции из шести, они стоят в ряду последними, можно определять не только с помощью геометрии.

Синус (sin) что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Косинус (cos) что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Тангенс (tg/tan) что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Котангенс (ctg/cot) что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Секанс (sec) что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Косеканс (cosec/csc) что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему.

Рассмотрим сам прямоугольный треугольник, обозначения его сторон и углов во всех справочниках, как обычно, стандартные, какой бы стороной он не лежал бы на плоскости.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

В этом треугольнике различают три угла, обозначаемые α, β, γ, при этом γ всегда 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла γ, называется гипотенузой, она обозначается буквой С. Угол α, с него начинаются все расчеты, находится напротив стороны а / ВС/, называемой противолежащей к этому углу, и сторона b /АС/, которая находится рядом, подлежит к этому углу и называется прилежащей.

По Евклидовой теории, которая верна до сих пор (и будет верна всегда), суммы углов такого треугольника, который находится в одной плоскости, будет равна 180 или числу π. И значение любого угла будут находиться в пределах между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

Эти функции можно выразить и через окружность путем задания системы координат. Задаем систему координат с центом в точке О. Угол, на который поворачивается отрезок ОА, изображенный на чертеже, будем считать произвольным, назовем его θ.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Тогда тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Следовательно, если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Применение функции тангенса для решения задач

Что бы научиться пользоваться этой функцией, Нужно попробовать решить несколько примеров по применению этой функции.

Пример: есть два катета ВС = 7 см и АС = 12 см. Нам нужно узнать все остальные данные о треугольнике.

Первая формула, это tg α = а : b. тогда tg α = 7 :12= 0, 5833, далее для нахождения угла α используем таблицы Брадиса. На пересечении градусов и минут находим ближайшее значение угла – 0,5844, соответствующее 30° и 18′.

что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть фото что такое тангенс отношение чего к чему. Смотреть картинку что такое тангенс отношение чего к чему. Картинка про что такое тангенс отношение чего к чему. Фото что такое тангенс отношение чего к чему

Находим ближайшую поправку, разную 3′. Отнимаем ее от нашего угла и получаем угол α = 30° 15′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов должна быть не больше 180°, а угол γ = 90° по условию. Тогда угол β = 90° – 30° 15′= 59°45′.

Нам осталось найти гипотенузу с.

Можем найти её через sin α, который равен а: с, тогда с = а : sin α.

Находим sin α через таблицу Брадиса. Ближайшее значение 30° 36′, будет 0,5060, тогда не хватает 3′, Что по полям поправок равно 0,0008. Добавляем это число к найденному: 0, 5060 + 0,0008 = 0,5068. Подставляем это значение в формулу, с = 7:0,5068, с = 13, 8 см. Задача решена.

Можно искать значение углов через значение числа π, которое равно 180°. Тогда наиболее популярные углы, такие, как тангенс 30 градусов, тангенс 0 градусов, тангенс 60 градусов, тангенс 90 градусов, тангенс 45 градусов, тангенс 15 градусов, тангенс 75 градусов можно рассматривать намного проще. Нужно знать, что тангенс 0 градусов равен 0, а тангенс 90 градусов не имеет конкретного значения.

Можно найти тангенс угла 5 градусов, который равен 0, 0875 и добавлять или отнимать от наиболее часто встречающихся углов. Например угол 45 градусов, его тангенс равен 1, тогда тангенс угла 50 градусов будет равен 1, 0875. Тангенс 35 градусов можно рассчитать путем добавления к тангенсу 30 градусов угол 5 градусов, а тангенс 10 градусов это удвоение угла 5 градусов.

Для удобства есть рассчитанная таблица основных углов через значение π.

Значение угла α (градусов)Значение угла α в радианахtg (тангенс)
Тангенс 000
Тангенс 15π/120.2679
Тангенс 30π/60.5774
Тангенс 45π/41
Тангенс 505π/185114
Тангенс 60π/31.7321
Тангенс 6513π/362.1445
Тангенс 707π/182.7475
Тангенс 755π/123.7321
Тангенс 90π/2
Тангенс 1055π/12-3.7321
Тангенс 1202π/3-1.7321
Тангенс 1353π/4-1
Тангенс 1407π/9-0.8391
Тангенс 1505π/6-0.5774
Тангенс 180π0
Тангенс 2703π/2
Тангенс 3600

Если угол больше 90 градусов, нужно помнить, что функции имеют свойство повторяться, поэтому, если ищем тангенс 145 градусов, тогда 180 – 145 = 35 градусов, но уже со знаком «минус», это можно понять по чертежу окружности, где положительное или отрицательное значение абсциссы и ординаты. Научиться быстро пользоваться таблицами Брадиса и рассчитывать значения треугольника совсем не сложно, главное, уловить суть процесса.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *