что такое суммы дарбу

Доказательство:Пусть функция f(x) неограничена на [a,b], тогда она неограничена на некотором частичном сегменте [x_k-1,x_k] любого данного разбиения Т сегмента [a,b]. Тогда слагаемое f( )Dx_k интегральной суммы , отвечающее этому разбиению Т, за счет выбора т. может быть сделано как угодно большим по абсолютной величине, т.е. интегральные суммы , отвечающие любому разбиению Т, не ограничены, и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм. Итак, будем рассматривать лишь ограниченные на [a,b] функции.

Замечание:Отметим, что вообще говоря, не всякая ограниченная на [a,b] функция является интегрируемой на этом сегменте.

Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.

Свойства верхних и нижних сумм подробно изложены в [2] (стр. 321-323), поэтому приведем лишь формулировки теорем и прокомментируем каждую из них с помощью рисунков.

Свойство 1.Для любого фиксированного разбиения Т и для любого e>0 промежуточные точки на сегментах [x_i-1,x_i] можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам
0£S-

Сегменты [x₀,x₁] и [x₂,x₃] поделились на сегменты [x₀,t₁], [t₁,x₁] и [x₂,t₂], [t₂,x₃], соответственно. Верхняя сумма на сегментах [x₀,t₁] и [x₂,t₂] уменьшилась на величину, равную площадям прямоугольников ABCD и KLMN, а на остальных частичных сегментах осталась без изменения, поэтому верхняя сумма разбиения уменьшилась по сравнению с верхней суммой S.

На рис.5 приведена аналогичная картина для нижних сумм.

Свойство 3.Пусть и любые два разбиения [a,b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если , ; , соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то £ ;

Источник

Суммы Дарбу

В качестве вспомогательного средства исследования, наряду с интегральными суммами, введём в рассмотрение так называемые суммы Дарбу. Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции в промежутке и составим суммы:

Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу.

В частном случае, когда непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция в каждом промежутке достигает своих границ, и точки можно выбрать так, чтобы было или

Пере6ходя к общему случаю, из самого определения нижней и верхней границ, имеем: . Умножив это неравенство на и просуммировав по , получим:

.

При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными, в то время как сумма ещё остаётся переменной ввиду производности чисел . Но за счёт выбора можно значения сделать сколь угодно близкими как к , так и к ,а значит – сумму сделать сколь угодно близкой к s или к S. А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему общему замечанию: при данном разбиении промежутка, суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.

Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:

I.Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшиться.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления ещё одной точки . Пусть .

Если обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней S она будет отличаться только тем, что в сумме S промежутку отвечало слагаемое , а в новой сумме этому промежутку отвечает сумма двух слагаемых , где и есть точные верхние границы функции в промежутках и . Так как эти промежутки являются частями промежутка , то

Складывая эти неравенства, получаем:

Отсюда и следует, что

Для нижней суммы доказательство аналогично.

II.Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка.

Доказательство:

Разобьём промежуток произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и . Рассмотрим теперь некоторые другие разбиения промежутка .Ему будут отвечать суммы и . Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Третье разбиение получено из первого добавлением новых точек деления; поэтому, на основании свойства 1) сумм Дарбу, имеем (обе нижние суммы!)

Составив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что . Но , так что из только что полученных неравенств вытекает:

.

Замечание. Из доказанного, следует, что всё множество нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой . В таком случае, это множество имеет конечную точную верхнюю границу: , и, кроме того, , какова бы ни была верхняя сумма . При этом множество верхних сумм оказывается ограниченным снизу числом Следовательно, оно имеет точную нижнюю границу: , получим, очевидно, .

Сопоставляя всё сказанное, имеем:

,(4)

Для любых и .

Числа и называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

ДАРБУ СУММА

наз. соответственно нижней и верхней интегральной Д. с. Для любых двух разбиений τ и τ’ отрезка [а, b] справедливо неравенство s_τ ≤ S_τ’, т. е. любая нижняя Д. с. меньше верхней. Если

— интегральная сумма Римана, то

Геометрич. смысл нижней и верхней Д. с. заключается в том, что они равны площадям ступенчатых фигур, состоящих из прямоугольников с основаниями длины Δx_i и высотами соответственно m_i и М_i (см. рис.). Эти фигуры в случае, когда f(х) ≥ 0, аппроксимируют изнутри и извне криволинейную трапецию, образованную графиком функции f(x), осью абсцисс и отрезками прямых х = а и х = b (которые могут вырождаться в точки).

наз. соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу. Они являются пределами нижних и верхних Д. с:

— мелкость разбиения τ. Условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(x) была интегрируема по Риману на отрезке [а, b]. При этом в случае выполнения условия (2) значение нижнего и верхнего интегралов Дарбу совпадает с интегралом Римана

Обобщением Д. с. для неограниченных μ-измеримых функций f, определенных на множествах , являются ряды (если они абсолютно сходятся)

где — разбиение множества Е ∈ _μ (это разбиение состоит, вообще говоря, из бесконечного числа μ-измеримых множеств удовлетворяющих

функция f интегрируема по мере μ и I = ∫_E f(x)dμ. Названы по имени Г. Дарбу [1].

Лит.: [1] Darboux G., «Аnn. sci. Ecole Norm. supér.», 1875, ser. 2, t. 4, p. 57-112; [2] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971-73; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1973; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975.

Источник

ДАРБУ СУММА

наз. соответственно нижней и верхней интегральной Д. с. Для любых двух разбиений t и t’ отрезка [ а, b]справедливо неравенство т. е. любая нижняя Д. с. меньше верхней. Если

— интегральная сумма Римана, то

Геометрич. смысл нижней и верхней Д. с. заключается в том, что они равны площадям ступенчатых фигур, состоящих из прямоугольников с основаниями длины D х _i и высотами соответственно m_i и M_i (см. рис.). Эти фигуры в случае, когда аппроксимируют изнутри и извне криволинейную трапецию, образованную графиком функции f(x), осью абсцисс и отрезками прямых х=а и х=b (которые могут вырождаться в точки). Величины

наз. соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу. Они являются пределами нижних и верхних Д. с:

— мелкость разбиения т.Условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(x)была интегрируема по Риману на отрезке [ а, b]. При этом в случае выполнения условия (2) значение нижнего и верхнего интегралов Дарбу совпадает с интегралом Римана

Условие (2) с помощью Д. с. может быть сформулировано в следующей эквивалентной форме: для любого е>0 существует такое разбиение т, что

также является необходимым и достаточным для интегрируемости по Риману функции на отрезке [ а, b]. При этом

Пусть функция f ограничена на множестве Е,

также наз. нижней и, соответственно, верхней Д. с. Нижний I_* и верхний I* интегралы определяются по формулам (1). В случае меры Жордана их равенство является необходимым и достаточным условием интегрируемости функции по Риману, причем их общее значение совпадает с интегралом Римана. В случае же меры Лебега для ограниченных измеримых по Лебегу функций всегда

Обобщением Д. с. для неограниченных m-измеримых функций f, определенных на множествах являются ряды (если они абсолютно сходятся)

Названы по имени Г. Дарбу [1].

Источник