ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
такая последовательность 
что для всех 
выполняется неравенство 
Иногда такие последовательности наз. строго возрастающим и, а термин «В. п.» применяется к последовательностям, удовлетворяющим для всех плишь условию 
Такие последовательности наз. также неубывающими. Всякая ограниченная сверху неубывающая последовательность имеет конечный предел, а всякая не ограниченная сверху имеет бесконечный предел, равный +бесконечн. Л. Д. Кудрявцев.
Смотреть что такое «ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ» в других словарях:
возрастающая последовательность — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ascending sequence … Справочник технического переводчика
Возрастающая подпоследовательность — Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности состоит в отыскании наиболее длинной возрастающей подпоследовательности в данной последовательности элементов. Содержание 1 Постановка задачи 2 Родственные алгоритмы … Википедия
Возрастающая функция — Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Содержание 1 Определения 2… … Википедия
Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры )характеризуются множества чисел, обладающих определенными арифметич. свойствами. М. т. ч. тесно связана с теорией вероятностей, что иногда дает возможность… … Математическая энциклопедия
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности — утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих… … Википедия
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО — пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… … Математическая энциклопедия
Числовая последовательность
Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.
Обозначается числовая последовательность так:
 |
 |
где 
−i-ый член последовательности.
При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.
Последовательность нечетных чисел:
Последовательность простых чисел :
Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.
Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой
 |
Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.
Пример задания рекуррентной последовательности:
  |
В этой последовательности
  |
Пример стационарной последовательности:
 |
Возрастающие и убывающие последовательности
Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :
 |
Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :
 |
Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность
Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):
Найдем разность членов 
и 
:
    |
 . | (3) |
Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:
 |
Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).
Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (bn) является возрастающей и при каких, убывающей:
Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):
Найдем разность членов 
и 
:
       |
| (4) |
Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то 
. Тогда последовательность является убывающей. При a=10 
. Последовательность имеет одинаковые члены:
  |
т.е. имеем дело с последовательностью
Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 5. Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что yn Определение 6. Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что yn>k при любом n.
Определение 7. Последовательность (yn) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Пример 3. Показать, что последовательность (an) является монотоннной и ограниченной:
Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):
Найдем разность членов 
и 
:
      |
| (6) |
Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (an) возрастающая (и монотонная).
Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):
  |
Из выражения (7) видно, что при любых n an≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.
Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше 
. Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности:
На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:
 |
 |
Предел числовой последовательности
Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:
Определение 8. Число k называют пределом последовательности (yn), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n0, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n0 содержались в указанной окрестности.
Если k является пределом последовательности (yn), то пишут 
( 
стремится к k или сходится к k).
Обозначают это так:
Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.
Изложим некоторые пояснения к определению 8.
Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал 
, где 
радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n0, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.
   . |
Если же взять другую окресность 
(пусть 
), то найдется другой номер n1, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n1 > n0.
Пример 4. Дана полследовательность (yn):
Доказать, что 
.
Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы 
.
Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения
    . |
В качестве n0 берем 501. Имеем:
  . |
Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:
  . |
Далее, учитывая (13), имеем:
 . |
Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность 
. А по определению 8, это означает:
Пример 5. Дана полследовательность (yn):
Доказать, что 
.
Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы
    . |
    . |
Неравенство в (17) всегда выполняется так как n0 натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что 
для любого n0). Из неравенства (16) можно найти номер n0, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда 
. Тогда нужно брать n0=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).
Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:
  . |
Легко проверить, что 
. Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:
  . |
Пример 6. Найти предел последовательности
Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):
Тогда последовательность (18) можно переписать так:
   | (19) |
Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):
 |
Свойства сходящихся последовательностей
Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).
Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:
.
Теорема. Если 
, то
1. Предел суммы равен сумме пределов:
2. Предел произведения равен произведению пределов:
3. Предел частного равен частному пределов:
 |
4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:
Пример 7. Найти предел последовательности:
Решение. Так как 
, то
  . |
Пример 8. Найти предел последовательности:
Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим
   . |
Пример 9. Вычислить:
Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:
Что такое строго возрастающая последовательность
Теорема 3 (Beйepштpacc). Всякая возрастающая числовая последовательность <xn> имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограничена сверху, причем
= sup <xn>.
Аналогично, если <xn> — убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел
= inf <xn>.
и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность <xn> ограничена снизу, и бесконечен, если она неограничена снизу.
Рис. 52
Пусть последовательность <xn> возрастает. Докажем равенство (5.49). Остальные утверждения теоремы для возрастающих послеовательностей следуют из него очевидным образом.
Пусть 
= sup <xn>, значение может быть как конечным, так и бесконечным. Возьмем произвольную окресность U() точки и обозначим через ‘ ее левый конец (рис. 52). Очевидно, ‘ N имеет место неравенство
xn ‘
В силу возрастания последовательности <xn> из (5.51) и (5.52) следует, что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство
‘ n0 имеет место включение
xn 
U(),
= 
an = bn.
В самом деле, последовательность <an> возрастает, а <bn> убывает, кроме того (см. (4.25) в п. 4.5), было показано, что = sup <an> = inf <bn>. Поэтому равенство (5.55) сразу следует из теоремы 3.
Пример 6 (число e). Рассмотрим последовательность
и покажем, что она строго возрастает и ограничена сверху, а следовательно, согласно теореме 3 имеет конечный предел. Применив формулу бинома Ньютона, получим
Из выражения, стоящего в правой части равенства, видно, что при переходе от n к n + 1 число слагаемых (которые все положительны) в написанной сумме возрастает на единицу и каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличивается, так как становится больше выражение, стоящее в каждых круглых скобках, ибо
то при n > 1 из равенства (5.57) получим
(мы заменили сумму конечной геометрической прогрессии суммой бесконечной геометрической прогрессии, так как у последней проще формула). Итак,
e 
2,718281828459045.