Одночлен и его стандартный вид
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.
Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.
Стандартный вид одночлена
Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.
Что такое одночлен стандартного вида?
Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).
Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.
Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.
-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9
Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.
Степень одночлена
Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.
Рассмотрим, как найти степень одночлена.
– 113с 3 х 6
У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.
18ху
У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.
Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры
Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.
Что такое одночлен
В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:
К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.
Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему
Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.
Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).
Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.
Понятие степени одночлена
Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.
Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.
Приведем примеры степеней одночлена.
Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.
Понятие коэффициента одночлена
Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.
Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.
Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.
Степень одночлена
Что такое степень одночлена? Как ее найти?
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.
Если одночлен не содержит переменных (то есть является числом), то его степень считают равной нулю.
Таким образом, чтобы найти степень одночлена, надо определить показатель каждой из входящих в него переменных, и сложить их.
Показатель a равен 1, показатель b — 2, показатель c — 4. Степень одночлена равна сумме этих показателей: 1+2+4=7.
1+1+1=3. Следовательно, степень этого одночлена равна 3.
степень данного одночлена равна 1.
5+10+2=17. Значит, это — одночлен 17-й степени.
Одночлен не содержит переменных. По определению, степень такого одночлена равна нулю.
3 комментария
Спасибо за подробное описание, а то лишь «сумма показателей степеней переменных» сразу не очень понятно было
Спасибо большое! Очень помогает ваш сайт в изучении школьной алгебры.
Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.
Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.
Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.
Или другими словами:
Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.
Приведение одночлена к стандартному виду:
Произведение одночленов тоже является одночленом.
Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.
Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.
Число 0 является нулевым одночленом.
Подобные одночлены.
2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.
Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.
Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.
Подобными одночленами являются 
и 
; 
и 
; 
и 
; 5 и −3; 
и 
.
Подобными одночленами не являются 
и 
.
Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.
Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:
8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;
Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.
Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.
При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.
Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.
Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.
Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.
Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены
Перечень рассматриваемых вопросов:
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).
Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.
Правило приведения одночлена к стандартному виду:
Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:
Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».
И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.
Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.
Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.
Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.
Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).
А одночлены 14ac 5 ax и 3k4k 2 записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.
Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.
Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
12a 2 bc 3 – одночлен 6-й степени.
xy 4 – одночлен 5-й степени
1,2cp 8 – одночлен 9-й степени
Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.
Это одночлены 0 степени.
У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.
Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.
• перемножить все числовые множители;
• поставить полученный коэффициент на первое место;
• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.
Привести одночлен 4ac(-3)a 2 ck к стандартному виду.
Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.
Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.
Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.
Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.
Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:
1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;
2. привести все одночлены к стандартному виду;
3. сложить (вычесть) их коэффициенты;
4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.
Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.
Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.
Сумма подобных одночленов:
Разность подобных одночленов:
Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.
Действия над одночленами.
Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:
-(-7)aaa · (bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a
Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.
Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.
Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a 8 b 3 c 6 k 5
Второй одночлен записан в стандартном виде.
А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
-(-7)aaa · 2(bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a = 448a 8 b 3 c 6 k 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 14a 8 b 3 c 6 k 5 = (448 + 2 – 14)a 8 b 3 c 6 k 5 = 436a 8 b 3 c 6 k 5
Таким образом, мы привели подобные одночлены.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах
Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.
Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.