что такое стационарный случайный процесс

Что такое стационарный случайный процесс

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1).

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела па неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.

Случайная функция называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси ).

В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

. (17.1.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (17.1.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не мешает нам изучать его как стационарный процесс.

. (17.1.2)

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию (рис. 17.1.3).

Положим в выражении и рассмотрим — корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени . Очевидно, если случайный процесс действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси мы взяли участок , а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков и на рис. 17.1.3, имеющих одну и ту же длину , значения корреляционной функции и должны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка между первым и вторым аргументами:

. (17.1.3)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17.1.3). Действительно, полагая в формуле (17.1.3) имеем

. (17.1.4)

Таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов и , а только от разности между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

.

Отсюда для стационарного процесса, полагая , имеем:

, (17.1.5)

т. е. корреляционная функция есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 17.1.4).

На практике, вместо корреляционной функции , часто пользуются нормированной корреляционной функцией

, (17.1.6)

где — постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом по времени. Очевидно, что .

В качестве примеров рассмотрим два образца приблизительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики.

Пример 1. Случайная функция задана совокупностью 12 реализаций (рис. 17.1.5).

а) Найти ее характеристики , , и нормированную корреляционную функцию . б) Приближенно рассматривая случайную функцию как стационарную, найти ее характеристики.

Решение. Так как случайная функция меняется сравнительно плавно, можно брать сечения не очень часто, например через 0,4 сек. Тогда случайная функция будет сведена к системе семи случайных величин, отвечающих сечениям . Намечая эти сечения на графике и снимая с графика значения случайной функции в этих сечениях, получим таблицу (табл. 17.1.1).

Источник

Стационарный случайный процесс

Полезное

Смотреть что такое «Стационарный случайный процесс» в других словарях:

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени … Большой Энциклопедический словарь

стационарный случайный процесс — случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени. * * * СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени … Энциклопедический словарь

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс, вероятностные характеристики к рого не меняются с течением времени … Естествознание. Энциклопедический словарь

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — однородный во времени случайный процесс, случайный процесс X(t), статистич. характеристики к рого не меняются с течением времени t, т. е. инвариантны относительно временных сдвигов: при любом фиксированном значении а(действительном или… … Математическая энциклопедия

Стационарный случайный процесс с ограниченным спектром — 52. Стационарный случайный процесс с ограниченным спектром Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Узкополосный стационарный случайный процесс — 50. Узкополосный стационарный случайный процесс Стационарный случайный процесс, спектральная плотность которого сосредоточена в узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Широкополосный стационарный случайный процесс — 51. Широкополосный стационарный случайный процесс Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Стационарные случайные процессы

На практике встречаются процессы, которые имеют вид непрерывных случайных колебаний относительно некоторого среднего значения. При этом средняя амплитуда и характер этих колебаний с течением времени существенно не изменяется; их реализации имеют примерно одинаковый характер. Такие процессы относят к стационарным случайным процессам.

Случайный процесс называют стационарным, если n-мерная плотность вероятности не меняется при любом сдвиге всей группы точек вдоль оси времени, т.е.

. (6.10)

Примерами таких процессов являются: шумы в приемнике после его включения; шумы ламп, полупроводниковых приборов, резисторов, колебания самолета на установившемся режиме полета, случайные ошибки автоматических систем относятся к стационарным случайным процессам (рис. 6.7).

Рисунок 6.7 – Реализации стационарного случайного процесса

К нестационарным случайным процессам обычно относят, например, шумы приемника при его включении, модулированные по амплитуде и частоте шумовые колебания, потребление электроэнергии в городе в течение суток и другие не установившиеся случайные процессы (рис. 6.8).

Рисунок 6.8 – Нестационарные случайные процессы

Случайный процесс X(t), у которого вероятностные характеристики при любом совпадают с соответствующими характеристиками случайного процесса , называют стационарным в узком (строгом) смысле.

Случайный процесс X(t) называют стационарным, если математическое ожидание является постоянным, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т.е. , а . Такой случайный процесс является стационарным в широком смысле.

Из определения стационарности процесса вытекает, что среднее значение во всех сечениях процесса остается постоянным и не зависит от времени. Это значит, что оно является характеристикой не отдельных сечений, а процесса в целом. При этом математическое ожидание характеризует положение реализаций относительно оси абсцисс. Если оно равно нулю, то это означает, что отклонения в положительную и в отрицательную сторону в среднем одинаковы.

Корреляционная функция стационарного случайного процесса характеризуется следующими основными свойствами.

1 Дисперсия стационарного случайного процесса постоянна и равна значению корреляционной функции в начале координат, т.е.

.

2 Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной, т.е.

.

График корреляционной функции геометрически представляет собой симметричную относительно оси ординат кривую. Часто в различных приложениях встречается показательная корреляционная функция (рис. 6.9).

.

Рисунок 6.9 – График показательной корреляционной функции

Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса , представляет собой коэффициент корреляции, зависящий только от величины .

Эргодическое свойствостационарного случайного процесса. Для отыскания характеристик стационарного случайного процесса необходимо знать одномерную и двумерную плотности распределения этого процесса, или располагать достаточно большим числом реализаций процесса, чтобы с незначительной погрешностью определить значения характеристик.

Однако на практике, с одной стороны возникают существенные трудности в получении аналитических выражений одномерной и двумерной плотностей распределения стационарного случайного процесса, а с другой стороны исследователь, как правило, ограничен небольшим числом реализаций стационарного случайного процесса, в отдельных же случаях он не может получить более одной реализации процесса.

Возможность определения вероятностных характеристик по одной реализации стационарного случайного процесса достаточно большой продолжительности установил русский математик А. Я. Хинчин.

Случайный процесс называется эргодическим, если любая ее реализация несет в себе всю информацию о случайном процессе.

Рисунок 6.10 – Реализация стационарного случайного процесса

Эргодическое свойство имеют те стационарные случайные функции, которые не содержат в своем составе обыкновенную случайную величину.

Если стационарная случайная функция X(t) обладает эргодическим свойством, то:

а) ее математическое ожидание приближенно равно средней по времени ординате одной произвольно взятой реализации достаточно большой продолжительности (рис. 6.10):

; (6.11)

б) значение корреляционной функции при любом значении приближенно равно интегралу от произведения отклонения одной реализации в точках, отстоящих друг от друга на величину , от математического ожидания стационарной случайной функции

. (6.12)

Если , то и

. (6.13)

На практике формулами (6.11), (6.12) и (6.13) для определения приближенных характеристик не пользуются, так как аналитический вид реализации , как правило, неизвестен.

Поэтому интегралы (6.11), (6.12) и (6.13) заменяют конечными суммами, для чего реализацию на промежутке делят на n равных частей, длина каждого из которых равна . Тогда математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция будут определяться соответственно следующими выражениями:

, (6.14)

, (6.15)

. (6.16)

Если выполняется равенство , то стационарная случайная функция называется эргодической по отношению к математическому ожиданию; если же справедливо равенство , то – эргодической по отношению к корреляционной функции.

Во многих случаях удобно пользоваться достаточным условием эргодичности случайной функции

.

Расчет корреляционной функции существенно облегчается, если применяется аппарат гармонического анализа, операции которого выполняются без затруднений, благодаря наличию подробных таблиц.

Источник