что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a) что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b) что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольникеГипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Давайте докажем некоторые из них.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

0
0
0
0
0

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача решается за четыре секунды.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Найдем по теореме Пифагора.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Смотреть картинку что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Картинка про что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике. Фото что такое синус косинус тангенс котангенс в прямоугольном треугольнике

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *