что такое симметричная игральная кость

Игральная кость

Игра́льная кость — популярный источник случайности в настольных играх (особенно в одноимённой игре). Среди ролевиков также распространено название «дайс» (англ. dice ). В Средней Азии и на Кавказе называются зариками (ед.ч. зарик).

Игральная кость (по-английски «dice», производное от старофранцузского dé, а также от латинского datum, обозначающее «дар, предмет для игры») — это маленький предмет, который при падении на ровную поверхность занимает одно из нескольких возможных положений одной гранью вверх. Игральные кости используются как средства генерирования случайных чисел в азартных играх. Также они нашли широкое применение в настольных и ролевых играх.

Традиционная игральная кость — это кубик, на каждой из шести граней которого нанесены числа от 1 до 6. Целью кубика является демонстрация случайно определенного целого числа от одного до шести, каждое из которых является равновозможным благодаря правильной геометрической форме. Существует огромное количество разновидностей игральных костей: по форме — игральные кости могут быть многогранными или неправильной формы, по информационному наполнению — на их грани могут быть нанесены символы вместо чисел. Подобные различия позволяют использовать игральные кости для получения результатов, отличных от классической схемы «1-2-3-4-5-6». Также существуют игральные кости, утяжелённые с одной стороны или с другими невидимыми глазу изменениями, предназначенные для подтасовки результатов. Цель таких игральных костей — обмануть других игроков ради денежного выигрыша или просто для развлечения в качестве фокусов.

Игральная кость обычно выполнена в виде кубика с нанесёнными на его стороны числами от 1 до 6 (их принято располагать так, что сумма чисел на диаметрально противоположных сторонах равняется 7). Игральную кость можно рассматривать как генератор случайных чисел в целочисленном интервале [1..N] с практически одинаковой вероятностью выпадения всех чисел интервала. Такие генераторы обозначают 1dN.

Так, например, обычный кубик — это 1d6; бросание монетки — это работа генератора 1d2 и т. д.

Сокращение MdN обозначает сумму M применений 1dN. Следует отметить, что MdN даёт целые числа в интервале [M..M*N]. Вероятность выпадения числа из этого интервала растёт по мере приближения к его середине (см. биномиальное распределение).

Так, например, используя игральную кость d4 и бросив её два раза, мы получим генератор 2d4, дающий следующие варианты:

Пример генератора, не попадающего под определение MdN: колода карт, в которую не возвращаются вытянутые карты. Она будет 1dN только для первой попытки, распределения последующих попыток будут зависеть от предыдущих результатов.

В ролевых играх (например, основанных на правилах Dungeons & Dragons) используются игральные кости с 4 (тетраэдр), 6 (куб), 8 (октаэдр), 12 (додекаэдр), 20 (икосаэдр) и другим количеством граней. Лу Зокки изобрёл зоккиэдр, игральную кость со 100 гранями. Впрочем, для получения числа от 1 до 100 чаще пользуются двумя 10-гранными костями.

В среде ролевиков тип кубика часто обозначают буквой «d» (dice) или «к», (костей) после которых указывается количество сторон. Помимо привычных многим шестигранных кубиков (d6), используются четырёх- (d4), восьми- (d8), десяти- (d10), двенадцати- (d12) и двадцатигранные (d20) кости. Используется также обозначение d100, d% или «процентный кубик», представляющий собой два десятигранника, один из которых используется для определения количества десятков, а второй — единиц.

Содержание

История

Доподлинная дата появления игральной кости неизвестна. Однако установлено, что игре нарды, где должны были использоваться такие древние генераторы случайных чисел, уже более 5 тысяч лет.

Согласно греческой традиции, игральные кости были изобретены Паламедом, чтобы развлечь скучающих греческих солдат, ожидающих сражения под Троей.

Своим происхождением современные игральные кости обязаны старинной игре на ловкость под названием «бабки», в которую играли преимущественно женщины и дети. Игровой процесс заключался в бросании мелких косточек копытных животных, бабок, откуда и появилось название игры. Четырёхгранная форма бабок стала первой формой игральной кости в истории, а используемый материал для изготовления дал название, которое мы применяем до сих пор — «кость». Современные монголы до сих пор используют такие четырёхгранные кости «шагай» для игры и предсказаний. Для изготовления современных игральных костей помимо классических костей домашних животных используются такие материалы, как слоновая кость, дерево и пластик — ацетилцеллюлоза. В исторических летописях часто путают игру в кости и игру в бабки, но каждая из них прошла самостоятельный путь из древних времён и до сих пор пользуется популярностью.

Существует несколько библейских упоминаний о «бросании костей», например, в стихе 22. Данный факт показывает, что игра в кубики была распространена в регионе, известном как царство царя Давида.

Азартные игры с двумя или тремя кубиками были очень популярным видом развлечения в Греции, особенно в высших слоях общества. И в них постоянно играли во время пиров.

Римляне были страстными игроками, особенно в период расцвета Римской Империи. Поэтому игра в кости также была широко распространена, хотя в неё было запрещено играть; запрет снимался только на время Сатурналий. Гораций высмеивал типичных молодых людей того времени, которые проводили время за игрой в кости вместо того, чтобы заниматься верховой ездой. Бросание костей на деньги стало причиной появления многих особых законов в Риме: один из них гласил, что человек, который разрешил играть в азартные игры в своем доме, не может подать иск, даже если его обманули или избили. Уже в те времена среди игроков появлялись профессиональные шулера: для того, чтобы выиграть, они умышленно утяжеляли кости с одной стороны, которыми они пользовались. Сейчас некоторые из этих костей хранятся в музеях.

Игроки в кости были завсегдатаями питейных заведений: на сохранившихся фресках есть изображения ссорящихся игроков, которых хозяин выгоняет из таверны.

Двадцатигранные кости относятся ко II веку н. э.

Тацит отмечал, что германцы были страстными поклонниками игры в кости и могли при отсутствии денег делать ставки на собственную свободу.

В средние века игра в кости была любимым развлечением рыцарей, существовали школы игры и гильдии игроков. После падения феодализма ландскнехты приобрели репутацию самых скандальных игроков в кости того времени; кубики украшали искусной резьбой с изображением людей и животных. Во Франции в кости играли и рыцари, и дамы, несмотря на вновь и вновь появляющиеся законы, включая запреты Св. Людовика в 1254 и 1256 гг.

Маркировка на китайском домино произошла от маркировки кубиков.

Устройство

Очки на кубиках располагаются в особом порядке, как показано на рисунке справа. На азиатских кубиках порядок нанесения очков похож на европейский, но очки располагаются ближе к центру грани; одно очко крупнее других, а четыре очка окрашены в красный цвет. В некоторых из старинных наборов одно очко обозначалось углублением без окрашивания. Черная грань «один» и сочетание чёрного и белого цветов на грани «четыре» считались несчастливыми, поэтому красный, цвет удачи в китайской культуре, должен был нейтрализовать эту примету. Слово, обозначающее четыре (四 сы), в китайском языке созвучно слову «смерть» (死 сы), и считается несчастливым. Вероятно, что красные «четвёрки» имеют индийское происхождение.

Результат броска игральной кости считается случайным, так как в этом процессе присутствуют такие неопределённые факторы как движение руки бросающего и положение кости до броска. Таким образом, игральную кость можно считать прототипом генератора случайных чисел. Некоторые люди считают, что очки на гранях кубиков, выполненные в определенном стиле, вызывают небольшое смещение, но исследований для подтверждения данной идеи не проводилось. Кстати такое может быть справедливо для азиатских кубиков с увеличенным изображением одного очка. Кубики для казино выпускаются с залитой маркировкой, что служит подтверждением равномерного распределения случайных чисел.

Игральные кости бросают по одному или группами, из руки или из предназначенного для этого устройства на ровную поверхность. На грани кубика, которая окажется верхней после его остановки, видно значение броска. Типичной игрой в кубики сегодня является крэпс, в которой бросают одновременно два кубика и делают ставки на сумму очков двух кубиков. Кубики часто используют для определения количества ходов на доске. Подобным методом определения пройденного расстояния фишки игрока по игровому полю пользуются в популярной настольной игре «Монополия».

Для настольных игр можно применять результаты броска игральной кости, сгенерированные на компьютере. Значения обычно определяются с помощью псевдогенератора случайных чисел, а затем отображаются на экране в виде какой-либо грани игральной кости. Возможен и вариант наоборот, когда броски игральных костей обеспечивают генерацию случайных чисел для компьютеров.

Источник

Решение №1663 Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков.

Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»?

Источник задания: fipi.ru

Решение:

При броске игральной кости могут выпасть числа от 1 до 6.

Запишем все возможные варианты, когда кость бросают три раза и в сумме выпало 6 очков:

1 + 1 + 4 = 6
1 + 4 + 1 = 6
4 + 1 + 1 = 6
2 + 2 + 2 = 6
1 + 2 + 3 = 6
1 + 3 + 2 = 6
2 + 3 + 1 = 6
2 + 1 + 3 = 6
3 + 1 + 2 = 6
3 + 2 + 1 = 6

Всего вариантов получили 10, из них хотя бы раз выпало три очка в 6 вариантах.
Найдём вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»:

Ответ: 0,6.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 6

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Источник

Алгебра. Урок 9. Статистика, вероятности

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Оглавление страницы:

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Другими словами, среднее арифметическое – это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а взнаменателе – их количество.

Среднее арифметрическое: ( 6 + 10 + 16 + 20 ) 4 = 52 4 = 13

Их полусумма равна: 7 + 10 2 = 17 2 = 8,5

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом.

Для удобства упорядочим этот ряд: 1, 2, 3, 3, 8, 10, 16

Мода ряда чисел – наиболее часто встречающееся число в этом ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может вообще не иметь моды.

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

Вероятности

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти.

Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Частота случайного события A в серии опытов – это отношение числа тех опытов, в которых событие A произошло, к общему числу проведенных опытов.

Если решка выпала 8 раз, то орёл выпал 20 − 8 = 12 раз.

Частота: 12 20 = 6 10 = 0,6

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Например, для события «выпало четное число очков» при броске кубика:

«выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков»

«выпало одно очко», «выпало три очка», «выпало пять очков»

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента равна 1.

A = «достать кролика», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 0 3 = 0

A = «достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 3 3 = 1

A = «достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 3 12 = 0,25

Примеры противоположных событий:

Вероятность противоположного события определяется по формуле: P ( A ¯ ) = 1 − P ( A )

Пусть событие A : «ручка пишет плохо».

Противоположное событие: A ¯ : «ручка пишет хорошо»

P ( A ) = 0,28. Найдём вероятность противоположного события по формуле:

P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,28 = 0,72

Пусть событие A : «фонарик неисправен»

Противоположное событие A ¯ : «фонарик исправен»

P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,08 = 0,92

Теоремы о вероятностных событиях

Примеры несовместных событий:

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух (или более) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

Решение:

Событие A = «вытащить билет по теме углы» и событие B = «вытащить билет по теме треугольники» – несовместные.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

P ( A + B ) = 0,47 + 0,22 = 0,69

Решение:

Событие A = «выиграть машину», событие B = «выиграть денежный приз» и событие C = «выиграть сувенир» несовместные.

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C )

P ( A + B + C ) = 0,001 + 0,013 + 0,04 = 0,054

Примеры независимых событий:

Примеры зависимых событий:

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность появления двух (или более) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

Решение:

Событие A : «извлечь красный шар из первой шляпы».

Событие B : «извлечь красный шар из второй шляпы».

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

P ( A ) = 1 2 (всего шаров два, красных – один).

P ( B ) = 4 5 (всего шаров пять, красных четыре).

P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

P ( A ⋅ B ) = 1 2 ⋅ 4 5 = 0,4

Решение:

Событие A : «попадание», событие B : «промах». По условию P ( A ) = 0,9. Найдём вероятность промаха, она равна

P ( B ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,9 = 0,1

Каждый из выстрелов – событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события – независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

P ( A ⋅ A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( A ) ⋅ P ( B )

P ( A ⋅ A ⋅ B ) = 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,081

Симметричная монета в теории вероятности

Математическая монета, которая используется в теории вероятности, лишена многих качеств бычной моенты: цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством. Монета имеет две стороны, одна из которых орёл (О), а другая решка (Р). Монету бросают и она падает одной стороной вверх. Никаких других свойств у монеты нет. Рассмотрим различные опыты с монетой

Бросание одной монеты

Возможные исходы:
О
Р
Всего два исхода. Вероятность каждого исхода из двух возможных равна 1 2 = 0,5

Бросание двух монет (бросание одной монеты два раза подряд)

Возможные исходы:
О О
О Р
Р О
Р Р
Всего четыре исхода. Вероятность каждого исхода из четырех возможных равна 1 4 = 0,25

Бросание трех монет (бросание одной монеты три раза подряд)

Возможные исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р
Всего восемь исходов. Вероятность каждого исхода из восьми возможных равна 1 8 = 0,125

Бросание четырех монет (бросание одной монеты четыре раза подряд)

Возможные исходы:
О О О О
О О О Р
О О Р О
О О Р Р
О Р О О
О Р О Р
О Р Р О
О Р Р Р
Р О О О
Р О О Р
Р О Р О
Р О Р Р
Р Р О О
Р Р О Р
Р Р Р О
Р Р Р Р
Всего шестнадцать исходов. Вероятность каждого исхода из шестнадцати возможных равна 1 16 = 0,0625

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

Решение:

В опыте с бросанием четырех монет всего шестнадцать различных исходов. Благоприятные исходы – те, в которых выпало два, три или четыре орла. Таких исходов всего одиннадцать.

Симметричная игральная кость в теории вероятности

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Решение:

Решение:

Источник

Новые задачи по теории вероятностей

Рассмотрим решение новых задач по теории вероятностей, которые появятся в ЕГЭ по математике в 2022 году.

Вы можете попробовать решить задачи самостоятельно, а потом сверить свое решение с предложенным.

1. № 508755

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.

Нам нужно найти вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков при условии, что вы сумме выпало 8 очков.

Воспользуемся формулой Байеса.

Пусть событие А «в сумме выпало 8 очков»

Событие В «в первый раз выпало 6 очков И в сумме выпало 8 очков»

Искомая вероятность равна

Если всего в сумме выпало 8 очков, то возможны такие варианты бросков:

Вероятность этого события

В первый раз выпало 6 очков И в сумме выпало 8 очков всего в одном случае, и вероятность этого события равна

Тогда вероятность равна

2. № 508769

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Представим число 8 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых принимает значения от 1 до 6 (возможное число очков):

По условию задачи сумма (2) нам не подходит.

Сумма (1) выпадает в двух случаях: 2+6 и 6+2.

Сумма (3) выпадает в одном случае.

При бросании кости 2 раза получаем возможных исходов. Из этих исходов вычтем те, при которых выпало 3 очка. Таких исходов 11: 3 очка при первом броске, и 6 вариантов для второго броска, или наоборот. При этом исход 3;3 считаем один раз. Таким образом, имеем 36-11=25 возможных исходов. Для нас благоприятными являются 3 исхода. Таким образом, искомая вероятность равна

3. № 508781

Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

При каждом броске монеты получаем 2 возможных исхода: орел или решка. При броске монеты 11 раз имеем возможных исходов.

Найдем число благоприятных исходов для события А. Оно равно числу способов выбрать из 11 элементов 5. То есть мы ищем число сочетаний из 11 по 5.

Сократим дробь и получим:

Таким образом, .

Найдем число благоприятных исходов для события B. Оно равно числу способов выбрать из 11 элементов 4. То есть мы ищем число сочетаний из 11 по 4.

Сократим дробь и получим:

Таким образом, .

Найдем :

4. № 508791

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Вероятность получить определенную комбинацию очков при одновременном бросании костей такая же, как при их последовательном бросании.

При бросании двух костей имеем возможных исходов.

Найдем число благоприятных исходов в каждой попытке: нас устраивает: если гость выбросит (5 и 6) очков или (6 и 5) очков, то есть 2 благоприятных исхода.

Следовательно, вероятность получить искомую комбинацию в первой попытке равна

Вторая попытка необходима, если первая неудачна. Вероятность того, что первая попытка неудачна, равна

Вторая попытка, то есть одновременное бросание двух костей второй раз ничем не отличается от первой.

Итак, считаем вероятность того, что «искомая комбинация выпала при первой попытке» ИЛИ «искомая комбинация НЕ выпала при первой попытке И выпала при второй попытке».

Вероятность получить искомую комбинацию в первой ИЛИ второй попытке равна сумме вероятностей:

5. № 508793

Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Результат округлите до сотых.

Заметим, что уже известно, что сумма всех выпавших очков равна 4. Это ограничивает число возможных вариантов бросков.

Рассмотрим все возможные варианты. Для этого представим число 4 в виде различных сумм слагаемых:

Найдем вероятность каждого исхода:

Вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка, равна сумме вероятностей всех исходов:

Вероятность того, что в результате трех бросков сумма выпавших очков оказалась равна 4:

Нам нужно найти вероятность того, что сделано 3 броска при условии, что сумма всех выпавших очков равна 4.

Тогда по формуле Байеса

6. № 508798

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Можно переформулировать вопрос так: какова вероятность, что сумма выпавших очков станет больше либо равна 4 на третьем броске?

Это возможно в случаях когда в первых двух бросках выпало 1+1, или 1+2, или 2+1. При этом в первом случае на третьем броске должно выпасть не меньше 2. А во втором и третьем случае на третьем броске может любое количество очков, сумма все равно будет больше либо равна 4. Тогда получаем, что вероятность равна

7. № 508809

Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Если вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок, равна 0,2, следовательно, вероятность того, что сообщение будет передано с ошибкой, равна . Нам надо найти вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок в результате первой ИЛИ второй попытки.

Нарисуем дерево вероятностей.

Вероятность того, что сообщение будет верно передано в результате первой попытки, равна 0,2. Вероятность того, что сообщение будет верно передано в результате второй попытки, равна . Следовательно, вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок в результате первой ИЛИ второй попытки, равна

.

8. № 508820

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

Нам нужно найти вероятность того, что пациент болен при условии, что известно, что у него ПЦР тест положительный. Пусть вероятность того, что пациент болен , тогда вероятность того, что пациент здоров равна .

Нарисуем дерево вероятностей.

По условию в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, к исходу «положительный тест» ведут красные линии.

Вероятность того, что пациент имеет положительный тест равна 0,1.

Получаем: если пациент здоров, то вероятность получить положительный тест равна , если пациент болен, вероятность получить положительный тест равна .

Заметим, что вероятность того, что пациент болен И имеет положительный тест равна .

Теперь воспользуемся формулой Байеса. Нам нужно найти отношение вероятности того, что пациент болен И имеет положительный тест к вероятности того, что пациент имеет положительный тест.

9. № 508831

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?

Если стрелок попадает в цель с вероятностью 0,2, то с вероятностью 0,8 он промахивается. Если стрелок промахивается, то он делает следующий выстрел.

Нарисуем дерево вероятностей:

Вероятность попасть в цель в результате одного выстрела равна 0,2.

Вероятность попасть в цель в результате двух выстрелов равна .

Вероятность попасть в цель в результате трех выстрелов равна .

Вероятность попасть в цель в результате четырех выстрелов равна .

10. № 508843

В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Всего в ящике 6 фломастеров. Первый раз синий фломастер появится третьим по счету, если сначала будут вытащены 2 красных фломастера.

Вероятность первый раз вынуть красный фломастер равна

После этого в ящике останется 2 красных и 3 синих фломастера, всего 5 штук.

Вероятность второй раз вынуть красный фломастер равна

После этого в ящике останется 1 красный и 4 синих фломастера, всего 4 штуки.

Теперь вероятность вынуть синий фломастер равна .

Тогда вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету равна произведению вероятностей:

11. №508851

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень первым или вторым выстрелом. Если он попадает в мишень с вероятностью 0,6, то с вероятностью 1-0,6=0,4 он промахивается.

Нарисуем дерево вероятностей:

Мы видим, что вероятность того, что стрелок поразит мишень первым или вторым выстрелом, равна . Отсюда вероятность промахнуться, сделав два выстрела, равна .

Найдем вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени». Пусть стрелок первые три мишени поразит, а в последние две промахнется. Вероятность этого события равна . Но он может попадать в цель и промахиваться в произвольном порядке, главное чтобы он три раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов «попал в 3 цели и в 2 промахнулся» равно — число способов выбрать из пяти элементов три, (число сочетаний из 5 по 3).

Тогда

Тогда

Найдем отношение :

12. № 508868

В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых шести играх победила команда А. Какова вероятность, что эта команда выиграет седьмой раунд.

Команда А победила в шести играх, следовательно, она сыграла 6 матчей с шестью командами и оказалась самой сильной из них. В этих матчах приняло участие 7 команд.

Рассмотрим команды, которые уже сыграли. Присвоим каждой команде номер в зависимости от ее силы. Самая сильная команда имеет больший номер. Пусть, например, в нашем случае у команды А будет номер номер 7, а у проигравших команд будут номера от 1 до 6. Вероятность того, что команда А выиграет у всех остальных команд равна вероятности того, из 7 различных чисел у команды А номер 7. Эта вероятность равна .

Теперь нам нужно найти вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд. В седьмом раунде добавится еще одна команда. То есть мы будем иметь уже 8 команд, участвующих в викторине. Теперь у нас уже есть как бы набор из восьми различных чисел, характеризующих силу каждой команды. Найдем вероятность противоположного события: «команда А проиграет седьмой раунд». Это значит, что восьмая команда окажется сильнее, чем команда А. Это произойдет в том случае если из 8 различных неравных чисел у числа, характеризующего силу восьмой команды будет самое большое значение. Вероятность этого события равна .

Отсюда вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд равна

В общем случае получаем, что если команда выиграла в раундах, то вероятность выиграть в -м равна .

13. № 508871

Если в турнире участвуют 8 игроков, то в первом туре будет сыграно 4 партии, во втором 2 и в третьем 1 партия.

Иван и Алексей могут сыграть в первом туре. В первом туре соперником Ивана может быть один из семи игроков, то есть вероятность того, что это Алексей, равна .

Значит, вероятность того, что Иван и Алексей сыграли в первом туре равна .

Если Иван и Алексей не сыграли в первом туре, то они могут сыграть во втором. Для начала они должны выйти во второй тур. Для этого должны быть выполнены два условия: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре (вероятность этого события ) И 2) оба победили каждый в своей партии.

Вероятность того, что они выйдут во второй тур равна .

Во второй тур выходят 4 человека, значит, при условии, что Иван и Алексей вышли во второй тур, вероятность сыграть друг с другом равна .

Таким образом, вероятность того, что Иван и Алексей вышли во второй тур И сыграли друг с другом равна .

Вероятность не сыграть друг с другом, при условии, что они вышли во второй тур равна .

Тогда они могут выйти в третий тур. Чтобы они вышли в третий тур необходимо выполнение двух условий: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре И выиграли обе партии в первом туре, 2) они не сыграли друг с другом во втором туре И они победили каждый в своей партии во втором туре. Вероятность того, что это произойдет равна

Если они вышли в третий тур, то они точно сыграют друг с другом.

Таким образом, вероятность того, что Иван и Алексей сыграют друг с другом ИЛИ в первом туре, ИЛИ во втором ИЛИ в третьем туре, равна

Графически решение можно изобразить так:

14. № 508887

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?

При бросании первого кубика вероятность, что выпадут 3 и 5 очков, ИЛИ 5 и 3 очка равна .

Во втором кубике по две грани с числами 3 и 5, соответственно вероятность, что выпадут 3 и 5 очков, ИЛИ 5 и 3 очка равна .

Получили, что вероятность выпадения указанной комбинации при бросании второго кубика в 4 раза больше, чем при бросании первого. То есть из 5 серии бросков, при которых выпали числа 3 и 5, в среднем в 4-х случаях из пяти это будут броски второго кубика. Следовательно, вероятность того, что бросали второй кубик равна 0,8.

15. № 509078

Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще 2 или 3 шоколадных яйца?

По условию покупка одного яйца не принесет Маше принцессу нового вида, то есть вероятность того, что Маша получит такую же принцессу, как у нее уже есть, равна , соответственно, вероятность того, что при покупке одного яйца Маша НЕ получит такую же принцессу, как у нее уже есть, равна .

Маша получит принцессу, отличную от тех, что у нее есть при покупке второго Киндер-сюрприза, если в первом купленном яйце будет такая же принцесса, как у нее есть, а во втором отличная от уже имеющихся. Вероятность этого события равна

Маша получит принцессу, отличную от тех, что у нее есть при покупке третьего Киндер-сюрприза, если в первом и втором купленном яйце будет такая же принцесса, как у нее есть, а в третьем отличная от уже имеющихся. Вероятность этого события равна

Тогда вероятность получить новую принцессу при покупке второго ИЛИ третьего Киндер-сюрприза равна

15. № 508885

Искомая вероятность находится по следующей формуле:

где — вероятность того, что следующий член последовательности на единицу больше предыдущего, . Вывод этой формулы выходит за рамки школьной программы, поэтому просто используем ее для решения задачи:

Источник