что такое сходящийся ряд

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Выражение \(a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_ + \ldots\), где \(\\>\) — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), а числа \(a_\) будем называть членами ряда. Сумму \(n\) первых членов ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) будем называть \(n\)-й частичной суммой этого ряда и обозначать \(S_\), то есть
$$
S_ = \sum_^a_.\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_\label
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм \(\\>\) имеет конечный предел \(S\), то есть
$$
\lim_S_ = S.\label
$$
Число \(S\), определяемое условиями \eqref и \eqref, называют суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>a_ = S.\label
$$

Если последовательность \(\\>\) не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref расходится (является расходящимся).

\(\vartriangle\) Используя формулу для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии, получаем
$$
S_ = \sum_^q^ = \frac<1-q^> <1-q>= \frac<1><1-q>-\frac><1-q>.\nonumber
$$
Так как \(q^ \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(|q| Пример 2.

Доказать, что если при всех \(n \in N\) выполняется равенство
$$
a_ = b_-b_\label
$$
и существует конечный
$$
\lim_b_ = b,\label
$$
то ряд \eqref сходится, а его сумма \(S = b_<1>-b\), то есть
$$
\sum_^<\infty>(b_-b_) = b_<1>-b.\label
$$

\(\vartriangle\) Используя условие \eqref, получаем \(S_ = \displaystyle\sum_^a_ = \sum_^(b_-b_) = b_<1>-b_ <2>+ b_<2>-b_ <3>+ \ldots + b_-b_ + b_-b_ = b_<1>-b_\) откуда в силу \eqref следует сходимость ряда \eqref и равенство \eqref. \(\blacktriangle\)

Найти сумму ряда \eqref, если \(a_ = \displaystyle\frac<1>\).

\(\vartriangle\) Так как
$$
a_ = \frac<1> = \frac<(n + 2)-n> <2n(n + 1)(n + 2)>= \frac<1><2n(n + 1)>-\frac<1><2n(n + 1)(n + 2)>,\nonumber
$$
то последовательность \(\\>\) удовлетворяет условиям \eqref и \eqref, где \(b_ = \displaystyle\frac<1><2n(n + 1)>,\ b = 0\), и по формуле \eqref получаем
$$
\sum_^<\infty>\frac<1> = \frac<1><4>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Необходимое условие сходимости ряда.

\(\circ\) Так как ряд \eqref сходится, то существует конечный предел \(S\) последовательности \(\\>\), где \(S_\) — \(n\)-я частичная сумма ряда (формула \eqref). Тогда \(\displaystyle\lim_S_ = S\) и \(\displaystyle\lim_S_ = S\), откуда следует, что \(S_-S_ = a_ \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). \(\bullet\)

Таким образом, соотношение \eqref выражает необходимое условие сходимости ряда.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>\) расходится.

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac<1><\sqrt> \geq \frac<1><\sqrt>\) при \(k = 1, 2, \ldots, n\), то \(S_ = \displaystyle\sum_^\frac<1><\sqrt> \geq n \frac<1><\sqrt>\) откуда следует, что \(S_ \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>\) расходится. \(\blacktriangle\)

Условие \eqref не является достаточным для сходимости ряда \eqref: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref, но расходится.

Доказать, что ряд
$$
\sum_^<\infty>\sin n\alpha,\ \mbox<где>\ \alpha \neq \pi m\ (m \in \mathbb),\label
$$
расходится.

\(\vartriangle\) Докажем, что
$$
\sin n\alpha \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Предположим, что \(\sin n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Тогда \(\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть \(\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0\), откуда следует, что \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\sin \alpha \neq 0\). Итак, если \(\sin n\alpha \rightarrow 0\), то \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), что невозможно, так как \(\sin^ <2>n\alpha + \cos^ <2>n\alpha = 1\).

Таким образом, для ряда \eqref должно выполняться условие \eqref, и поэтому ряд \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

Свойства сходящихся рядов.

Если ряды \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) и
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно \(S\) и \(\sigma\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb\) сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>(\lambda a_ + \mu b_),\label
$$
а его сумма равна
$$
\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label
$$

\(\circ\) Пусть \(S_\), \(\sigma_\) и \(\tau_\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно. Тогда \(\tau_ = \lambda S_ + \mu\sigma_\). Так как \(S_ \rightarrow S\) и \(\sigma_ \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то последовательность \(\<\tau_\>\) имеет конечный предел, то есть ряд \eqref сходится, и справедливо равенство \eqref. \(\bullet\)

Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), то при каждом \(m \in \mathbb\) сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>a_,\label
$$
который называют \(m\)-м остатком ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\). Обратно: если при фиксированном \(m\) ряд \eqref сходится, то и ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) также сходится.

\(\circ\) Пусть \(S_ = a_ <1>+ \ldots + a_\) и \(\sigma_^ <(m)>= a_ + \ldots + a_\)-соответственно \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref и \(k\)-я частичная сумма ряда \eqref. Тогда
$$
S_ = S_ + \sigma_^<(m)>,\ \mbox<где>\ n = m + k.\label
$$
Если ряд \eqref сходится, то последовательность \(\\>\) имеет конечный предел при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому из равенства \eqref следует, что последовательность \(\<\sigma_^<(m)>\>\), где \(m\) фиксировано, имеет конечный предел при \(k \rightarrow \infty\), то есть ряд \eqref сходится.

Обратно: если \(m\) фиксировано и существует конечный \(\displaystyle\lim_\sigma_^<(m)>\) то существует конечный \(\displaystyle\lim_S_\). \(\bullet\)

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) сходится, то и ряд
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
полученный группировкой членов ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\).

\(\circ\) Пусть \(b_ <1>= a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_>\), \(b_ <2>= \displaystyle a_ + 1> + a_ + 2> + \ldots + a_>\), …, \(b_ = a_-1> + \ldots + a_>\) где \(j \in \mathbb\), \(\\>\) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим \(S_ = \displaystyle\sum_^a_\), \(\sigma_ = \displaystyle\sum_^<\infty>b_\); тогда \(\sigma_ = S_>\). Так как \(\<\sigma_\>\) — подпоследовательность сходящейся последовательности \(S_<1>, S_<2>, \ldots\), то существует \(\displaystyle\lim_\sigma_ = S\), где \(S\) — сумма ряда \eqref. \(\bullet\)

Критерий Коши сходимости ряда.

Для сходимости ряда \eqref необходимо и достаточно, чтобы
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>, \forall p \in \mathbb \rightarrow |a_ + a_ + \ldots + a_| Доказательство.

\(\circ\) Так как \(a_ + a_ + \ldots + a_ = S_-S_\) где \(S_\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref, то условие \eqref означает, что последовательность \(\\>\) является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref равносильно существованию конечного предела последовательности \(\\>\), то есть равносильно сходимости ряда \eqref. \(\bullet\)

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb,\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb:\ |a_ + \ldots + a_| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$
то ряд \eqref расходится.

Доказать, что гармонический ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<1>,\label
$$
расходится.

\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb\) возьмем \(n = k\), \(p = k\). Тогда \(\displaystyle\sum_^a_ = \frac<1> + \ldots + \frac<1> <2k>> \frac<1><2k>k = \frac<1> <2>= \varepsilon_<0>\), и в силу условия \eqref ряд \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

Ряды с комплексными членами.

Последовательность комплексных чисел \(\\>\) называют сходящейся, если существует такое комплексное число \(z\), что
$$
\lim_|z_-z| = 0,\nonumber
$$
где \(|z|\) — модуль комплексного числа \(z\). В этом случае пишут \(\displaystyle\lim_z_ = z\) или \(z_ \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\).

Если \(z_ = x_ + iy_\), \(z = x + iy\), то условие \(z_ \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\) эквивалентно выполнению условий \(x_ \rightarrow x\) и \(y_ \rightarrow y\) при \(n \rightarrow \infty\).

Ряд с комплексными членами
$$
\sum_^<\infty>z_,\label
$$
называют сходящимся, если существует
$$
\lim_ \sum_^z_ = S,\nonumber
$$
где \(S \in \mathbb\). В этом случае пишут \(\displaystyle\sum_^<\infty>z_ = S\), а комплексное число \(S\) называют суммой ряда \eqref.

Источник

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Сходимость ряда

Содержание:

Сходимость ряда. Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида: где числа называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

при имеет конечный предел:

Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Примеры с решением

Пример 5.1.

Написать пять первых членов последовательности, если ее член имеет вид:

Решение:

Вместо подставляем

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 5.2.

Пользуясь непосредственно определением, показать что ряд сходится, и найти его сумму.

Решение:

По определению частичной суммы ряда имеем:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда (1) начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда (2) то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогрессия которая сходится при и расходится при и гармонический ряд являющийся расходящимся рядом.

2. Признак Даламбера. Если для ряда то при ряд сходится, при — расходится (при вопрос о сходимости ряда остается нерешенным).

Пример 5.3.

Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд

расходится.

Решение:

Найдем Таким образом, предел общего члена ряда при п —> со отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.

Пример 5.4.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравним данный ряд с рядом (*) Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем При этом каждый член аи данного ряда меньше соответствующего члена ряда (*). Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится.

Пример 5.5.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим рядом 1 Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда. Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Пример 5.6.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Каждый член ряда (*) меньше соответствующего члена ряда Как было показано в Задаче 5.2. последний ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного ряда, отличающегося от ряда (*) наличием первого члена 1, теперь очевидна.

Пример 5.7.

С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда

Решение:

Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать член ряда. Он получается путем подстановки в выражение общего члена ряда вместо п числа Теперь найдем предел отношения члена к члену при

Так как то данный ряд сходится.

Пример 5.8.

Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд

Решение:

Зная найдем член ряда:

Вычислим Так как то ряд расходится.

Пример 5.9.

На основании признака Даламбера исследовать сходимость ряда

Решение:

Зная член ряда запишем член:

Отсюда

Так как то ряд сходится. Признак сходимости Лейбница. Знакочередующимся рядом называется ряд вида (1) где — положительные числа. Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости. Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов.

Пример 5.10.

Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение:

Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и общий член при стремится к нулю: то в силу признака Лейбница ряд сходится. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Рядах (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд (2) составленный из абсолютных величин членов рядов (1), сходится, то ряд (1) также сходится. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин членов данного ряда (1).

Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 5.12.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как Следовательно, первоначальный ряд является абсолютно сходящимся.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник