Секущая — это прямая, которая на некотором участке пересекает в двух точках данную кривую.
Путём приближения из секущей можно получить касательную в некоторой точке P. Если секущая определяется двумя точками пересечения с данной кривой, P и Q, где положение точки P фиксировано, а положение точки Q может изменяться, то по мере того, как точка Q приближается к точке P вдоль кривой, направление секущей приближается к направлению касательной в точке P (считаем, что первая производная кривой является непрерывной в точке P, и поэтому существует только одна касательная в этой точке). Можно сказать, что по мере того, как точка Q приближается к P, наклон секущей, или направление, в пределе приближается к наклону касательной. Эта идея является основой для геометрического определения производной.
Хорда — это участок секущей, который лежит между двумя точками пересечения с кривой.
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Секущая прямая» в других словарях:
секущая — прямая Словарь русских синонимов. секущая сущ., кол во синонимов: 1 • прямая (6) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
прямая — биссектриса, параллель, линия, секущая, хорда, директриса Словарь русских синонимов. прямая сущ., кол во синонимов: 6 • биссектриса (3) • … Словарь синонимов
СЕКУЩАЯ — всякая прямая, имеющая с кривой линией по меньшей мере две общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром … Большая политехническая энциклопедия
Секущая — ж. Прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
секущая — ой; ж. Матем. Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках … Энциклопедический словарь
секущая — ой; ж.; матем. Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках … Словарь многих выражений
Секанс — [лат. secans, здесь секущая (прямая); от seco режу, рассекаю], одна из тригонометрических функций (См. Тригонометрические функции); обозначение sec. В прямоугольном треугольнике С. острого угла называют отношение гипотенузы к катету,… … Большая советская энциклопедия
СЕКАНС — [лат. secans, здесь: секущая (прямая), от seco режу, рассекаю] одна из тригонометрических функций … Большой энциклопедический политехнический словарь
Касательная — прямая, с которою стремится совпасть секущая, проведенная через две точки на произвольной кривой по мере сближения этих точек. Математическая теория К. имеет весьма важное значение (см. Дифференциальное исчисление). Точка, через которую к кривой… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5
Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
Сократим уравнение на (у + R) и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.
⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Урок геометрии в 7-м классе «Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей»
Разделы: Математика
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1. Организация начала занятия, проверка готовности к уроку, приветствие.
2. Подготовка к основному этапу занятия
Фронтальный опрос
Вспомните, что изучает геометрия?
— Какие геометрические фигуры вы знаете?
— Каким может быть взаимное расположение прямых?
— Какие прямые называются параллельными?
— Что значит, прямые пересекаются?
— В зависимости от градусной меры, какие бывают виды углов?
— Какая связь между прямыми и углами?
— В зависимости от взаимного расположения сторон, какие углы вы знаете?
Отвечают на вопросы учителя, по ходу ответов на доске появляются иллюстрации.
3. Усвоение новых знаний
Перед вами четыре чертежа, выберите лишний.
Почему вы сделали такой выбор?
Дети отвечают на вопросы, обосновывают свой выбор.
Называют пары вертикальных и смежных углов, пытаются поставить цель урока.
Сегодня мы расширим наши знания об углах, но сначала скажите: как бы вы назвали прямую с по отношению к прямым а и в на рис 1?
— Какая прямая является секущей на рисунке 2?
— Попробуйте определить секущую в задаче 1.
Выполняют чертёж, пытаются назвать новые виды углов.
Продолжим разговор об углах. Наша тема так и называется: углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
Начертите в тетрадях 2 прямые, секущую.
— Сколько углов образовалось?
— Пронумеруем углы на чертеже в следующем порядке
— Есть ли среди них знакомые Вам виды углов? Назовите и покажите на чертеже.
— Как вы думаете, а какая задача будет стоять перед нами сегодня?
В зависимости от расположения пар углов по отношению к секущей они называются так:
(дать возможность предположить детям как), если они затрудняются, назвать пару внутренних односторонних углов.
— Есть ли ещё пара односторонних углов?
Аналогично рассматриваются накрест лежащие и соответственные углы.
— Какая прямая является секущей и как по отношению к ней расположены углы
Решают задачи
4. Первичная проверка понимания.
— Сейчас в различных задачах мы будем находить новые виды углов, запоминать их названия и строить их, чтобы в дальнейшем использовать для доказательства теорем и решения более сложных задач.
Но перед этим скажите, что прежде всего надо знать, что бы определить вид углов?
Задача 1. Используя чертёж, выпишите:
а) пары накрест лежащих углов
б) пары односторонних углов,
в) пары соответственных углов.
(один ученик выполняет на откидной доске, самопроверка с анализом ошибок)
А теперь рассмотрим в качестве секущей прямую с.
Обозначьте магнитами одинакового цвета пары соответственных углов, односторонних и накрест лежащих углов.(у каждой пары учеников магниты одинакового цвета)
Задача 2 «Найди пару» (приложение 1)
На рисунке прямые AF и AM пересечены секущей ДЕ в точках В и С
СЕКУЩАЯ — всякая прямая, имеющая с кривой линией по меньшей мере две общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Смотреть что такое «СЕКУЩАЯ» в других словарях:
секущая — прямая Словарь русских синонимов. секущая сущ., кол во синонимов: 1 • прямая (6) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
секущая — секанс — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы секанс EN secan … Справочник технического переводчика
Секущая — ж. Прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
секущая — сек ущая, ей … Русский орфографический словарь
секущая — ой; ж. Матем. Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках … Энциклопедический словарь
секущая — ой; ж.; матем. Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках … Словарь многих выражений
секущая — сек/ущ/ая, ей … Морфемно-орфографический словарь
