что такое секанс и косеканс

Презентация » Секанс и косеканс»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ПРОЕКТ « ДВЕ ЗАБЫТЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СЕКАНС И КОСЕКАНС»

ЦЕЛЬ Изучить тригонометрические функции вне школьной программы; Узнать их графики и свойства( определение, значение и т.д.)

Что такое тригонометрические функции? Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

Тригонометрические функции: *Прямые тригонометрические функции Синус (sin), косинус (cos). *Произвольные Тангенс (tg), котангенс (ctg) *Другие тригонометрические функции Секанс (sec), косеканс (cosec)

Две забытые тригонометрические функции Графики

Геометрическое определение: Секанс определяется как Косеканс определяется как

Определение Секансом угла называется (отношение гипотенузы к прилежащему катету). Косекансом угла называется (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Четность, периодичность Четность: Секанс – четная, косеканс – нечетная. Периодичность Функции y=sec, y=cosec периодические с периодом 2п.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1522834

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Каждый третий российский школьник хотел бы стать разработчиком игр

Время чтения: 2 минуты

ОНФ проверит качество охраны в российских школах

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подготовило проект плана по модернизации детских лагерей в России

Время чтения: 3 минуты

К 2024 году в каждой российской школе должен появиться спортивный клуб

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Если — прямоугольные декартовы координаты точки А, то Т. ф. синус и косинус определяются формулами

Остальные Т. ф. могут быть определены формулами

Все Т. ф.- периодические функции. Графики Т. ф. даны на рис. 2.

Основные свойства Т. ф.: область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл.

Каждая Т. ф. в каждой точке своей ооласти определения непрерывна и бесконечно дифференцируема; производные Т. ф.:

Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды:

при

при

Полезное

Смотреть что такое «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» в других словарях:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (от греческого trigonon треугольник и функция), функции угла. Таковы, например, синус (sin a), косинус (cos a), тангенс (tg a), котангенс (ctg a). Они выражают отношения длин сторон прямоугольного треугольника. Например, sin a отношение длины… … Современная энциклопедия

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Их можно определить как отношения длины r и проекций а и b на оси координат радиуса вектора, образующего с положительным направлением оси Ох… … Большой Энциклопедический словарь

Тригонометрические функции — (от греческого trigonon треугольник и функция), функции угла. Таковы, например, синус (sin a), косинус (cos a), тангенс (tg a), котангенс (ctg a). Они выражают отношения длин сторон прямоугольного треугольника. Например, sin a отношение длины… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Тригонометрические функции — Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Тригонометрические функции — один из важнейших классов элементарных функций. Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами A A и B B (рис. 1). От точки А по окружности откладываются дуги … Большая советская энциклопедия

тригонометрические функции — функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Их можно определить как отношения длины r и проекций а и b на оси координат радиуса вектора, образующего с положительным направлением оси Ох… … Энциклопедический словарь

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф ции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс> (ctg), секанс (sес), косеканс(соsес). Т. ф. можно определить как отношения длины г и проекций а и b на оси координат радиус вектора, образующего с положит. направлением оси Ох угол… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Обратные тригонометрические функции — (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin) арккосинус (обозначение: arccos)… … Википедия

Обратные тригонометрические функции — аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») функция,… … Большая советская энциклопедия

Редко используемые тригонометрические функции — Редко используемые тригонометрические функции функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К… … Википедия

Источник

Что такое секанс и косеканс

Синусом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left( \right)\).

Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)

Тангенсом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)

Котангенсом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)

Секанс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left( \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)

Косеканс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left( \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)

В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left( \right)\) и радиус \(r\) образуют прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)

График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Источник

История тригонометрических функций

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.

Определение и графики тригонометрических функций

Величины углов (аргументы функций): α, x
Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα
Множество действительных чисел: R
Координаты точки окружности: x, y

Радиус круга: r
Целые числа: k

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞ Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Тригонометрия в природе.

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

· Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

· К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

· Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

· Основной земной ритм – суточный.

· Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

· Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Связь биоритмов с тригонометрией

· Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Возникновение музыкальной гармонии

· Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

· Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

· диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

· Детская школа Гауди в Барселоне

· Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

· Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Значения тригонометрических функций

Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:
=180рад

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Источник

• ← Что то не нравится я никого не держу
• Что такое признак эпилепсии →