что такое рекурсия приведите примеры
Рекурсия. Занимательные задачки
В этой статье речь пойдет о задачах на рекурсию и о том как их решать. 
Кратко о рекурсии
Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Один из вариантов увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель.
В программировании рекурсия тесно связана с функциями, точнее именно благодаря функциям в программировании существует такое понятие как рекурсия или рекурсивная функция. Простыми словами, рекурсия – определение части функции (метода) через саму себя, то есть это функция, которая вызывает саму себя, непосредственно (в своём теле) или косвенно (через другую функцию).
Задачи
При изучении рекурсии наиболее эффективным для понимания рекурсии является решение задач.
Любой алгоритм, реализованный в рекурсивной форме, может быть переписан в итерационном виде и наоборот. Останется вопрос, надо ли это, и насколько это будет это эффективно.
Для обоснования можно привести такие доводы.
Для начала можно вспомнить определение рекурсии и итерации. Рекурсия — это такой способ организации обработки данных, при котором программа вызывает сама себя непосредственно, либо с помощью других программ. Итерация — это способ организации обработки данных, при котором определенные действия повторяются многократно, не приводя при этом к рекурсивным вызовам программ.
После чего можно сделать вывод, что они взаимно заменимы, но не всегда с одинаковыми затратами по ресурсам и скорости. Для обоснования можно привести такой пример: имеется функция, в которой для организации некого алгоритма имеется цикл, выполняющий последовательность действий в зависимости от текущего значения счетчика (может от него и не зависеть). Раз имеется цикл, значит, в теле повторяется последовательность действий — итерации цикла. Можно вынести операции в отдельную подпрограмму и передавать ей значение счетчика, если таковое есть. По завершению выполнения подпрограммы мы проверяем условия выполнения цикла, и если оно верно, переходим к новому вызову подпрограммы, если ложно — завершаем выполнение. Т.к. все содержание цикла мы поместили в подпрограмму, значит, условие на выполнение цикла помещено также в подпрограмму, и получить его можно через возвращающее значение функции, параметры передающееся по ссылке или указателю в подпрограмму, а также глобальные переменные. Далее легко показать, что вызов данной подпрограммы из цикла легко переделать на вызов, или не вызов (возврата значения или просто завершения работы) подпрограммы из нее самой, руководствуясь какими-либо условиями (теми, что раньше были в условии цикла). Теперь, если посмотреть на нашу абстрактную программу, она примерно выглядит как передача значений подпрограмме и их использование, которые изменит подпрограмма по завершению, т.е. мы заменили итеративный цикл на рекурсивный вызов подпрограммы для решения данного алгоритма.
Задача по приведению рекурсии к итеративному подходу симметрична.
Подводя итог, можно выразить такие мысли: для каждого подхода существует свой класс задач, который определяется по конкретным требованиям к конкретной задаче.
Более подробно с этим можно познакомиться тут
Так же как и у перебора (цикла) у рекурсии должно быть условие остановки — Базовый случай (иначе также как и цикл рекурсия будет работать вечно — infinite). Это условие и является тем случаем к которому рекурсия идет (шаг рекурсии). При каждом шаге вызывается рекурсивная функция до тех пор пока при следующем вызове не сработает базовое условие и произойдет остановка рекурсии(а точнее возврат к последнему вызову функции). Всё решение сводится к решению базового случая. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение.
Тут Базовым условием является условие когда n=1. Так как мы знаем что 1!=1 и для вычисления 1! нам ни чего не нужно. Чтобы вычислить 2! мы можем использовать 1!, т.е. 2!=1!*2. Чтобы вычислить 3! нам нужно 2!*3… Чтобы вычислить n! нам нужно (n-1)!*n. Это и является шагом рекурсии. Иными словами, чтобы получить значение факториала от числа n, достаточно умножить на n значение факториала от предыдущего числа.
В сети при обьяснении рекурсии также даются задачи нахождения чисел Фибоначчи и Ханойская башня
Рассмотрим же теперь задачи с различным уровнем сложности.
Попробуйте их решить самостоятельно используя метод описанный выше. При решении попробуйте думать рекурсивно. Какой базовый случай в задаче? Какой Шаг рекурсии или рекурсивное условие?
Поехали! Решения задач предоставлены на языке Java.
A: От 1 до n
Дано натуральное число n. Выведите все числа от 1 до n.
Рекурсия вокруг нас: люди, соборы и капуста романеско
Спойлер: рекурсия есть не только в цифровом мире. Встречается она и в реальном. И намного чаще, чем вы думаете, — разная и интересная.
Про рекурсивные функции я узнала на уроках информатики. Потом долго считала рекурсию всего лишь отвлечённым понятием из программирования, далёким от реальной жизни. Почему-то в школе нам не рассказывают, что на самом деле явление это встречается в природе, науке, искусстве, а рекурсивные алгоритмы применимы даже для решения бытовых задач.
Что такое рекурсия
В программировании рекурсивная функция — это такая функция, которая вызывает себя из себя же самой, но с другими значениями параметров.
Примечание. Функция может вызывать себя и через промежуточные функции. Например, функция А запускает функцию Б, а та снова вызывает А.
Цепочка вызовов не может быть бесконечной, она должна прерваться и выдать ответ. Поэтому должен возникать крайний случай (или несколько), когда функции уже не нужно вызывать себя с другими параметрами (то есть погружаться ещё глубже), а можно сразу вернуть результат.
Звучит и правда сложно, но не пугайтесь — с примером станет понятнее.
Классический пример рекурсивной функции — вычисление факториала, то есть произведения натуральных чисел от 1 до N.
Здесь N=0 — это крайний случай: функция ничего не вызывает и сразу возвращает единицу (по определению, факториал нуля равен единице).
В более широком смысле рекурсией называют описание или изображение предмета, объекта, явления внутри самого себя. Рекурсивный принцип — это принцип самовоспроизведения и одновременно усложнения системы по одному и тому же алгоритму.
Тут-то и выясняется, что и нас, людей, тоже можно считать рекурсивными: ведь в клетке заложена информация обо всём организме, в ДНК записана информация о том, как синтезировать ДНК.
Фулстек-разработчик. Любимый стек: Java + Angular, но в хорошей компании готова писать хоть на языке Ада.
Рекурсия — не то же самое, что бесконечный цикл
Хотя её часто с ним путают. Понять разницу проще всего на примере. Предположим, ваш начальник издал приказ:
Это не рекурсия. Просто в ситуации, когда начальник не прав, мы попадём в бесконечный цикл вызовов.
Но можно внести небольшое изменение и получить рекурсию:
Приказ стал рекурсивным, потому что в одной из веток вызывает сам себя.
На обед у нас салат «Рекурсивный»: помидоры, огурцы, салат.
Рекурсию можно увидеть
И это очень красиво. Рекурсивные изображения, они же фрактальные паттерны или просто фракталы, — это рисунки или предметы, которые подобны сами себе: состоят из уменьшенных копий себя.
Подобным же образом выстроены кровеносные сосуды и нервы в организме животных. Свойствами фракталов обладают снежинки, а ещё — удивительная капуста романеско. Вот она на картинке ниже — ну разве не красавица? 😀
В архитектуре рекурсия встречается в облике готических соборов.
В этом соборе XIII века задействован один из характерных для готики приёмов: его окна украшены тонкими ажурными перегородками. Их основной узор — стрельчатая арка с кругом внутри, круг поддерживается двумя арками меньшего размера.
А вот рекурсивная версия того же узора — Собор Линкольна.
Здесь окно тоже выполнено в форме остроконечной арки с вписанным в неё кругом, а круг лежит на двух других арках. Вот только внутри каждой из этих арок — снова круг и две ещё меньших арки, а внутри них — ещё по одному кругу на двух меньших арках.
Другой пример архитектурной рекурсии — собор Святого Петра в Ватикане.
Джордж Херси, американский писатель и журналист, сравнивал его с китайскими шкатулками с секретом. По его словам, архитектурный комплекс состоит из одной макроцеркви, четырёх наборов того, что журналист назвал макси-церквями, 16 мини-церквей и 32 микроцерквей. А мог бы просто сказать, что собор рекурсивный.
В изобразительном искусстве рекурсия тоже отметилась — взять хотя бы «Триптих Стефанески» Джотто. На его центральной панели изображён кардинал Стефанески, которой держит в руках этот же триптих (на котором тоже изображён триптих и так далее).
А вот пример посвежее — литография «Рисующие руки» нидерландского художника XX века Маурица Эшера:
Чтобы увидеть рекурсию, необязательно идти в картинную галерею — просто посмотрите на герб России. Двуглавый орёл держит в правой лапе скипетр, который увенчан двуглавым орлом, а тот тоже держит скипетр, который… 🙂 В общем — вот:
Рекурсию можно услышать
В музыке есть композиции, которые тоже можно назвать рекурсивными. Американский физик и писатель Дуглас Хофштадтер в своей книге «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» рассказывает о рекурсии, приводя в пример джигу из «Французской сюиты №5» Баха.
В первой её части трижды повторяется мелодический переход из тональности соль мажор в ре минор: мелодия как бы вызывает сама себя, погружаясь всё глубже. А во второй части, наоборот, трижды поднимается от ре к соль.
Программисту это может напомнить вычисление факториала числа 3: функция трижды вызывает саму себя, затем трижды возвращается с промежуточными результатами вычислений, а затем — с итоговым.
В лингвистике рекурсией называют способность языка порождать вложенные предложения и конструкции. Например, предложение «Саша читает статью про рекурсию» можно достроить до «Лена смотрит, как Саша читает статью про рекурсию». А его, в свою очередь, превратить в «Ленин друг Петя не одобряет, что Лена смотрит, как Саша читает статью про рекурсию».
Принято считать, что рекурсия свойственна любому человеческому языку (сомнения пока есть только насчёт языка пираха, на котором разговаривают в бразильской части бассейна Амазонки), а распознавать и понимать её — едва ли не врождённая способность людей.
Чтобы доказать это, немецкие учёные даже ставили эксперименты на пятимесячных младенцах. Они измеряли активность головного мозга с помощью ЭЭГ — и сравнивали реакцию малышей на вложенные языковые конструкции, правильные и неправильные. Так как дети были настолько малы, что речь ещё не понимали, вместо слов им проигрывали последовательности звуков разной частоты. Причём частоты звука для связанных слов во вложенных конструкциях совпадали.
В предложении «Мальчик, за которым гналась девочка, пнул мяч» две связанные конструкции: 1) «мальчик пнул» и 2) «девочка гналась». Их обозначили звуками частотой 1900 и 1200 Герц и разделили коротким звуком в 1500 Герц. Слева — корректные, а справа — некорректные языковые паттерны. Кроме пятитоновых, проигрывались и семитоновые вложенные последовательности.
Научные подробности ищите в оригинальной публикации. Нам важнее выводы: эксперименты показали, что даже мозгу младенцев неправильные конструкции определённо не понравились.
Конечно, выборка (38 участников) слишком мала, чтобы распространять результаты на всё человечество, но теория интересная.
Рекурсивные алгоритмы легко смоделировать с помощью подручных средств
Возьмите, например, матрёшку. Все вложенные в неё куклы подобны кукле-шкатулке, кроме наименьшей, которая представляет собой базовый случай. То есть матрёшка — твёрдое воплощение рекурсии.
А если задаться целью поставить синюю точку на самой маленькой кукле, то можно буквально на пальцах реализовать рекурсивный алгоритм:
А вот алгоритм, для исполнения которого не нужны дополнительные предметы. Представьте, что вы сидите в последнем ряду длинного зала и хотите узнать, сколько всего в нём рядов. Конечно, можно встать и пересчитать их, но вам лень, а ещё вы уже знаете про рекурсию.
Так что вы спрашиваете соседа спереди, сколько перед ним рядов. Если он называет какое-то число, вы прибавляете к нему ещё два (один ряд — для соседа и один — тот, в котором сами сидите) и получаете ответ, а иначе — предлагаете этому самому соседу применить ваш гениальный алгоритм уже к его соседу спереди.
Если все участники процесса будут настроены доброжелательно, то в итоге очередь отвечать дойдёт до первого ряда и вам обратно по цепочке вернут результат — полученный с помощью рекурсивного алгоритма, между прочим. То есть:
И минутка предметного юмора
— Помнишь, Антоха желание проиграл? Так вот, я ему загадал, чтобы он два дня на все предметы, с которыми что-то сделал, клеил стикер с названием этого действия.
— И что, он на каждый новый стикер клеил другой с надписью «наклеил»?
Подытожим
Рекурсивные предметы и явления окружают нас повсюду. Рекурсию можно увидеть, услышать, потрогать руками. Рекурсия — это просто. Чтобы понять её, не обязательно разбираться с фракталами или фугами Баха. Объяснить рекурсию можно даже пятилетнему ребёнку. Просто прочтите ему стишок Андрея Усачёва:
Шёл по улице жучок
На груди блестел значок,
Нарисован был жучок,
И на нём висел значок,
Был ещё один жучок…
Что глядел я целый час
Был ли у жучка значок?
Был ли на значке жучок?
обложка: Валентина Палатурян для Skillbox
Тональность — музыкальный термин. Определяется тоникой (опорная, главная нота музыкального произведения) и типом лада (мажор или минор).
ЭЭГ — электроэнцефалограмма, регистрирует электрические сигналы клеток головного мозга.
Как работает рекурсия – объяснение в блок-схемах и видео
Представляю вашему вниманию перевод статьи Beau Carnes How Recursion Works — explained with flowcharts and a video.
«Для того чтобы понять рекурсию, надо сначала понять рекурсию»
Рекурсию порой сложно понять, особенно новичкам в программировании. Если говорить просто, то рекурсия – это функция, которая сама вызывает себя. Но давайте попробую объяснить на примере.
Представьте, что вы пытаетесь открыть дверь в спальню, а она закрыта. Ваш трехлетний сынок появляется из-за угла и говорит, что единственный ключ спрятан в коробке. Вы опаздываете на работу и Вам действительно нужно попасть в комнату и взять вашу рубашку.
Вы открываете коробку только чтобы найти… еще больше коробок. Коробки внутри коробок и вы не знаете, в какой из них Ваш ключ. Вам срочно нужна рубашка, так что вам надо придумать хороший алгоритм и найти ключ.
Есть два основных подхода в создании алгоритма для решения данной проблемы: итеративный и рекурсивный. Вот блок-схемы этих подходов:
Какой подход для Вас проще?
В первом подходе используется цикл while. Т.е. пока стопка коробок полная, хватай следующую коробку и смотри внутрь нее. Ниже немного псевдокода на Javascript, который отражает то, что происходит (Псевдокод написан как код, но больше похожий на человеческий язык).
В другом подходе используется рекурсия. Помните, рекурсия – это когда функция вызывает саму себя. Вот второй вариант в псевдокоде:
Оба подхода выполняют одно и тоже. Основный смысл в использовании рекурсивного подхода в том, что однажды поняв, вы сможете легко его читать. В действительности нет никакого выигрыша в производительности от использования рекурсии. Порой итеративный подход с циклами будет работать быстрее, но простота рекурсии иногда предпочтительнее.
Поскольку рекурсия используется во многих алгоритмах, очень важно понять как она работает. Если рекурсия до сих пор не кажется Вам простой, не беспокойтесь: Я собираюсь пройтись еще по нескольким примерам.
Граничный и рекурсивный случай
То, что Вам необходимо принять во внимание при написании рекурсивной функции – это бесконечный цикл, т.е. когда функция вызывает саму себя… и никогда не может остановиться.
Допустим, Вы хотите написать функцию подсчета. Вы можете написать ее рекурсивно на Javascript, к примеру:
Эта функция будет считать до бесконечности. Так что, если Вы вдруг запустили код с бесконечным циклом, остановите его сочетанием клавиш «Ctrl-C». (Или, работая к примеру в CodePen, это можно сделать, добавив “?turn_off_js=true” в конце URL.)
Рекурсивная функция всегда должна знать, когда ей нужно остановиться. В рекурсивной функции всегда есть два случая: рекурсивный и граничный случаи. Рекурсивный случай – когда функция вызывает саму себя, а граничный – когда функция перестает себя вызывать. Наличие граничного случая и предотвращает зацикливание.
И снова функция подсчета, только уже с граничным случаем:
То, что происходит в этой функции может и не быть абсолютно очевидным. Я поясню, что произойдет, когда вы вызовете функцию и передадите в нее цифру 5.
Сначала мы выведем цифру 5, используя команду Console.Log. Т.к. 5 не меньше или равно 1, то мы перейдем в блок else. Здесь мы снова вызовем функцию и передадим в нее цифру 4 (т.к. 5 – 1 = 4).
Мы выведем цифру 4. И снова i не меньше или равно 1, так что мы переходим в блок else и передаем цифру 3. Это продолжается, пока i не станет равным 1. И когда это случится мы выведем в консоль 1 и i станет меньше или равно 1. Наконец мы зайдем в блок с ключевым словом return и выйдем из функции.
Стек вызовов
Рекурсивные функции используют так называемый «Стек вызовов». Когда программа вызывает функцию, функция отправляется на верх стека вызовов. Это похоже на стопку книг, вы добавляете одну вещь за одни раз. Затем, когда вы готовы снять что-то обратно, вы всегда снимаете верхний элемент.
Я продемонстрирую Вам стек вызовов в действии, используя функцию подсчета факториала. Factorial(5) пишется как 5! и рассчитывается как 5! = 5*4*3*2*1. Вот рекурсивная функция для подсчета факториала числа:
Теперь, давайте посмотрим что же происходит, когда вы вызываете fact(3). Ниже приведена иллюстрация в которой шаг за шагом показано, что происходит в стеке. Самая верхняя коробка в стеке говорит Вам, что вызывать функции fact, на которой вы остановились в данный момент:
Заметили, как каждое обращение к функции fact содержит свою собственную копию x. Это очень важное условие для работы рекурсии. Вы не можете получить доступ к другой копии функции от x.
Нашли уже ключ?
Давайте кратенько вернемся к первоначальному примеру поиска ключа в коробках. Помните, что первым был итеративный подход с использованием циклов? Согласно этому подходу Вы создаете стопку коробок для поиска, поэтому всегда знаете в каких коробках вы еще не искали.
Но в рекурсивном подходе нет стопки. Так как тогда алгоритм понимает в какой коробке следует искать? Ответ: «Стопка коробок» сохраняется в стеке. Формируется стек из наполовину выполненных обращений к функции, каждое из которых содержит свой наполовину выполненный список из коробок для просмотра. Стек следит за стопкой коробок для Вас!
И так, спасибо рекурсии, Вы наконец смогли найти свой ключ и взять рубашку!
Вы также можете посмотреть мое пятиминутное видео про рекурсию. Оно должно усилить понимание, приведенных здесь концепций.
Заключение от автора
Надеюсь, что статья внесла немного больше ясности в Ваше понимание рекурсии в программировании. Основой для статьи послужил урок в моем новом видео курсе от Manning Publications под названием «Algorithms in Motion». И курс и статься написаны по замечательной книге «Grokking Algorithms», автором которой является Adit Bhargava, кем и были нарисованы все эти замечательные иллюстрации.
И наконец, чтобы действительно закрепить свои знания о рекурсии, Вы должны прочитать эту статью, как минимум, еще раз.
От себя хочу добавить, что с интересом наблюдаю за статьями и видеоуроками Beau Carnes, и надеюсь что Вам тоже понравилась статья и в особенности эти действительно замечательные иллюстрации из книги A. Bhargav «Grokking Algorithms».
Рекурсия. Беглый взгляд
Ниже речь пойдёт о старушке рекурсии, которую неплохо бы представлять, понимать и применять.
Примечание: Данная небольшая статья написана для беглого ознакомления с рекурсией, некоторыми примерами её применения и опасностями.
Определение
Для начала стоит сказать, что рекурсия относится не только к программированию. Рекурсия — это общее понятие, которое может быть присуще чему угодно и встречаться в повседневной жизни, но больше всего она распространена в информатике и математике. Для программистов же умение применять рекурсию — большой плюс в коллекцию полезных навыков.
Самая большая глупость — это делать то же самое и надеяться на другой результат.
Под рекурсией понимают процесс повторения элементов самоподобным образом. Объект обладает рекурсией, если он является частью самого себя.
Частным случаем рекурсии является хвостовая рекурсия. Если любой рекурсивный вызов является последней операцией перед возвратом из функции, то это оно.
Некоторые примеры
Рекурсию надо бы понять, а определение для этого подходит хуже, чем наглядные примеры. Для лучшего понимания, конечно, всё же следует прочитать определение, посмотреть на пример, снова прочитать определение и снова посмотреть на пример… Повторять, пока не придёт осознание.
Отличный пример вы можете найти тут.
Самое известное программисту применение рекурсии — задачи на вычисление чисел Фибоначчи или факториала. Давайте покажем, как это реализовать на языке C:
Тут же стоит отметить, что декларативная парадигма, в частности парадигма логического программирования, намного лучше позволяет понять рекурсию, так как там это обычное дело.
Fork-бомба
Примечание: Рекурсивное создание процессов крайне быстро (из-за экспоненциального роста их количества) заполняет таблицу процессов, что достаточно опасно для системы.
Reboot кнопкой после такого делать немного не приятно.
Для математика первой ассоциацией, скорее всего, будет фрактал. Фракталы прекрасны и приятно для глаза показывают свойства самоподобия.
Самые известные фракталы:
Ну и в повседневной жизни классическим примером являются два зеркала, поставленных друг напротив друга.
Углубимся глубже
Проста ли рекурсия? Однозначно нет. На вид кажется, что всё просто, однако рекурсия таит в себе опасности (А иногда она просто не понятна).
Вернёмся к примеру с вычислением чисел Фибоначчи. Сразу заметим, что возвращаемым результатом функции является вызов этой же функции, а если быть точнее, то сумма результатов вызова двух функций (именно поэтому рекурсия не хвостовая). Становится понятно, что второй вызов не произойдёт, пока не завершится первый (в котором также будет вызов двух функций). Тут же пытливый ум заметит, что из рекурсивной функции должен существовать «нормальный» выход, без самовызова, иначе мы познакомимся с переполнением стека вызовов — это один из ключевых моментов, который стоит держать в голове при работе с функциями вызывающими сами себя.
Заметим, что дерево вызовов получится большим, но максимальное количество вызовов в стеке будет заметно меньше (N-1 при N > 2, соответственно).
Рекурсивные алгоритмы довольно-таки часто встречаются при работе с деревьями, сортировками и задачами на графах. Так что, чтобы лучше вникнуть нужна практика и для этого не плохо подходит вышеупомянутое (в частности, бинарные или общие деревья. Их реализация не так сложна, а опыт работы с рекурсией получится не плохой).
Помимо этого хотелось бы упомянуть Ханойские башни, которые также отлично подойдут для ознакомления с рекурсивными задачами. На Хабре также был отличный разбор этой игры.
Для полноты картины обязательно надо упомянуть о борьбе с рекурсией.
Повышается производительность. Но это не значит, что с ней просто необходимо бороться, ведь применение рекурсии очевиднее, проще и приятнее, чем итерационные варианты.
Под силу ли побороть любую рекурсию?
Однозначно да. Любой рекурсивный алгоритм можно переписать без использования рекурсии, а хвостовую рекурсию же очень легко перевести на итерацию (чем и занимаются некоторые компиляторы для оптимизации). Это также относится и к итерационным алгоритмам.
Самый известный способ — это использование стека. Здесь подробнее, для интересующихся.
Заключение
Спасибо за прочтение статьи. Надеюсь, что большинство не знакомых с рекурсией получили базовое представление о ней, а от знающих людей, конечно, хочется услышать дополнения и замечания в комментариях. Не бойтесь рекурсии и не переполняйте стек!
UPD: Добавлен корректный пример хвостовой рекурсии.