что такое равные фигуры

Равновеликие фигуры — свойства, формулы и примеры

При рассмотрении и сравнении фигур в геометрии часто применяют определения «равные» и «равновеликие» фигуры. На первый взгляд может показаться, что это слова-синонимы, но это неверно. Для начала стоит определить, какие фигуры называют равными — так можно назвать только 2 полностью идентичных многоугольника. Равновеликими считаются тела, площади или объёмы которых совпадают, в то время как остальные параметры могут различаться.

Равные многоугольники

По определению равные фигуры должны быть во всём одинаковыми, включая площадь, длину сторон, размер углов и другие параметры. Чтобы рассмотреть всё из них, уйдёт много времени, да это и не нужно, ведь они взаимозависимы. Хорошим примером будет самый простой многоугольник — треугольник. Существует несколько правил, по которым можно определить, равны ли 2 треугольника между собой или нет:

Нельзя путать первое условие с тремя углами. Ведь если в треугольнике равны 3 угла, они необязательно будут равными, но будут подобными.

Названия условий достаточно точно описывают критерии, по которым можно определить одинаковые 2 треугольника или нет. Из них следует, что необязательно знать все параметры: часто хватает только нескольких из них для определения «равности».

В большинстве случаев определить одинаковость других фигур гораздо сложнее, нежели треугольников. К счастью, чаще всего в школьной геометрии такой класс задач не рассматривают или даются дополнительные данные, помогающие с решением.

Например, доказательство «равности» для четырёхугольника сложнее, да и почти не встречается. Но если по условию сказано, что четырёхугольник не произвольный, а имеет прямые углы, задача становится проще. В таком случае рассматривается прямоугольник. А для него достаточно, чтобы 2 не противолежащие стороны были равны.

Если указано ещё и условие, что прямоугольник является квадратом, достаточно указать, что у двух таких фигур совпадает по длине одна сторона и уже этого будет достаточно.

Равность правильных фигур

Частным и самым простым для сравнения является случай, когда многоугольник по условию правильный. Так называется фигура с одинаковыми сторонами и углами. Например, равносторонний треугольник и квадрат. Важно не забывать проверить равны ли углы, так как не каждая фигура правильная. Тот же ромб по определению имеет 4 совпадающие по длине стороны, но разные углы. При сравнении правильных многоугольников достаточно указать, что, хотя бы одна сторона фигуры равна стороне у другой. Это будет достаточное условие для доказательства «равности».

Самым простым и наглядным способом сверки двух фигур будет не геометрический с помощью правил, а путём наложения рисунков друг на друга. Разумеется, что он не претендует на точность, но изобразить параллелограмм и наложить его на другой нагляднее, чем сравнивать, например, углы. Понятно, что так можно только ознакомиться с концепцией «равности» и показать, какие фигуры называются равными, для упрощения в дальнейшем решения задач, но доказывать что-либо нельзя, ввиду неточности метода.

Если при сравнении двух тел оказывается, что их площади равны, такие тела (многоугольники) являются равновеликими. Как и в случае с прошлым, это определение звучит несложно. Проблемы могут начаться непосредственно при вычислении площадей. Самый простой многоугольник — треугольник. Для вычисления его площади существует множество способов.

Вычисление площади треугольника

Чаще всего приходится работать с прямоугольными треугольниками. Их площадь вычислить несложно — это полупроизведение катетов (сторон, между которыми лежит прямой угол). Таким образом, даже если стороны двух фигур по длине разные, но их произведение равно, они равновеликие. Например, треугольник с катетами 4 и 4 равен по площади многоугольнику с катетами 16 и 1. Так как их полупроизведение, а значит и площадь равна 8.

Если же треугольник произвольный (то есть не является частным случаем — прямоугольным, равнобедренным или равносторонним), можно воспользоваться одной из 5 формул, позволяющих вычислить его площадь.

То, какую формулу использовать, будет зависеть от данных, предоставленных в задаче. Иногда придётся проводить дополнительное построение, например, провести высоту или использовать свойства, что биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности. Если не даны все 3 стороны, использовать третью формулу не получится.

Важно понять, что фигуры могут быть разными по количеству углов, но всё равно считаться равновеликими — в учёт идёт только площадь, остальные параметры не важны. Например, прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4 будет визуально казаться больше, чем квадрат со стороной 2, но их площади совпадают и равны 4 (площадь прямоугольника считается как произведение прилежащих сторон друг на друга). По определению это делает их равновеликими.

Визуальный способ

Существует также наглядный, но неточный способ. Нужно взять листок в клеточку и нарисовать на нём многоугольники. Если рисунок получился большой — не страшно, так будет только проще в дальнейшем. Следующий шаг — посчитать количество клеток, которое заняла каждая фигура и сравнить. Если оно равно, равновеликость доказана. Опять же метод не точный, но для введения в концепцию площадей и их «равности» подойдёт.

Иногда встречается словосочетание «равносоставленная фигура». Такими называют произвольные многоугольники, которые можно составить друг из друга путём разрезания одного из них на одинаковые объекты и перекладывания. Например, если прямоугольник 4 на 1 нарезать на одинаковые части — квадраты 1 на 1, то из полученных маленьких квадратов можно составить один большой со стороной 2. Но это не более чем забавное свойство некоторых фигур и в геометрии фактически почти не используется.

Источник

Многоугольники. Равные фигуры

На рисунках 102 и 103 изображены три фигуры, каждая из которых ограничена замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев AB, BC, CD, DA.

Фигуры, изображенные на рисунке 102, называют четырехугольниками.

На рисунке 104 изображены треугольники, на рисунке 105 − пятиугольники, на рисунке 106 − шестиугольники.

Все эти фигуры являются примерами многоугольников. Фигура, изображенная на рисунке 103, многоугольником не является.

Каждый многоугольник имеет вершины и стороны. Так, на рисунке 102, a точки A, B, C, D − вершины четырехугольника, отрезки AB, BC, CD, DA − его стороны, а углы A, B, C, D − углы четырехугольника.

Многоугольник называют и обозначают по его вершинам. Для этого надо последовательно записать или назвать все его вершины, начиная с любой.

Изображенные на рисунке 102 четырехугольники можно назвать, например, так : ABCD, или BCDA, или DCBA и т.п.

Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром.

Два многоугольника называют равными, если они совпадают при наложении.

На рисунке 107 изображены два равных семиугольника.

Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.

На рисункее 108 изображены фигуры, совпадающие при наложении. Эти фигуры равны.

Источник

Равновеликие фигуры

Равновеликие фигуры — это фигуры, которые имеют одинаковые площади.

Равновеликие тела — это тела, которые имеют равные объёмы (равновеликие тела часто также называют равновеликими фигурами). Равные фигуры — это фигуры, которые совпадают при наложении (у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны).

Равные фигуры имеют равные площади, поэтому равные фигуры являются также равновеликими. Обратное, вообще говоря, неверно.

1) Прямоугольник и квадрат, изображенные на рисунке 1, — равновеликие фигуры.

То есть, прямоугольник со сторонами a и b и квадрат со стороной c являются равновеликими, если

2) Треугольник и квадрат, изображенные на рисунке 2 — равновеликие фигуры, так как имеют равные площади.

Площадь квадрата S=3²=9.

Треугольник со стороной a и проведенной к ней высоте ha и квадрат со стороной c являются равновеликими, если

3) Треугольник и трапеция, изображенные на рисунке 3 — равновеликие, поскольку их площади равны.

Треугольник со стороной c и проведенной к ней высотой hс и трапеция с основаниями a и b и высотой h являются равновеликими, если

Источник

Равенство фигур

Содержимое разработки

16.01 Классная работа

В треугольнике МКР сторона МК меньше стороны КР на 18 см, а сторона МР больше стороны КР на 12 см. Найдите периметр этого треугольника, если сторона МК = 35 см

Периметр треугольника – 18 см.

Первая сторона больше второй на 4 см,

а третья больше второй на 5 см.

Найти стороны треугольника

На рисунке изображен план клумбы с цветами, вокруг которой нужно поставить изгородь. Сколько метров изгороди потребуется для этого?

Перед вами изображены геометрические фигуры. Как можно разделить эти фигуры на группы?

Тема урока : РАВЕНСТВО ФИГУР

Назовите равные треугольники

Ответ: А и Е ; Г и Б ; Д и В.

В равных фигурах равны все

элементы: стороны, углы

АЛГОРИТМ СРАВНЕНИЯ ФИГУР

1. Скопировать на кальку одну из фигур.

2. Наложить копию на вторую фигуру так, чтобы они совпали. При наложении кальку можно переворачивать.

3. Если фигуры совпали, то фигуры равны.

4. Если не совпали, то фигуры не равны.

Выполним практическую работу

1. Берем лист кальки. Накладываем его на многоугольник на желтом листе, обводим многоугольник и накладываем его на другой многоугольник на голубом листе. Совпали ли многоугольники? Равные они?

2. Берем ножницы и вырезаем многоугольники желтый и голубой и накладываем один на другой. Равные ли фигуры получились?

Выполняем практическую работу

из рабочей тетради №2 стр. 20 – 21

На рис. 1 изображены два одинаковых квадрата. Они разбивают плоскость на четыре части. На свободном поле справа, обозначенном как рис. 2, нарисуйте два квадрата так, чтобы они разбивали плоскость на две части.

У меня всё получилось!

Что – то не очень все понятно было.

Источник

Презентация по математике на тему «Многоугольники. Равные фигуры»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Многоугольники.
Равные фигуры

Описание слайда:

Что изображено на чертеже?

Описание слайда:

Что изображено на чертеже?

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Многоугольник-это геометрическая фигура,
образованная замкнутой ломаной линией
ломанная линия
А
С
E
B

Описание слайда:

Из истории многоугольников
В древних египетских и вавилонских математических рукописях понятие четырехугольника встречается около 5 тыс. лет назад.

Квадрат и прямоугольник –
греческие прямоугольники,
трапеция – греческий столик.

Описание слайда:

Определите вид многоугольника
1
5
2
3

Описание слайда:

Описание слайда:

Данная фигура не является многоугольником …

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Два многоугольника (две фигуры) называют равными, если они совпадают при наложении.

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

С. 87, №321 (устно), №322, №323,
№325, 333
Работа по учебнику:

Описание слайда:

Описание слайда:

§13, в. 1-7
№ 324,
№ 326,
№ 335
Желаю удачи!
Домашнее задание

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Презентация по математике на тему «Проценты. Нахождение процентов от числа»

Программа по математике для 4 класса

Презентация по математике на тему «Объем прямоугольного параллелепипеда»

Проект по математике «Математика вокруг нас. Числа в загадках, пословицах, поговорках».

Карточка по математике на тему «Таблица умножения и деления с числом 4.» » (3класс)

Технологическая карта математика docx

Презентация по математике на тему «Сокращение дробей» (6 класс)

Презентация по математике (4класс)

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5335494 материала.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Отказавшихся от вакцинации сотрудников МГУ отстранили от работы со студентами

Время чтения: 1 минута

В России зарегистрировали вакцину от коронавируса для подростков

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

Российские школьники установили рекорд на олимпиаде по астрономии

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Чёрная пятница

На все курсы повышения квалификации и профессиональной переподготовки

Источник