Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

БвязанныС понятия

Π’ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ изотоми́чСским сопряТС́ниСм называСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ плоскости, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ABC.

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ концикличСскими (ΠΈΠ»ΠΈ гомоцикличСскими) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, находящиСся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π’Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° плоскости, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, всСгда Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ окруТности, поэтому ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «концикличСскиС» ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°ΠΌ ΠΈΠ· 4 ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ барицС́нтр, ΠΈΠ»ΠΈ гСомСтри́чСский Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€, Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ области β€” это срСднСС арифмСтичСскоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ распространяСтся Π½Π° любой ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π² n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС β€” Π±Π°Ρ€ΠΈΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ являСтся срСдним ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ всСм ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ направлСниям. ΠΠ΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° равновСсия Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Π²Ρ‹Ρ€Π΅Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ½Π° Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ постоянно ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ.

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС β€” это Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС, связанныС с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ОсобоС свойство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ прямыС ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС проявляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π² основС Ρ„ΠΈΠ±ΠΎΡ‚Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ особоС свойство Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ связано с понятиСм Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠšΠ»Π°Ρ€ΠΊΠΎΠΌ ΠšΠΈΠΌΠ±Π΅Ρ€Π»ΠΈΠ½Π³ΠΎΠΌ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1994 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ.

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ полярами ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, связанныС с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ВрилинСйная поляра Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Y (полюса) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° это β€” прямая линия, опрСдСляСмая ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ построСниСм. Если ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ стороны Ρ‡Π΅Π²ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ сторонами, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ исходной.

Π’ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ извСстна Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ± ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ принадлСТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ. На плоскости Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. ВрСбуСтся Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ вопрос ΠΎ принадлСТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 2 прямыми Π² пространствС

Π’Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Автор24

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΉ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя прямыми линиями Π² пространствС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя линиями приходится ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°Ρ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° β€” это Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π° мосты для Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ высоту Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ°, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ…Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ мостом.

РасстояниС ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя прямыми.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 2 прямыми Π² пространствС β€” это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΈΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ пСрпСндикулярный ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ прямым.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Π² пространствС β€” это расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ вторая прямая.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых:

Π‘ΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС β€” это Π΄Π²Π΅ прямыС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ совмСстных Π΄Ρ€ΡƒΠ³ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

БоотвСтствСнно, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Π² пространствС, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· прямых ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ пСрпСндикуляр Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ другая прямая.

РасстояниС ΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Π² пространствС являСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π½Π° протяТСнии всСй Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ пСрпСндикуляр, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ, всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π½Π΅ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΅Π³ΠΎ опустили.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ для опрСдСлСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Π² пространствС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ

Рисунок 1. РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Π² пространствС

Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Для этого Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… прямых, ΠΈ ΠΈΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°:

Найдём смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

Π”Π»ΠΈΠ½Π° этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния составит:

БоотвСтствСнно, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми составит:

РасстояниС Π² этом случаС для Π½ΠΈΡ… вычисляСтся ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Найдём Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ прямой:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ нахоТдСния

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π΅ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ вопрос нахоТдСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми, Π² частности, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ тСорСтичСскиС знания.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми – это расстояниС ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых Π΄ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ для наглядности: Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми справСдливо ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° плоскости, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ для прямых Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ взаимосвязано со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ.

Когда Π΄Π²Π΅ прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми – наимСньшСС ΠΈΠ· расстояний ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

НахоТдСниС расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ выяснили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎ сути, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ пСрпСндикуляра, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. Бпособов, ΠΊΠ°ΠΊ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, нСсколько. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°; Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ использованиС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² равСнства ΠΈΠ»ΠΈ подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. Π’ случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Рассмотрим Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ построим Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми: для нахоТдСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

— произвСсти вычислСниС расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М 1 Π΄ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚.

ΠžΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с уравнСниями прямой Π½Π° плоскости ΠΈΠ»ΠΈ Π² пространствС, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М 1 просто. ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М 1 Π΄ΠΎ прямой пригодится ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ прямой.

Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

ΠŸΡ€ΠΈ Π‘ 2 β‰₯ 0 Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой b Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ числа Π‘ 2 Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° | М 1 Н 1 | (ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М 1 Π΄ΠΎ прямой b ) вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

РСшСниС

РСшСниС

НапослСдок рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС.

РСшСниС

Вычислим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² :

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расчСта расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ прямой Π² пространствС:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НахоТдСниС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этому ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС β€” это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ соСдиняСт Π΄Π²Π΅ прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ самому ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, ΠΎΠ½ пСрпСндикулярСн ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ этим прямым.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Но Π½Π΅ всСгда Π΄Π²Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.

ΠžΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎ! Если ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠ»Π°Π³ΠΈΠ°Ρ‚ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, Π½Π΅ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ (Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ отчислСния). Если Π½Π΅Ρ‚ возмоТности Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ самому, Π·Π°ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΡƒΡ‚.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Π² пространствС β€” это расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· прямых провСсти пСрпСндикуляр Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ другая прямая.

ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми расстояниС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π° протяТСнии всСй ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹: пСрпСндикуляр, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ для опрСдСлСния расстояния

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ пошагово способ опрСдСлСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

РСшСниС

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2

Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Oxyz Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС a ΠΈ b. ΠŸΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ a ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ парамСтричСскиС уравнСния прямой Π² пространствС:

А ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ b каноничСскиС уравнСния прямой Π² пространствС:

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми.

РСшСниС

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для вычислСния расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(M_1(-2, 1, 4)\) Π΄ΠΎ плоскости \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0: \left|M\_1H\_1\right|=\left|\frac67\times(-2)-\frac37\times1-\frac27\times4-\frac57\right|=\left|\frac<-28>7\right|=4\) см.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŽ этого ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС. ДаСтся ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с пояснСниями. Для вычислСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС, Π·Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ уравнСния прямых («ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ» ΠΈΠ»ΠΈ «ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ричСский» ), Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнты ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямых Π² ячСйки ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΈΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ «Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ».

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡƒΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Π² пространствС βˆ’ тСория, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Oxyz ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² этой систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ прямыС L1 ΠΈ L2:

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ (1) ΠΈ (2) Π² пространствС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π½ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ. Если прямыС Π² пространствС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠœΡ‹ рассмотрим Π΄Π²Π° случая. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ βˆ’ прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ βˆ’ прямыС ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ частыми случаями. Если ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ расстояниС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти прямыС ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. Если ΠΆΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ эти прямыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ.

1. РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Π² пространствС

Рассмотрим Π΄Π²Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° вычислСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈ являСтся расстояниСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 (Рис.1).

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2:

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M1 Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ L2. Для этого построим ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M1 ΠΈ пСрпСндикулярной прямойL2.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π±Ρ‹Π»ΠΎ пСрСпСндикулярна прямой L2, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ плоскости Ξ± Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ прямой L2, Ρ‚.Π΅. Π² качСствС Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° плоскости Ξ± ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой L2. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ искомой плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M1(x1, y1, z1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

ПослС упрощСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M1 ΠΈ пСрпСндикулярной прямой L2:

НайдСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния прямой L2 ΠΈ плоскости Ξ±, для этого построим парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой L2.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ x, y, z Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой L2:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния прямой L2 ΠΈ плоскости Ξ±, подставим значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… x, y, z ΠΈΠ· (7) Π² (6):

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

РСшив ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ t Π² (7), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСнияпрямой L2 ΠΈ плоскости Ξ±:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ M1 ΠΈ M3:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми
Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ d=7.2506.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ 2. НайдСм расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 (уравнСния (1) ΠΈ (2)). Π’ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, провСряСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых L1 ΠΈ L2. Если Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ прямых L1 ΠΈ L2 ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚.Π΅. Ссли сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число Ξ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ равСнство q1=Ξ»q2, Ρ‚ΠΎ прямыС L1 ΠΈ L2 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вычислСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ основана Π½Π° понятии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ (Рис.2). Π£Π·Π½Π°Π² ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° d, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½Π° основаниС q1 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Вычислим ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Вычислим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Вычисляя ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° c:

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°:

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. РСшим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2. Найти расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ q1 ΠΈ q2 ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямыС L1 ΠΈ L2 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Для вычислСния расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми=<x2βˆ’x1, y2βˆ’y1, z2βˆ’z1>=<7, 2, 0>.

Вычислим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1. Для этого составим 3Γ—3 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, пСрвая строка ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ базисныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ i, j, k, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ строки Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ‹ элСмСнтами Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Вычислим ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строкС. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ этих вычислСний ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымии q1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ плошадь ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ :

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямымичто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ d=7.25061.

2. РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми Π² пространствС

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ симтСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Oxyz ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² этой систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ прямыС L1 ΠΈ L2 (уравнСния (1) ΠΈ (2)).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямыС L1 ΠΈ L2 Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС ΠΌΡ‹ расстотрСли Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости Ξ±1 ΠΈ Ξ±2 Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ прямая L1 Π»Π΅ΠΆΠ°Π» Π½Π° плоскости Ξ±1 Π° прямая L2 βˆ’ Π½Π° плоскости Ξ±2. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями L1 ΠΈ L2 (Рис. 3).

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±1, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ L1, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· M1(x1, y1, z1). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ справСдливо ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнство:

Π³Π΄Π΅ n1=<A1, B1, C1> βˆ’ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ плоскости Ξ±1. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±1 ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ L1, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ n1 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ q1 прямой L1, Ρ‚.Π΅. скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±1 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой L2, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° выполнятся условиС:

РСшая систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (27)βˆ’(29), с трСмя уравнСниями ΠΈ чСтырСмя нСизвСстными A1, B1, C1, D1, ΠΈ подставляя Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Ξ±1. (Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ здСсь).

Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Ξ±2:

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Ξ±1 ΠΈ Ξ±2 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹n1=<A1, B1, C1> ΠΈ n2=<A2, B2, C2> этих плоскостСй ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹. Если эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ (31) Π½Π° Π½Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ число Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ n2 совпадал с Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ уравнСния (30).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями вычисляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями Ξ±1 ΠΈ Ξ±2 являСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ расстояниСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми L1 ΠΈ L2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Найти расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±1, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ L1, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой L2.

Π° условиС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямой L1 ΠΈ искомой плоскости Ξ±1 прСдставляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ условиСм:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±1 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой L2, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° выполнятся условиС:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ эти уравнСния Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Искомая ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Упростим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° число 17.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±2, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ L2, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой L1.

Π° условиС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямой L2 ΠΈ искомой плоскости Ξ±2 прСдставляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ условиСм:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±2 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой L1, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° выполнятся условиС:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ эти уравнСния Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Искомая ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

Упростим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° число βˆ’83.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ построСнными плоскостями (43) ΠΈ (53) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расстояниСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми (1) ΠΈ (2).

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ плоскостСй Ξ±1 ΠΈ Ξ±2 :

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ плоскостСй Ξ±1 ΠΈ Ξ±2 ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями Ξ±1 ΠΈ Ξ±2, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми
Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ: d=4.839339

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *