что такое ранг матрицы и его свойства

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размером m х n

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваВыберем в ней произвольно s разных строк и s столбцов, причем 1 что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствато, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу второго порядка и ее определитель

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваЭтот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить остальные миноры второго порядка и третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.

Ранг матрицы — наибольший из порядков ее миноров не равных нулю. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: rang А, r. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров. Если все миноры определенного порядка матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а всё миноры порядка k + 1 равны нулю или не существуют, то r= k.

Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,…,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

Для решения контрольной по математике на нахождения ранга жмите сюда.

Источник

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы.

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства.

Выделим в ней k-строк и k-столбцов (k≤(min(m,n))). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А, отличные от нуля.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Свойства ранга матрицы:

Под элементарными преобразованиями понимают:

При вычислении ранга матрицы могут быть использованы элементарные преобразования, метод приведения матрицы к ступенчатому виду, метод окаймляющих миноров.

Метод приведения матрицы к ступенчатому виду заключается в том, что при помощи элементарных преобразований данная матрица приводится к ступенчатой.

Матрица называется ступенчатой, если в каждой ее строке первый ненулевой элемент стоит правее, чем в предыдущей (т. е. получаются ступеньки, высота каждой ступеньки должна быть равна единице).

Примеры ступенчатых матриц:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Примеры не ступенчатых матриц:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

РЕШЕНИЕ:

Приведем данную матрицу к ступенчатой с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первую и третью строки.

2. Получим в первом столбце нули под единицей.

Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-3), к третьей – первую, умноженную на (-5), к четвертой – первую, умноженную на (-3), получим

Для того чтобы было понятней где еще нужно получить нули, нарисуем ступеньки в матрице. (Матрица будет ступенчатой, если везде под ступеньками будут нули)

3. Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на (-1), к четвертой – вторую, умноженную на (-1), получим нули под ступеньками во втором столбце.

Если нарисовать опять ступеньки, увидим, что матрица ступенчатая.

Ее ранг равен r=3 (число строк ступенчатой матрицы, в каждой из которых хотя бы один элемент отличен от нуля). Следовательно, ранг данной матрицы r=3.

Решение можно записать так:

(римскими цифрами обозначены номера строк)

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k называется окаймляющим минор.

Метод окаймляющих миноров основан на том, что ранг данной матрицы равен порядку такого минора этой матрицы, который отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю.

ПРИМЕР : Найти ранг матрицы:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

РЕШЕНИЕ:

Найдем теперь ранг этой матрицы методом окаймляющих миноров.

Среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, например 5. Среди окаймляющих его миноров есть отличный от нуля, например

Среди миноров, окаймляющих этот минор, есть отличный от нуля, например

Так как единственный минор, окаймляющий последний минор равен нулю, то r=3.

В открывшемся окне:

Упражнения к уроку:

Найти ранг матрицы:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

1. r=2; 2. r=2; 3. r=2; 4. r=2 ; 5. r=3 ; 6. r=2; 7. Ни при каких значениях.

Автор: Аникина Анна

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Источник

Содержание:

Элементарные преобразования матриц:

Рассмотрим прямоугольную матрицу:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

и, следовательно, данную матрицу можно рассматривать как систему вектор строк или вектор столбцов. Б указанных системах вектор-строк и вектор-столбцов можно выделять линейно независимые (зависимые) векторы. Тогда будем говорить, что строки (столбцы) матрицы линейно независимы (зависимы), если соответствующие им векторы независимы (зависимы).

Определения

Определение: Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называется наибольшее число линейно независимых среди них.

Поскольку легко доказать, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы её столбцов, то справедливо следующее

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При транспонировании матрицы ранг её не изменяется.

Другой метод определения ранга матрицы связан с понятием определителя.

Выделим в матрице А любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на их пересечении, образуют квадратную матрицу, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Ясно, что величина к должна удовлетворять двум условиям: что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства. Полагая последовательно k = 1,2. l, где

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, составляем при каждом k все миноры k-то порядка матрицы А. Тогда можно сформулировать еще одно определение ранга матрицы.

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется порядок самого старшего минора этой матрицы, не равного нулю.

Из определения следует, что если ранг матрицы А равен l, то среди всех её миноров существует хотя бы один минор l-го порядка, отличный от нуля, но все миноры (l+1)-го порядков либо равны нулю, либо не могут быть составлены.

Вычисление ранга матрицы путём перебора всех её миноров весьма трудоёмко. Существует, однако, более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на упрощении структуры матрицы с помощью элементарных преобразований. Элементариыми преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

Матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путём конечного числа элементарных преобразований.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая тому свойству, что если в какой-либо из сё строк первый отличный от нуля элемент стоит на l-м месте, то во всех следующих строках на первых l местах стоят нули:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

где элементы что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваотличны от нуля, а все элементы, стоящие под ними, равны нулю.

Для вычисления ранга матрицы приводят её с помощью цепочки элементарных преобразований к ступенчатому виду. Тогда ранг матрицы совпадает с числом её ненулевых диагональных элементов.

Теоремы о ранге матриц. Свойства ранга матриц

Относительно ранга матриц можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема: Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядкачто такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства(окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равен r.

Вычисление ранга матрицы при помощи метода окаймления нужно вести от низших порядков к высшим. Сначала ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы) или сразу второго порядка, отличный от нуля. Затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка, пока не найдём среди них отличного от нуля и т.д., пока не найдем минор порядка l, отличный от нуля, для которого либо все окаймляющие его миноры порядка l+1 равны нулю, либо такие миноры не могут быть составлены.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство теоремы следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.

Пример:

Найти ранг матрицы: что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Решение:

Минор первого порядка в левом верхнем углу равен что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства. Окаймляющий его минор второго порядка:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваВычисляем окаймляющий его минор третьего порядка: что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Значит ранг матрицы равен 2.

Пример:

Найти ранг матрицы:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Решение:

При помощи элементарных преобразований приведём данную матрицу к ступенчатому виду. На первом шаге умножим последовательно первую строку на 3, 3, 2 и вычтем из второй, третьей, четвёртой строк соответственно:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

В эквивалентной матрице прибавим к третьей строке вторую и вычтем вторую из четвёртой строки:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

(поменяем местами третью и четвертую строки)

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

(поменяем местами третий, четвёртый и пятый столбцы со вторым и опустим строки, состоящие из нулей) что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваПреобразовали матрицу к ступеньчатому виду, у которой на диагонали три ненулевых элемента. Ранг матрицы равен 3.

Отмстим некоторые свойства ранга матриц.

Определение системы m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваназывается система вида:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

С помощью знака суммирования что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствасистему (5.3.1) можно записать в виде:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

составленная из коэффициентов системы что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, называется матрицей

системы. Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы: что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваОбозначив матрицу-столбец неизвестных что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваи матрицу-столбец свободных членов что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, систему (5. 3.1) можно записать в матричной форме:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствагде что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Используется также табличная форма записи системы (5.3.1):что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Отметим, что (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4)- различные виды записи одной и той же системы линейных уравнений.

Решением системы (5.3.1) называется любой упорядоченный набор действительных чисел что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, который при подстановке в (5.3.1) вместо неизвестных что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, обращает каждое из уравнений системы в верное равенство.

Система уравнений (5.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений с одинаковыми наборами неизвестных что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваназываются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Отмстим, что для любой системы (5.3.1) возможны только три случая:

Множество всех решений системы (5.3.1) называется ее общим решением.

Пример:

Пусть задана система

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Тогда эту систему можно записать в матричном виде:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

или в виде таблицы:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Система определенная, так как она имеет единственное решение что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства. Других решений быть не может, так как прямые

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствана координатной плоскости что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствапересекаются в единственной точке.

Экономические задачи, приводящие к системе линейных уравнений

Предположим, что производственные мощности для изготовления n различных видов продукции установлены в т цехах. Пусть что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствапредставляет собой суммарную мощность цеха i, и что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства— часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производства единицы продукции вида j. Тогда обозначив через что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваколичество выпущенной продукции, получим систему уравнений, показывающих. как можно использовать имеющиеся мощности в полном объёме.

Широкий круг задач экономики приводит к составлению системы уравнений. Так в примере 4.3.2 составлялась система линейных уравнений (4.3.1) балансовой модели для трёх отраслей. В общем случае под балансовой моделью понимается система уравнений, каэ/сдое из которых выражает требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей всё производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчинённости и форм собственности предприятий и фирм. Всё народное хозяйство представляется в виде совокупности п отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

Если обозначить через:

то систему уравнений баланса можно записать в виде:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

или в матричной форме:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица А, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Коэффициент. прямых затрат являются довольно стабильной величиной во времени.

Переписав матричное уравнение (5.4.2) в виде EX-AX = Y или (E-A)X = Y, (5.4.3) получим стандартную форму записи системы уравнений.

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствастрок и что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствастолбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваСреди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, но всякий минор порядка, большего чем что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства(А).

Очевидно, что выполняется соотношение

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: А

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы

равны нулю, например, что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример:

Найти методом окаймления миноров ранг матрицы что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Решение:

Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстварасположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваотличный от нуля.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваИх всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Таким образом, асе окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример:

Найти ранг матрицы что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваи привести ее к каноническому виду.

Решение:

Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойствакоторая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойстваМатрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Вычисление ранга матрицы

Для исследования разрешимости систем линейных уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу А что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Выделим k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: rank А, что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть фото что такое ранг матрицы и его свойства. Смотреть картинку что такое ранг матрицы и его свойства. Картинка про что такое ранг матрицы и его свойства. Фото что такое ранг матрицы и его свойства

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Рассмотрим некоторые методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k, называется окаймляющим минором.

Вычисляя ранг матрицы, удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры порядка k+1 равны нулю, то ранг матрицы равен k.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *