что такое радиус в квадрате

Как найти радиус окружности

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Источник

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратечто такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратечто такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратечто такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратечто такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратечто такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Ответ: что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Ответ: что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Ответ: что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Из формулы (5) найдем R:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

или, умножая числитель и знаменатель на что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате, получим:

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Ответ: что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратеНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратев (8), получим:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Ответ: что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

где что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадратев (9), получим:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Ответ: что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Источник

Площадь круга: как найти, формулы

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как глобус и мяч.

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

Площадь круга через диаметр

S = π × d 2 : 4, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Источник

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Источник

Как определить площадь квадрата

что такое радиус в квадрате. Смотреть фото что такое радиус в квадрате. Смотреть картинку что такое радиус в квадрате. Картинка про что такое радиус в квадрате. Фото что такое радиус в квадрате

Формула нахождения площади квадрата

Квадрат — это фигура, которая является частным случаем прямоугольника, из-за чего можно заметить схожесть некоторых алгоритмов. Способ вычисления всегда зависит от исходных данных. Чтобы узнать площадь квадрата, необходимо знать специальные формулы, рассмотрим пять из них.

Если известна длина стороны

Умножаем ее на то же число или возводим в квадрат.

Эту формулу проходят в 3 классе. Остальные формулы третьеклассникам знать пока не нужно, но они пригодятся ученикам 8 класса.

Если нам дана диагональ

Возводим ее в квадрат и делим на два.

S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Если известен радиус вписанной окружности

Умножаем его квадрат на четыре.

Если у нас есть радиус описанной окружности

Возведем его в квадрат и умножим на два.

У нас есть дополнительные занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы — записывайтесь!

Если есть периметр

Мы должны возвести его в квадрат и разделить на 16.

S = Р 2 : 16, где Р — это периметр.

Периметр любого четырехугольника равен сумме длин всех его сторон.

Популярные единицы измерения площади:

S квадрата. Решение задач

Мы разобрали пять формул для вычисления площади квадрата. А теперь давайте потренируемся!

Задание 1. Как найти площадь квадрата, диагональ которого равна 90 мм.

Воспользуемся формулой: S = d 2 : 2.

Задание 2. Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен 24 см.

Если окружность вписана в квадрат, то сторона квадрата равна диаметру:
a = d

Диаметр окружности равен двум радиусам:
d = 2r

Получается, что сторона равна двум радиусам:
a = 2r

Используем формулу нахождения площади квадрата через сторону:
S = a 2

Так как из пункта 3 мы получили, что сторона равна двум радиусам, то формула площади квадрата примет вид:
S = (2r) 2
S = 4r 2

Теперь подставим значение радиуса в формулу площади:
S = 4 × 24 2 = 2304 см 2

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *