Что такое прямая теорема
§ 29. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ И АКСИОМЕ.
1. Понятие о теореме.
В предыдущих параграфах путём рассуждений мы установили, или, как говорят, доказали, ряд свойств различных геометрических фигур. Например:
Сумма двух смежных углов равна 2d (§ 11).
Вертикальные углы равны между собой (§ 11).
Если в одном и том же круге центральные углы равны, то равны и соответствующие им дуги (§ 13).
Такие математические предложения, в правильности которых мы убеждаемся путём рассуждений (доказательств), мы называли теоремами. Каждая теорема состоит из двух частей: из условия и заключения. Условие обыкновенно начинается со слова «если», а заключение — со слова «то». Условие — то, что дано; заключение — то, что надо доказать. Например:
1. Если два угла смежные,
2. Если два угла вертикальные,
3. Если в одном и том же круге центральные углы равны,
4. Если каждое слагаемое делится на какое-нибудь число,
5. Если сумма цифр какого-нибудь числа делится на 9,
то сумма их равна 2d.
то они равны между собой.
то равны и соответствующие им дуги.
то и сумма этих слагаемых разделится на это число.
то и само это число разделится на 9.
Последние две теоремы (4-я и 5-я) известны нам из арифметики. Значит, и там мы уже встречались с теоремами.
2. Теоремы прямая и обратная.
Если в теореме условие сделать заключением, а заключение — условием, то первая теорема будет называться прямой, а вторая —обратной, а обе теоремы вместе — взаимно обратными.
Если верна прямая теорема, то это ещё не значит, что верна и обратная ей теорема.
1. Если в одном и том же круге центральные углы равны, то равны и соответствующие им дуги.
2. Если сумма цифр какого-нибудь числа делится на 9, то и само это число разделится на 9.
4. Если два угла вертикальные, то они равны между собой.
5. Если каждое слагаемое делится на какое-нибудь число, то и сумма этих слагаемых делится на это число.
Если в одном и том же круге дуги равны, то равны и соответствующие им центральные углы
Если число делится на 9, то и сумма цифр этого числа делится на 9.
Если сумма двух углов равна 2d, то они смежные (?)
Если два угла равны между собой, то они вертикальные (?)
Если сумма нескольких слагаемых делится на какое-нибудь число, то и каждое слагаемое делится на это число (?)
В приведённых примерах для 1-й и 2-й теорем обратные теоремы верны Что же касается теорем 3-й, 4-й и 5-й, то здесь обратные теоремы не верны.
В самом деле, можно иметь два угла, сумма которых равна 2d, но они могут быть не смежными.
Если есть два равных угла, то это не значит ещё, что они обязательно вертикальные.
Сумма двух или нескольких слагаемых может делиться, например, на 10, но это не значит, что каждое из этих слагаемых делится на 10.
Например, сумма 71 и 19 делится на 10 (90 : 10 = 9), но ни 71, ни 19 на 10 не делятся.
Отсюда следует сделать такой вывод: если доказана справедливость какой-нибудь теоремы, то это ещё не значит, что справедлива и обратная теорема. Она также нуждается в доказательстве, как и прямая теорема.
3. Понятие об аксиоме.
Некоторые свойства геометрических фигур принимают без доказательств. Например:
Через всякие две точки можно провести прямую линию и притом только одну (§ 3).
Отрезок прямой короче всякой другой линии, соединяющей его концы (§ 6).
Такие математические предложения, которые принимаются без доказательств, называются аксиомами.
Сформулировать две теоремы, обратные теоремам:
1) «Если треугольник равнобедренный, то биссектриса угла при вершине совпадает с его высотой»;
2) «Если треугольник равнобедренный, то медиана, проведённая к основанию, совпадает с его высотой», и доказать их справедливость.
Прямая и обратная теоремы
Разделы: Математика
Понятия прямой и обратной теорем всегда вызывает у учащихся большую путаницу. Доказательством тому служат экзаменационные работы учащихся 9 и 11 классов, где постоянно встречаются ошибки, связанные с применением прямой и обратной теорем Виета, на экзамене по геометрии возникают недоразумения с использованием прямых и обратных теорем Фалеса и Пифагора.
Теорема, обратная теореме Пифагора.
Цели урока: познакомить учащихся с теоремой, обратной теореме Пифагора;
показать ее применение на практике;
уметь применять теорему для решения задач;
отработка навыков устного счета;
развитие умения грамотного использования математических терминов;
развитие логического мышления.
II. Актуализация опорных знаний
В кроссворде зашифрованы основные понятия и формулы по теме “Четырехугольники”. В выделенном столбце получится ключевое слово урока.
III. Устная работа.
Вычислить гипотенузу, если катеты равны 3 см и 4 см; 6 см и 8 см; v?23 см и v?15 см; а см и 3а см;
Вычислить катет, если гипотенуза равна 5 см, а катет равен 4 см; гипотенуза равна 7а см, а катет равен 3а см; гипотенуза равна v?78 см, а катет равен v?56 см.
IV. Подготовительный этап
Что такое обратная теорема?
Сформулируйте утверждения, обратные данным (верны ли они?):
Сформулируйте утверждение, обратное теореме Пифагора.
V. Доказательство теоремы.
Доказательство проводится учителем на доске, учащиеся записывают его в тетрадь.
VII. Математический диктант с самопроверкой.
Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Ответ: да
Ответ: теорема, обратная теореме Пифагора.
После проведения диктанта учащиеся по одному читают верные ответы, а все остальные проверяют свои работы.
V. Итог урока.
Домашнее задание: 498(д, е), 499(а), доказательство теоремы.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Прямая и обратная теоремы
Понятия прямой и обратной теорем всегда вызывает у учащихся большую путаницу. Доказательством тому служат экзаменационные работы учащихся 9 и 11 классов, где постоянно встречаются ошибки, связанные с применением прямой и обратной теорем Виета, на экзамене по геометрии возникают недоразумения с использованием прямых и обратных теорем Фалеса и Пифагора.
Теорема, обратная теореме Пифагора.
Цели урока: познакомить учащихся с теоремой, обратной теореме Пифагора;
показать ее применение на практике;
уметь применять теорему для решения задач;
отработка навыков устного счета;
развитие умения грамотного использования математических терминов;
развитие логического мышления.
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний
В кроссворде зашифрованы основные понятия и формулы по теме “Четырехугольники”. В выделенном столбце получится ключевое слово урока.
Четырехугольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие нет.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
Латинский …, используемый в геометрии.
Четырехугольник, площадь которого равна квадрату его стороны.
Треугольник, у которого квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений.
Четырехугольник, площадь которого равна половине произведения его диагоналей.
III. Устная работа.
Вычислить гипотенузу, если катеты равны 3 см и 4 см; 6 см и 8 см; v?23 см и v?15 см; а см и 3а см;
Вычислить катет, если гипотенуза равна 5 см, а катет равен 4 см; гипотенуза равна 7а см, а катет равен 3а см; гипотенуза равна v?78 см, а катет равен v?56 см.
IV. Подготовительный этап
Что такое обратная теорема?
Сформулируйте утверждения, обратные данным (верны ли они?):
если углы вертикальные, то они равны;
если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны;
если четырехугольник является трапецией, то две его стороны параллельны.
Сформулируйте утверждение, обратное теореме Пифагора.
V. Доказательство теоремы.
Доказательство проводится учителем на доске, учащиеся записывают его в тетрадь.
VI. Закрепление:
Пифагоровы треугольники – треугольники, стороны которых выражаются целыми числами;
Египетский треугольник – со сторонами 3см, 4 см, 5см.
Далее следует рассказ учителя о построении прямых углов в Древнем Египте с демонстрацией с помощью веревки, разделенной узелками на 12 равных частей.
VII. Математический диктант с самопроверкой.
Теорема, обратная теореме Пифагора звучит следующим образом:
Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Ответ: да
Найти гипотенузу, если катеты равны 9см и 12 см.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла называется …
Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 4 см, 5 см, 6 см?
Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 3/4 см, 5/4 см, 7/4 см?
Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 10 см, 24 см, 26 см?
Какое утверждение Вы использовали при ответе на последние три вопроса?
Ответ: теорема, обратная теореме Пифагора.
После проведения диктанта учащиеся по одному читают верные ответы, а все остальные проверяют свои работы.
V. Итог урока.
Домашнее задание: 498(д, е), 499(а), доказательство теоремы.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-476850
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр
Время чтения: 1 минута
Службы примирения появятся в каждой школе Москвы до конца учебного года
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения РФ опубликовало методические рекомендации по проведению инклюзивных смен для детей с ОВЗ
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В Псковской области ввели обязательную вакцинацию для студентов
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Прямая
Прямая − одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии.
Прямая не может быть определена в терминах ранее определенных объектов.
Прамая бесконечна, она не имеет ни начала ни конца.
Обозначение прямой
Прямая обычно обозначается маленькой латинской буквой. Прямую можно обозначить также через две разные точки на этой прямой (Рис.1):
 |
Свойства прямой в эвклидовом пространстве
1. Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
 |
2. Через любые несовпадающие точки можно провести только одну прямую.
 |
3. Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны.
 |
4. Из трех разных точек, лежащих на данной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.
 |
На Рис.2 точка B лежит между точками A и C.
Можно сказать также:
5. Есть точки, лежащие на прямой и не лежащие на ней.
 |
На Рис.3 точки A и B лежат на прямой a, а точка C не лежит на прямой a. Можно сказать также, что точки A и B принадлежат прямой a, а точка C не принадлежит прямой a. Или же прямая a проходит через точки A и B и не проходит через точку C.
Для записи принадлежности точки к прямой используют символ ∈. Запись \( \small A∈ a\) обозначает, что точка A принадлежит прямой a. Чтобы указать, что точка не принадлежит к прямой используют символ \( \small ∉. \) Запись \( \small C∉ a\) обозначает, что точка C не принадлежит прямой a.
6. В трехмерном пространстве прямые или пересекаются, или параллельные, или скрещиваются.
7. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на этой плоскости.