Что такое проверка уравнения

Решение простых линейных уравнений

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Пример 5. Решить: Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Источник

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Далее делим все уравнение на 3.

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Источник

Математика. 4 класс

Конспект урока

Математика, 4 класс

Урок 21. Решение уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

Корень уравнения – это значение неизвестного, обозначенного латинской буквой в уравнении.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Обязательная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И. Учебник для 4 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017.С. 62,63

2. Волкова Е. В. математика Всероссийская проверочная работа за курс начальной школы. Издательство «Экзамен» 2018.С.27

3. Петерсон Л. Г. математика 3 класс. Часть 2. Ювента, 2015.-96с.: ил. С.77-78

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Являются ли эти записи уравнениями?

Это не уравнения, так как в уравнении должен быть знак «=». Это выражения.

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Рассмотрите другие записи:

Это уравнения, так как это равенства, содержащие переменную.

Попробуем их решить.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

Вспомните алгоритм решения уравнений.

Используя алгоритм, решите первое уравнение

Значение неизвестного х = 25. Это корень уравнения.

Корень уравнения – это значение неизвестного, обозначенного латинской буквой в уравнении. В данном случае – это х.

Можно ли решить второе уравнение, используя этот же алгоритм?

Такие уравнения не рассматривались. Какова же цель нашего урока?

Цель урока: научиться решать уравнения, в которых в ответе не число, а числовое выражение.

Такие уравнения мы будем называть составные. Поэтому тема урока: «Решение составных уравнений»

Чтобы решить это уравнение, нужно упростить правую часть.

Ответ: корень уравнения 25

Составим алгоритм решения составных уравнений.

Алгоритм решения составных уравнений

1. Найти значение числового выражения.

2. Вспомнить компоненты действия данного уравнения.

3. Определить неизвестный компонент.

4. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.

5. Применить правило и найти неизвестный компонент.

7. Сделать проверку.

Решим еще одно уравнение:

Применяем алгоритм решения составных уравнений:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

3. Определить неизвестный компонент.

4. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

5. Применить правило и найти неизвестный компонент.

7. Сделать проверку.

Ответ: корень уравнения 12

Вывод: чтобы решить составное уравнение, в которых в ответе не число, а числовое выражение, необходимо упростить правую часть ( т.е решить выражение), после чего получаем уравнение известного вам вида и решаем его, используя алгоритм решения уравнений.

Решим задачу, составив уравнение:

Сумма неизвестного числа и числа 390 равна произведению чисел 70 и 6. Найди это число.

1. Сумма неизвестного числа и числа 390 – обозначим неизвестное число переменной х, тогда получим х + 390

2. Произведение чисел 70 и 6: 70 ∙ 6

3. Получаем уравнение: х + 390 = 70 ∙ 6

Применяя алгоритм решения составных уравнений, решим его:

Источник

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернем получившееся равенство Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияв первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 4. Рассмотрим равенство Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияпозволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения.

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнениятребовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнениявместо числа 15 располагается переменная x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Мы получили новое уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Равносильные уравнения

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения.

Вернемся к исходному уравнению Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x найденное значение 2

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 3. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки в левой части равенства:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x найденное значение 4,5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнениямы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Корень этого уравнения, как и уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнениятак же равен 4,5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения.

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В результате останется простейшее уравнение

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x найденное значение 4

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Корень этого уравнения, как и уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияравен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения, мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияна множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 2. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Умнóжим обе части уравнения на 15

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x найденное значение 5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 3. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Умнóжим обе части уравнения на 3

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Останется простейшее уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x найденное значение 9

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Умнóжим обе части уравнения на 6

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи подставим вместо x найденное значение 4

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Умнóжим обе части уравнения на 15

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки там, где это можно:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Это есть произведение минус единицы и переменной x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияна минус единицу:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения, а правая часть будет равна 10

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Корень этого уравнения, как и уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияравен 5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Значит уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияравносильны.

Пример 2. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияна −1 можно записать подробно следующим образом:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнениямы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Но если в уравнении Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияобе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Уравнения вида Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнениямы решали выражая неизвестное слагаемое:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияслагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Далее разделить обе части на 2

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения.

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В случае с уравнениями вида Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияудобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Пример 2. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияи убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 2. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пусть Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 2. Решить уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Раскроем скобки в левой части равенства:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Приведем подобные слагаемые:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Умнóжим обе части уравнения Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияна t

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Умнóжим обе части уравнения на t

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравненияпримет следующий вид

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Затем разделить обе части на 50

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 2. Дано буквенное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Разделим обе части уравнения на b

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Пример 3. Дано буквенное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части вынесем за скобки множитель x

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Разделим обе части на выражение a − b

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Пример 4. Дано буквенное уравнение Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения. Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Умнóжим обе части на a

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В левой части x вынесем за скобки

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Что такое проверка уравнения. Смотреть фото Что такое проверка уравнения. Смотреть картинку Что такое проверка уравнения. Картинка про Что такое проверка уравнения. Фото Что такое проверка уравнения

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *