что такое простые и составные числа объяснение
Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Простые и составные числа
Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
В) больше двух делителей
Решение:
Число 1 имеет один делитель: 1
Число 7 имеет два делителя: 1, 7
Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Число 13 имеет два делителя: 1, 13
Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ответ:
А) один делитель- 1
Б) два делителя- 7, 13
В) больше двух делителей- 10, 12, 24
Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
Найдите все делители для составных чисел.
Решение:
Простые: 2, 17, 127
Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.
Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.
Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.
Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.
После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!
Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.
Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?
Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.
Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.
Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.
На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.
На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Математика. 5 класс
Конспект урока
Простые и составные числа
Перечень рассматриваемых вопросов:
— простые и составные числа;
Простым числом называют такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа больше единицы
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Посмотрите, на какие числа можно разделить 2 и 10.
Число 2 делится на 1 и 2.
Число 10 делится на 1, 2, 5 и 10.
По тому, на какие числа делятся натуральные числа, их можно классифицировать на простые и составные. Сегодня мы выясним, какими способами можно определить, является данное число простым или составным. Начнём с определения простых и составных чисел.
Простым числом называют такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Например, это числа 2, 3, 5 и т. д.
Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1, Например, числа 4 и 15.
4 делится на 1, 2, 4.
15 делится на 1, 3, 5 и 15.
Важно знать, что 1 – это не простое и не составное число.
Простых и составных чисел очень много. Множество натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.
В ряду простых чисел существует самое первое число – это 2, но самого последнего нет.
Самое первое натуральное составное число – это 4, а самого последнего нет.
Так как простых чисел много, то для удобства составляют таблицу простых чисел. В качестве примера приведём её часть, где представлены все простые числа от 2 до 503.
Ответим с помощью неё на следующий вопрос.
Простым или составным является число 159?
Посмотрим в таблицу простых чисел, этого числа там нет, следовательно, 159 – составное число.
Выполним ещё одно задание.
Разложим составное число 234 на простые множители. Для этого воспользуемся признаками делимости на 2, 3.
39: 3 = 13 – простое число.
Следовательно, число 234 можно разложить на простые множители следующим образом:
Простые числа учёные пытались найти ещё в Древней Греции. Так, во II веке до н.э. Эратосфен составил алгоритм нахождения простых чисел до некоторого целого числа. Этот алгоритм назвали «решето Эратосфена». Суть заключается в том, что путём отсеивания составных чисел определяются простые. Опишем этот алгоритм нахождения простых чисел от 1 до 100.
Для начала запишем все числа от 1 до 100.
1 вычеркнем, т. к. это число не простое и не составное. Выделим 2 – это первое простое число – и далее вычеркнем все кратные ему числа до ста (4, 6, 8 и т. д., то есть каждое второе число). Далее отметим следующее простое число – это 3. Вычеркнем все кратные ему числа до ста (6, 9, 12 и т. д., то есть каждое третье число).
Повторяем все шаги пока возможно с остальными простыми числами. В результате получается искомая таблица простых чисел.
№ 1. Какую из цифр 2,3,1 нужно подставить в число 2_ вместо пропуска, чтобы получить простое число?
Решение. Для решения этой задачи достаточно посмотреть на таблицу простых чисел, из приведённых цифр подходит только 3, т.е. искомое простое число – 23.
№ 2. Подчеркните то число, которое делится одновременно на простые числа 5 и 7.
Варианты ответа: 35; 50; 21.
Решение. Найдём делители каждого из чисел:
К данному условию подходит только число 35, т.к. только оно имеет делитель и 5, и 7 одновременно.
Простые и составные числа.
Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.
Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.
У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.
Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.
Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.
Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.
105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.
Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.
Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.
При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:
1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;
2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;
3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;
4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;
5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;
6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.
Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….
Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.
Простые и составные числа: определения и примеры
Простые и составные числа: Freepick
Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.
Простые числа и их особенности
Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.
Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:
Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.
Числа в математике: Freepick
Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:
Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.
Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?
Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:
На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).
Что такое составные числа
Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.
Рассмотрим это на примере:
Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.
Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.
Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.
Математические расчеты: Freepick
Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.
Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.
Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.
Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.
Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Ответ: 11723 является составным числом.