что такое промежутки монотонности функции

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Возрастание и убывание функций

Посмотрим на график произвольной функции:

Видно, что область определения ф-ции – это промежуток [– 6; 4].

На графике сначала ф-ция как бы «поднимается». При увеличении х растет значение у. Так происходит до точки (1; 5). После этого ситуация меняется, при увеличении аргумента значение ф-ции начинает падать. В математике принято говорить, что ф-ция возрастает на промежутке [– 6; 1] и функция убывает на промежутке [1; 4]. Можно сказать и иначе – ф-ция у является возрастающей функцией на множестве [– 6; 1] и убывающей функцией на множестве [1; 4].

Рассмотрим это определение возрастающей функции подробнее. Построим произвольную возрастающую ф-цию и выберем на ней две точки со значениями аргумента х1 и х2. Также отметим значения ф-ции в этих точках, у(х1) и у(х2):

По определению, если х1 меньше х2, то и у(х1) »и « у(х1). По определению получаем, что у = 2х – 3 – возрастающая ф-ция.

Промежутки монотонности основных функций

Мы ранее уже изучили несколько видов ф-ций. Посмотрим, какие у них промежутки монотонности.

Поведение линейной ф-ции у = kх + b зависит исключительно от значение коэффициента k. Если он больше нуля, то функция возрастает на промежутке (– ∞; + ∞), то есть на всей числовой прямой. Если же k n зависит от показателя n. Если он нечетный, то получается ф-ция, возрастающая на всей числовой прямой:

Если же число n четное, то степенная ф-ция будет убывать на промежутке (– ∞:0] и возрастать на промежутке [0; + ∞):

Пример. Найдите значения параметра a, при котором ф-ция

у = (5а – 2)х +16

является возрастающей.

Решение. Данная ф-ция является линейной ф-цией вида у = kx + b, где в роли коэффициента k выступает выражение (5а – 2). Ф-ция будет возрастать, если этот коэффициент будет больше нуля, то есть

Получаем, что ф-ция будет возрастающей при значениях а, больших 0,4, или, другими словами, при а∊(4; + ∞).

Свойства монотонных функций

Монотонные функции имеют ряд примечательных свойств, которые могут помогать при решении задач. Вспомним, что некоторые ф-ции могут при различных значениях аргументов принимать одинаковое значение. Например, таковой является степенная ф-ция у = х 2 :

С точки зрения графиков это означает, что горизонтальная линия может пересекать график ф-ции в нескольких точках:

С другой стороны, это значит, что уравнение х 2 = 4 имеет два корня, 2 и ( – 2).

Если же ф-ция строго монотонна, то такая ситуация невозможна. Любое ее значение может быть получено только при одном значении аргумента.

Действительно, если ф-ция монотонна, то любая горизонтальная прямая сможет пересечь ее график не более чем в одной точке:

Это также означает, что, если у(х) – строго монотонная ф-ция, а b– произвольное число, то уравнение у(х) = b имеет не более одного корня. Так, у уравнения х 3 = 8 есть только один корень (он равен 2), потому что х 3 – монотонная ф-ция.

Рассмотрим следующее свойство монотонных функций.

Действительно, ранее мы уже изучали сжатие и растягивание графиков. умножение ф-ции на постоянное число как раз и ведет к подобным преобразованиям. Ясно, что при этом не происходит изменение монотонности ф-ций:

Например, парабола у = х 2 возрастает на промежутке [0; + ∞), значит, и ф-ция у = 3х 2 также возрастает на этом же промежутке:

Проще говоря, при умножении ф-ции на положительное число ее промежутки монотонности не изменяются.

А что же произойдет при умножении ф-ции на отрицательное число. Она не только сожмется или растянется, но ещё и отобразится симметрично относительно оси Ох. В результате промежутки возрастания ф-ции превратятся в промежутки убывания, и наоборот.

Проиллюстрируем это на примере ф-ций у = х 2 и у = – х 2 :

Видно, что на промежутке (– ∞; 0] ф-ция у = – х 2 возрастает, в то время как обычная парабола убывает. На промежутке [0; + ∞)ситуация противоположная.

Если две ф-ции одновременно возрастают на одном промежутке, то и их сумма также будет возрастать на этом промежутке.

Например, ф-ции у = х 5 и у = 4х возрастают на всей числовой прямой. Следовательно, возрастающей является и ф-ция у = х 5 + 4х.

Пример. Решите уравнение

х 7 + 2х – 3 = 0

Решение. Можно заметить, что число 1 является корнем этого уравнения. Действительно, подставим единицу в уравнение и получим верное равенство:

Докажем, что других корней уравнение не имеет. В его левой части стоит сумма двух возрастающих ф-ций, у = х 7 и у = 2х – 3. Следовательно, и ф-ция у = х 7 + 2х – 3 также является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что исследуемое уравнение имеет не более 1 корня, то есть корень х = 1 – единственный.

Пример. Докажите, что у уравнения

не более одного корня.

Выражение в левой части имеет смысл только при положительных х. Ведь если х 2 :

В общем случае эту особенность можно доказать так:

у(– х) = (– х) 2 = х 2 = у(х)

В математике есть специальный термин для обозначения ф-ций, обладающих таким свойством. Их называют четным функциями.

Определение четной функции можно записать и так, чтобы в нем фигурировали формулы:

Для проверки того, является ли функция четной, достаточно подставить в нее вместо аргумента х величину (– х).

Пример. Докажите, что ф-ция у = х 4 + 3х 2 является четной.

Решение. Подставим в ф-цию значение (– х):

у(– х) = (– х) 4 + 3(– х) 2 = х 4 + 3х 2

Получили исходную ф-цию у(х). Значит, исследуемая функция является четной.

Пример. Четна ли ф-ция

Решение снова подставим в ф-цию значение (– х):

Получили изначальную ф-цию. Следовательно, она – четная.

Почему же четные ф-ции симметричны относительно оси Оу? Из определения следует, что если графику четной ф-ции принадлежит точка (х00), то ему же принадлежит точка (– х00). Посмотрим, как они располагаются на координатной плоскости:

Они симметричны относительно оси Оу. Если же для каждой точки графика есть симметричная точка, также ему принадлежащая, то и в целом график симметричен относительно вертикальной оси.

Такая симметрия (относительно точки), называется центральной. Геометрически она означает, каждой точке графика в I четверти с двумя положительными координатами соответствует точка графика в III четверти с такими же координатами, но взятыми со знаком «минус»:

Существует множество ф-ций, обладающих подобной симметрией. В математике их все называют нечетными функциями. У них противоположным значениям аргументов соответствуют противоположные значения ф-ции, а график нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Чаще используется определение, содержащее формулу:

Покажем это свойство у ф-ции у = х 3 :

Для того, чтобы доказать нечетность ф-ции, надо поставить в нее (– х) вместо х. Если получилась исходная ф-ция с противоположным знаком, то это значит, что ф-ция нечетная.

Пример. Докажите, что ф-ция у = х 5 + х – нечетная.

Решение: Подставим (– х):

у(– х) = (– х) 5 + (– х) = –х 5 – х = – (х 5 + х) = – у(х)

Получили исходную ф-цию, но со знаком «минус», поэтому ф-ция является нечетной.

Пример. Докажите нечетность ф-ции у = 5/х + 4х.

Решение. Подставляем в ф-цию (– х):

у = 5/(– х) + 4(– х) = – 5/х – 4х = – (5/х + 4х) = – у(х)

Снова получили исходную ф-цию со знаком минус, следовательно, мы исследовали нечетную ф-цию.

Известно, что любое целое число либо четное, либо нечетное. Однако с ф-циями всё по-другому. Существует множество ф-ций, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Чтобы доказать, что ф-ция не является ни четной, ни нечетной, достаточно продемонстрировать, что хотя бы для одного значения х не выполняются условия у(– х) = у(х) и у(– х) = – у(х).

Пример. Докажите, что у = х 3 + х 2 – ни четная, ни нечетная ф-ция.

Решение. Определим значение ф-ции при, например, х = 1 и х = –1

у(– 1) = (– 1) 3 + (– 1) 2 = 0

Получили, что при противоположных х значения у не являются ни одинаковыми, ни противоположными. Значит, рассматриваемая ф-ция не подходит под приведенные определения четности и нечетности.

Свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим важные свойства, помогающие быстро определять четность и нечетность ф-ций.

Так, ф-ции у = х 3 и у = 1/х – нечетны. Значит, нечетна и их сумма у = х 3 + 1/х.

Другими словами, ф-цию можно «перевернуть», и она всё равно сохранит свою четность. Так, ф-ция 5х 4 + х 2 четная, поэтому и ф-ция

останется такой же.

Вообще рассматриваемое свойство ф-ции часто называют ее четностью. Так, про две рассматриваемые ф-ции у = х 3 и у = х 9 можно сказать, что они обладают одинаковой четностью (обе нечетные), а у = х 5 и у = х 7 обладают различной четностью (одна из них четная, а другая нечетная).

Например, ф-ции у = 5х 3 + 6х и у = 9х 5 имеют одинаковую четность (обе нечетные), а потому их произведение у = 9х 5 (5х 3 + 6х) является четным. С другой стороны, у = х 5 и у = х 8 + у 6 имеют различную четность, следовательно, их произведение у = х 5 (х 8 + у 6 ) нечетное.

Докажем справедливость этого правила. Пусть есть две ф-ции, у = у(х) и g = g(х), которые обладают какой-нибудь четностью. Определим четность их произведения у(х)•g(х). Для этого рассмотрим 3 различных случая:

Пример. Определите четность ф-ции у = (8х 4 + 3х 2 )(7х 5 + 2х)

Решение. Ф-ция из условия представляет собой произведение двух других ф-ций: у = 8х 4 + 3х 2 и у = 7х 5 + 2х. Первая из них является суммой двух четных и поэтому сама четная. Вторая ф-ция, наоборот, нечетная. Следовательно, их произведение – это тоже нечетная ф-ция.

Ответ: Нечетная ф-ция.

Пример. Определите четность ф-ции у = (х 6 + х 2 )(х 10 + х 8 )

Решение. Так как ф-ции у = х 6 + х 2 и у = х 10 + х 8 имеют одинаковую четность (обе четные), то их произведение является четным.

Для изучения следующего свойства ф-ций необходимо сначала рассмотреть понятие сложной ф-ции. Так называют ф-цию, которую получают подстановкой одной «простой» ф-ции в другую.Например, пусть есть ф-ции g = х 2 и у = х 3 + 2х. Подставив вторую в первую, получим

Ещё пример сложной ф-ции:

у = 2(9х 2 + 4х + 1) 3 + 3(9х 2 + 4х + 1)

Она получена путем подстановки выражения 9х 2 + 4х + 1 в ф-цию у = х 3 + 3х. В общем случае, если в ф-цию у = f (x) подставляют g(x), то используют запись у = f (g(x)). Иногда вместо термина «сложная функция» используют аналогичное понятие «композиция функций».

Итак, сформулируем ещё одно свойство четных функций:

которая будет четной. При этом природа ф-ции у = 5х + 7 + 1/х не играет никакой роли. Мы могли бы взять любую другую ф-цию, например, у = 958,235х 3 – 12,25х 2 + 19х + 2/3, и подставив в нее х 2 вместо х, получить ф-цию

у = 958,235(х 2 ) 3 – 12,25(х 2 ) 2 + 19х 2 + 2/3

которая будет четной.

Ограниченные и неограниченные функции

В математике говорят, что ф-ция у = х 2 ограничена снизу. То есть для любого допустимого х выполняется неравенство у(х) ⩾ а, где а – это какое-то произвольное число. И действительно, неравенство х 2 ⩾ 0 выполняется при всех значениях х. Также выполняются неравенства

Дадим определение функции, ограниченной снизу

Очевидно, что если неравенство у(х) ⩾ а выполняется хотя бы для одного числа а, то оно выполняется и для всех а, которые ещё меньше. Так, из справедливости неравенства х 2 ⩾ 0 автоматически следует справедливость неравенства х 2 ⩾ – 1,5, так как

Аналогично в математике существует понятие функции, ограниченной сверху.

В качестве примера ограниченной сверху ф-ции можно привести у = 4 – х 2 :

Ясно, что неравенство 4 – х 2 ⩽ 4 выполняется при всех х, то есть ни одна точка графика не лежит выше прямой у = 4.

Иногда бывает так, что функция ограничена одновременно и снизу, и сверху. Их называют ограниченными функциями.

Ф-ция, не попадающее под это определение, называется неограниченной функцией. В качестве примера неограниченной функции можно привести линейную ф-цию у = х + 1.

График ограниченной ф-ции находится в своеобразной «полосе» из горизонтальных линий, которые ограничивают его сверху и снизу. Примером ограниченной ф-ции является

С одной стороны, у этой дроби и числитель, и знаменатель – положительное число, поэтому она ограничена снизу прямой у = 0. С другой стороны, дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель (если они оба положительны). Минимальное значение выражения х 2 + 1 – это единица (при х = 0), а поэтому максимальное значение дроби равно 4/1 = 4. Поэтому график ограничен сверху прямой у = 4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Выделим в ф-ции целую часть:

Так как величина 5х 2 + 5 всегда положительна, то и дробь

а значит, и вообще вся ф-ция положительна, то есть ограничена снизу прямой у = 0

С другой стороны, дробь будет принимать максимальное значение при минимальном значении знаменателя, которое равно 5 (при х = 0) При х = 0 имеем

Получается, что ф-ция ограничена сверху прямой у = 1,4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Величина х 2 всегда положительна, то есть х 2 ⩾ 0. Преобразуем это неравенство, умножив его на (– 1) и добавив к нему 16:

Получили, что подкоренное выражение не превосходит 16, а значит, и корень из него не больше, чем

То есть график будет ограничен прямой у = 4 сверху. С другой стороны, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, а потому его график ограничен снизу прямой у = 0. Для наглядности покажем график исследуемой ф-ции:

Квадратичная функция

В качестве ф-ции можно использовать квадратный трехчлен, например:

у = – 1,5х 2 + 19х + 0,5

у = 0,005х 2 + 654,25х – 124

Все эти ф-ции заданы с помощью выражения, представляющего собой квадратный трехчлен, поэтому в математике их называют квадратичными функциями.

Если коэффициент перед х 2 окажется равным нулю, то ф-ция превратится из квадратичной в линейную:

0х 2 + bx + c = bx + c

Попытаемся понять, как выглядит график квадратичной функции. Для этого начнем рассматривать частные случаи и использовать правило растяжения и сжатия, а также параллельного переноса графиков ф-ций.

Если в выражение для квадратичной ф-ции подставить значения

то получится уже известная нам степенная ф-ция у = х 2 :

Её графиком является парабола.

График ф-ции у = ах 2 – это тоже парабола (где а – некоторое число), которая однако, получена из «обычной» параболы у = х 2 путем сжатия или растяжения графика. Если коэффициент а является отрицательным, то парабола «перевернется» то есть отобразится симметрично относительно оси Ох. Покажем примеры нескольких графиков у = ах 2 :

Напомним, что при добавлении к ф-ции какого-нибудь постоянного числа n ее график переносится на n единиц вверх. Зная это можно легко получить график ф-ции у = ах 2 + с из графика у = ах 2 :

Таким образом, графиком ф-ции у = ах 2 + с является парабола, чья вершина поднята на с единиц вверх.

Как изменится график квадратичной ф-ции у = ах 2 + с, если в вместо х возводить в квадрат выражение (х +m), где m – произвольное число? В этом случае ф-ция примет вид у = а(х +m) 2 + с. Вершина параболы должна будет сместиться на m единиц влево:

Теперь докажем, что любая квадратичная ф-ция может быть представлена как в виде у = а(х + m) + n, где m и n – некоторые числа (в том числе и отрицательные). Похожие преобразования мы производили, когда учились решать квадратные уравнения. Запишем саму квадратичную ф-цию:

Вынесем множитель а за скобки:

Далее попытаемся преобразовать трехчлен в скобках, используя формулу квадрата суммы. Для этого добавим к нему и сразу же вычтем величину (b/2a) 2 :

Теперь раскроем внешние скобки:

Теперь произведем две замены:

Используя их, можно записать:

Получили, что любую квадратичную ф-цию можно свести к виду у = а(х + m) 2 + n. Что это значит и для чего мы это доказывали? Из этого факта следует, что график любой квадратичной ф-ции может быть получен из обычной параболы у = х 2 за счет трех действий.

Итак, как будет выглядеть график квадратичной ф-ции? В общем случае он является параболой, центр которой располагается не в точке (0;0), а в некоторой другой точке (х0; у0):

Если мы вернемся к доказательству того, что любую квадратичную ф-цию можно представить в виде у = а(х + m) 2 + n, то увидим, что число m рассчитывается по формуле

Так как график из-за этого числа m перемещается влево, а не вправо, то координата вершины х0 рассчитывается по формуле:

Нет смысла составлять такую же формулу для определения координаты вершины у0, ведь можно подставить х0 в сам ф-цию и так узнать вторую координату вершины.

Пример. Определите вершину параболы, задаваемой ф-цией

у = 2х 2 + 8х + 5

Решение. Выпишем коэффициенты а, b и c квадратичной ф-ции:

Зная их, легко рассчитаем координату х вершины параболы:

Теперь подставим это число в исходную ф-цию и определим координату у вершины параболы:

у0 = у(х0) = 2(– 2) 2 + 8(– 2) + 5 = 8 – 16 + 5 = – 3

Напомним, что нули ф-ции – это те точки, в которых ее график пересекает ось Ох. Для их поиска необходимо приравнять ф-цию к нулю и решить уравнение. В случае с квадратичной ф-цией мы получим квадратной уравнение.

Пример. Постройте график ф-ции у = х 2 – 4х + 3, отметьте на нем вершину параболы и нули ф-ции.

Решение. Приравняем ф-цию к нулю:

Решим это уравнение

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•1•3 = 16 – 12 = 4

Итак, нашли нули ф-ции: 1 и 3. Теперь найдем вершину параболы:

у0 = у(х0) = 2 2 – 4•2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1

Вершина находится в точке (2; – 1). Теперь отметим ее, а также нули ф-ции на графике, и соединим их линией, похожей на параболу:

При необходимости для точности построения всегда можно вычислить значение ф-ции в нескольких дополнительных точках и провести параболу через них. Здесь мы этого делать не будем

Ответ: вершина параболы – точка (2; – 1), нули ф-ции х1 = 1 и х2 = 3

Обратите внимание, что в рассмотренном примере вершина параболы оказалась ниже нулей, поэтому ее ветви смотрят вверх. Вообще, если коэффициент а > 0, то ветви смотрят вверх, а если а 2 – 4х + 6

у = – 3х 2 + 6х – 4

Решение. Начнем с первой ф-ции. Сначала найдем ее нули:

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•(– 2)•6 = 16+48 = 64

Найдем вершину. Сначала используем обычную формулу:

Далее просто проверим себя, найдя среднее арифметическое нулей ф-ции:

Как и ожидалось, получились одинаковые результаты! Вычислим теперь у0:

у0 = у(х0) = – 2(– 1) 2 – 4(– 1) + 6 = – 2 + 4 + 6 = 8

Итак, вершина первой ф-ции – это точка (– 1; 8).

Перейдем ко второй ф-ции. Попробуем найти ее нули:

D = b 2 – 4ас = 6 2 – 4•(– 3)•(– 4) = 36–48 = – 16

Дискриминант отрицательный, значит, корней у уравнения нет. Не будет и нулей и ф-ции. Найдем вершину параболы

Найдем координату у0 вершины:

у0 = у(х0) = – 3•1 2 + 6•1 – 4 = – 3 + 6 – 4 = – 1

Отметим, что у обоих графиков коэффициент а отрицательный, а потому их ветви будут смотреть вниз. Построим их графики:

Иногда приходится решать обратную задачу – по графику квадратичной ф-ции находить выражение, задающее эту ф-цию. Для ее решения необходимо подставлять в общий вид квадратичной ф-ции

значения квадратичной функции, взятые из графика (то есть координаты точек параболы) и получать уравнения, из которых можно найти величины a, b и c.

Пример. Запишите выражение для квадратичной ф-ции, имеющей следующий график:

Решение. Заметим, что графику параболы принадлежит точка с координатами (0; 3). Подставим эти числа, х = 0 и у = 3, в квадратичную ф-цию:

Итак, мы нашли, что коэффициент с = 3. Осталось найти а и b. Возьмем ещё одну точку, скажем, (1; 0), и подставим ее координаты (вообще в большинстве случаев удобно брать точки, одна из координат которой равна 0 или, на худой конец, единице):

Возьмем точку с координатами (– 3; 0):

Получили два уравнения с двумя неизвестными: a + b = – 3 и 9а – 3b = – 3. Решим систему, составленную из них:

Подставим первое уравнение во второе и получим:

Нашли а. Теперь подставим его в уравнение для b:

b = – 3 – а = – 3 – (– 1) = – 2

Получили b = – 2. Мы нашли все коэффициенты, а потому можем записать ф-цию в аналитическом виде:

Источник

Возрастание, убывание и экстремумы функции

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, справедливо неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциирастёт на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, справедливо неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииубывает на интервалах что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциив первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииво 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии её стандартная что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции— окрестность:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Собственно, определения:

Точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывается точкой строгого максимума, если существует её что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции-окрестность, для всех значений что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциикоторой за исключением самой точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивыполнено неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. В нашем конкретном примере это точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывается точкой строгого минимума, если существует её что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции-окрестность, для всех значений что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциикоторой за исключением самой точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивыполнено неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывают точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывается точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииданной окрестности выполнено неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
Точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывается точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииданной окрестности выполнено неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииили «принцессой болота» что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциив точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Да, кстати, о королевских особах:
– значение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывают максимумом функции;
– значение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииназывают минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциимаксимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииминимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Тогда:

– если производная что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциина интервале, то функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивозрастает на данном интервале;

– если производная что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциина интервале, то функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииубывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипринадлежит области определения функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциилибо значения что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциине существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциинеотрицательна:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциидля любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциискорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииобитает на промежутке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, а её производная неравенством что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииоднозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииВ критической точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциине является точкой минимума функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииидёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциидля любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивообще не считается критической, так как функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциибанально в ней не определена.

Экспоненциальная функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциирастёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции). Исследуя же производную что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, легко сделать вывод, что функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциинаоборот – убывает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Что делает натуральный логарифм что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциисегодня вечером?
Растёт:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциина интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии её производной что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Там, где график косинуса находится над осью что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, синус растёт. Обратно – где график что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциирасположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции), синусоида что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциидостигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии его производной что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциинесёт бодрую весть о том, что функция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивозрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциирастёт – производная здесь положительна: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
При что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииопределена, но не дифференцируема. Однако в критической точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциисуществует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииесть экстремум, то что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциилибо значения что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциине существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии её критическая точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции:

что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Получилось обычное квадратное уравнение:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Примечание: корни можно традиционно обозначить через что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Тогда:

если при переходе через точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипроизводная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

если при переходе через точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипроизводная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииразвернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивсё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
I) Берём какую-нибудь точку интервала что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, значит, производная отрицательна на всём интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

II) Выбираем точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, принадлежащую интервалу что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, и проводим аналогичное действие:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, следовательно, что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциина всём интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипоследнего интервала:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, поэтому что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциив любой точке интервала что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

В результате получены следующие знаки производной:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Время собирать урожай!

На интервалах что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипроизводная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциина данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, значит, функция возрастает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипроизводная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

При переходе же через точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипроизводная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Ответ: функции возрастает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии убывает на интервалах что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, а в точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– максимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Остерегайтесь сокращенной записи что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Под значками что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииобычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии критические точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(парабола ниже оси) и что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции…Итак, решение нашего уравнения: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Решим уравнение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Таким образом, получаем три критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, принадлежащую интервалу что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, и выполним подстановку: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, а значит, производная отрицательна и на всём интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии знаменатель что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциистрого положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциивозрастает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии убывает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает максимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипроизводная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциине считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии убывает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииВ точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциидостигается максимум функции: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, а в точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– минимум: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииесть две вертикальные асимптоты что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии наклонная асимптота что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Вот наш герой:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииэкстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииопределена на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии крайние точки области определения:что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Более того, точка что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции(не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Функция убывает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии возрастает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииосталось не при делах, так как на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциипопросту нет графика функции что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

Ответ: функция убывает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии возрастает начто такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– критические точки. Почему значения что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Функция возрастает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии убывает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает максимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциинет экстремума.

Ответ: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– точка минимума, что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– классическое остриё, направленное вниз, при что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– «нормальный» максимум. В точках что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. Я проводил статистическое исследование.

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Ответ: функция убывает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии возрастает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
2) Найдём критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции, что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииэкстремум отсутствует.

Ответ: в точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.

2) Найдём критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– критическая точка.
3) Определим знаки производной:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Ответ: функция возрастает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии убывает на что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции. В точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииона достигает максимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Пример 7: Решение:

Область определения: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции.
Найдём критические точки:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции– критическая точка.
Определим знаки производной:
что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции
Ответ: функция убывает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциии возрастает на интервале что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функцииВ точке что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функциифункция достигает минимума: что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

что такое промежутки монотонности функции. Смотреть фото что такое промежутки монотонности функции. Смотреть картинку что такое промежутки монотонности функции. Картинка про что такое промежутки монотонности функции. Фото что такое промежутки монотонности функции Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *