что такое произвольный треугольник

Треугольник

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков (в общем случае, разных). В физике эти отрезки классически называются буквами латинского алфавита ( и т.д.), в отличие от обозначений в геометрии.

В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.

В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.

В случае, если у треугольника один и углов прямой ( ), он называется прямоугольным.

Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано.

Источник

Что такое произвольный треугольник

Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
\(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\)

Неравенство треугольника
\(a + b > c\)
\(b + c > a\)
\(a + c > b\)

Радиус описанной окружности
\(R = \large\frac<<\sin \alpha >>\normalsize = \large\frac<<\sin \beta >>\normalsize = \large\frac<<\sin \gamma >>\normalsize = \large\frac<><<2>>\normalsize = \large\frac<><<2>>\normalsize = \large\frac<><<2>>\normalsize = \large\frac<><<4S>>\normalsize\)

Нахождение высот треугольника по известной стороне и углу
\( = b\sin \gamma = c\sin \beta \)
\( = a\sin \gamma = c\sin \alpha \)
\( = a\sin \beta = b\sin \alpha \)

Расстояния от вершин до центра пересечения медиан
\(AM = \large\frac<2><3>\normalsize\), \(BM = \large\frac<2><3>\normalsize\), \(CM = \large\frac<2><3>\normalsize\)

Площадь треугольника
\(S = \large\frac<>><2>\normalsize = \large\frac<>><2>\normalsize = \large\frac<>><2>\normalsize\)
\(S = \large\frac<><2>\normalsize = \large\frac<><2>\normalsize = \large\frac<><2>\normalsize\)
\(S = pr\)
\(S = \large\frac<><<4R>>\normalsize\)
\(S = 2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
\(S =\tan\large\frac<\alpha ><2>\normalsize \tan\large\frac<\beta ><2>\normalsize \tan\large\frac<\gamma ><2>\normalsize\)

Источник

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

, где – полупериметр

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства:

Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:

Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Основные факты о треугольниках

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) включительно.

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Доказательство

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Доказательство

Определения

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.

Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.

По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Источник