что такое проекция катета
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Запомнить соотношения, связывающие пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, помогает цветовая ассоциация.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.
Свойства прямоугольного треугольника:
1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Например, в треугольнике ABC AF — высота, проведенная к гипотенузе BC, BF — проекция катета AB на гипотенузу, FC — проекция катета AC на гипотенузу.
Если выделить каждую пару — катет и его проекция на гипотенузу — одним цветом, запомнить пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно быстро и легко.
Как бы ни был расположен на чертеже прямоугольный треугольник, цветовая ассоциация поможет найти пропорциональные отрезки и правильно составить связывающие их соотношения:
Выделить пропорциональные отрезки цветами можно на черновике. При решении задачи, в которой прямоугольный треугольник — только один из элементов чертежа, достаточно для нахождения связи между пропорциональными отрезками на черновике изобразить отдельный фрагмент с этим треугольником.
Прямоугольные треугольники
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Подставим найденное значение в формулу косинуса
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Проекция геометрических фигур
15 Dec 2020 в 16:17
15 Dec 2020 в 16:17 #1
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Когда мы проецируем фигуру на плоскость, то мы из каждой точки исходной фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость. И в итоге получается новая фигура, которая состоит из того же кол-ва точек, что и исходная. Тогда будет ли равна площадь исходной фигуры площади полученной фигуры в результате проецирования?
P.S. Я могу загуглить формулу площади проекции плоской фигуры.
15 Dec 2020 в 16:21 #2
проекция гипотенузы на катет = катет, но не наоборот, чуть чуть подумай головкой, либо можешь в лс написать я тебе поподробнее расскажу
площадь полученной фигуры не всегда будет равна площади изначальной, это жалкий частный случай
15 Dec 2020 в 16:31 #3
проекция гипотенузы на катет = катет, но не наоборот, чуть чуть подумай головкой, либо можешь в лс написать я тебе поподробнее расскажу
площадь полученной фигуры не всегда будет равна площади изначальной, это жалкий частный случай
Тогда у меня получается, что катет = гипотенузе
15 Dec 2020 в 16:32 #4
Тогда у меня получается, что катет = гипотенузе
15 Dec 2020 в 16:40 #5
15 Dec 2020 в 16:41 #6
Мы же должны из каждой точки катета опустить перпендикуляр на гипотенузу. Верхние и нижние точки катета совпадут с вершина треугольника. И если из них проведу перпендикуляр к гипотенузе, то самый нижний перпендикуляр совпадет с катетом b, а верхний с вершиной треугольника.
Я как бы понимаю, что катет не равен гипотенузе, но по моему рисунку почему-то равен
15 Dec 2020 в 16:43 #7
сам загуглишь что такое ортогональная проекция или помочь?
15 Dec 2020 в 16:47 #8
Что-то я не вижу здесь
из прямого угла опущена высота
15 Dec 2020 в 16:49 #9
сам загуглишь что такое ортогональная проекция или помочь?
Загуглить-то я и сам могу.
Что-то я не вижу здесь
На этом рисунке этого нет. Сейчас скину другой.
15 Dec 2020 в 16:53 #10
Мы же должны из каждой точки катета опустить перпендикуляр на гипотенузу. Верхние и нижние точки катета совпадут с вершина треугольника. И если из них проведу перпендикуляр к гипотенузе, то самый нижний перпендикуляр совпадет с катетом b, а верхний с вершиной треугольника.
Я как бы понимаю, что катет не равен гипотенузе, но по моему рисунку почему-то равен
на рисунке ты проецируешь гипотенузу на катет. При этом гипотенуза находится под углом к катету => очевидно не будет равна катету. Если бы они были паралелльны друг другу, то катет и гипотенуза были бы равны. НО это уже не треугольник.
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Когда мы проецируем фигуру на плоскость, то мы из каждой точки исходной фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость. И в итоге получается новая фигура, которая состоит из того же кол-ва точек, что и исходная. Тогда будет ли равна площадь исходной фигуры площади полученной фигуры в результате проецирования?
P.S. Я могу загуглить формулу площади проекции плоской фигуры.
потому что гипотенуза проецируется под прямым углом. Чтобы получить проекцию катета на гипотенузе, нужно провести перпенидкуляр из конца катета к гипотенузе.
15 Dec 2020 в 16:55 #11
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Потому шо в треугольнике ( в частности который составлен из проекции, высоты и катета) напротив большего угла лежит большая сторона. При этом такой треугольник всегда будет образовываться, тк у прямоугольного треугольника исходного острые углы при гипотенузе. Тебе надо с аксиом начать и продолжить доказательством теорем с пониманием понятий, а не по другому. В первом предложении именно теорема, ее доказательство в начале любого учебника по планиметрии за 7-9 класс.
Можно было бы от противного доказать, предположив, что твое утверждение верное. А далее воспользоваться признаком равнобедренного треугольника и теоремой о сумме углов в треугольнике.
Катет
Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.
Длина катета может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
Длина катета равна произведению длины гипотенузы и косинуса прилежащего угла:
Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла:
Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета:
Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу:
Квадрат высоты, выходящей из прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
— катеты 
— гипотенуза 
— угол, противолежащий a 
— угол, противолежащий b 
— проекции катетов a и b на гипотенузу.
С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.
По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.
Вращая прямоугольный треугольник вокруг катета можно получить прямой круговой конус.
См. также
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Катет» в других словарях:
КАТЕТ — (гр. kathete вертикальная линия). Каждая из двух перпендикулярных сторон прямого угла в прямоугольном треугольнике. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАТЕТ греч. kathete, вертикальная линия. Каждая из … Словарь иностранных слов русского языка
КАТЕТ — (от греч. kathetos перпендикуляр) сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу … Большой Энциклопедический словарь
КАТЕТ — КАТЕТ, катета, муж. (греч. kathetos, букв. опущенный, отвесный) (мат.). В прямоугольном треугольнике одна из двух сторон, образующих прямой угол. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КАТЕТ — КАТЕТ, а, муж. В математике: сторона прямоугольного треугольника, примыкающая к его прямому углу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
КАТЕТ — муж. катета жен., греч. каждая из сторон около прямого угла прямоугольного треугольника. | Архитектурное: отвес через средину задка ионической капители. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
катет — сущ., кол во синонимов: 1 • сторона (57) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
катет — а; м. [от греч. kathetos отвес] Матем. Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике. * * * катет (от греч. káthetos перпендикуляр), сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. * * * КАТЕТ КАТЕТ (от … Энциклопедический словарь
Катет — (от греч. káthetos перпендикуляр) сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу … Большая советская энциклопедия
Катет — стороны прямоугольного треугольника, составляющие между собою прямой угол. См. Гипотенуза и Треугольник … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Катет — м. Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,
4.5. Определение длины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
Прямая общего положения на плоскости проекций отображается с искажением (рис.4.6). Для того чтобы найти её натуральную величину, необходимо воспользоваться правилом прямоугольного треугольника, согласно которому на комплексном чертеже натуральной величиной прямой является гипотенуза прямоугольного треугольника, построенного на двух катетах. Один из этих двух катетов – это проекция рассматриваемой прямой, а вторым катетом является разность координат начала и конца этой прямой или разность координат z точек А и В (Δz = zA – zB).
Углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций по двум ее проекциям находят при определении действительной величины этой прямой способом прямоугольного треугольника. Если взять прямую общего положения АВ и спроецировать ее на горизонтальную плоскость проекций, а через точку А провести линию, параллельную плоскости, то в пространстве получится прямоугольный треугольник, один из катетов которого (AB’) равен длине проекции прямой АВ, а угол между прямой и этим катетом будет углом наклона заданной прямой к горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.6), что можно подтвердить известным математическим соотношением:
tg α = BB’ / AB’ = (BB1 – B’B1) / AB’ = (zB – zA) / A1 B1.
Прямая А1В0 представляет натуральную величину прямой общего положения АВ.
Для определения натуральной величины прямой общего положения АВ и угла наклона её к плоскости проекций на эпюре (комплексном чертеже) необходимо построить прямоугольный треугольник:
— первый катет этого треугольника равен проекции прямой, на плоскости проекций;
— для построения второго катета необходимо из проекции любого конца проекции прямой линии под прямым углом к проекции провести луч, на котором отложить длину второго катета, равную разности расстояний от концов прямой до данной плоскости проекций;
— гипотенуза полученного прямоугольного треугольника будет равна действительной величине заданной прямой;
— угол наклона прямой линии к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией прямой на эту плоскость проекций.
Углы наклона прямой линии общего положения к плоскости, всегда меньше их ортогональных проекций.
Рис. 4.6. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка
Учитывая сказанное выше и рассмотрев рис. 4.7, можно утверждать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А2В2 и разность координат Y точек А и В (ΔY = YB – YA). Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).
По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А3В3 и разность координат Х (Δ Х = ХА – ХВ) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.
На рис. 4.8 показан пример определения натуральной (действительной) длины прямой АВ и углов её наклона к плоскостям проекций.
Рис. 4.7. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка
Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций на комплексном чертеже
Угол αº, получен при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой. Углы β и γ определены с использованием фронтальной и профильной проекций прямой соответственно. Натуральная величина, указанной прямой, обозначена гипотенузами прямоугольных треугольников, построенных на трёх плоскостях проекций.