что такое проектный риск

Управление рисками проекта

Причиной возникновения рисков являются неопределенности, существующие в каждом проекте. Риски могут быть “известные” — те, которые определены, оценены, для которых возможно планирование. Риски “неизвестные” — те, которые не идентифицированы и не могут быть спрогнозированы. Хотя специфические риски и условия их возникновения не определены, менеджеры проекта знают, исходя из прошлого опыта, что большую часть рисков можно предвидеть.

Реализуя проекты, имеющие высокую степень неопределенности в таких элементах, как цели и технологии их достижения многие компании уделяют внимание разработке и применению корпоративных методов управления рисками. Данные методы учитывают как специфику проектов, так и корпоративных методов управления.

Американский Институт управления проектами (PMI), разрабатывающий и публикующий стандарты в области управления проектами, значительно переработал разделы, регламентирующие процедуры управления рисками. В новой версии PMBOK (принятие которого ожидается в 2000 году) описаны шесть процедур управления рисками. В данной статье мы предлагаем краткий обзор процедур управления рисками (без комментариев).

Управление рисками — это процессы, связанные с идентификацией, анализом рисков и принятием решений, которые включают максимизацию положительных и минимизацию отрицательных последствий наступления рисковых событий.

Процесс управления рисками проекта обычно включает выполнение следующих процедур:

Все эти процедуры взаимодействуют друг с другом, а также с другими процедурами. Каждая процедура выполняется, по крайней мере, один раз в каждом проекте. Несмотря на то, что процедуры, представленные здесь, рассматриваются как дискретные элементы с четко определенными характеристиками, на практике они могут частично совпадать и взаимодействовать.

Планирование управления рисками

Планирование управления рисками — процесс принятия решений по применению и планированию управления рисками для конкретного проекта. Этот процесс может включать в себя решения по организации, кадровому обеспечению процедур управления рисками проекта, выбор предпочтительной методологии, источников данных для идентификации риска, временной интервал для анализа ситуации. Важно спланировать управление рисками, адекватное как уровню и типу риска, так и важности проекта для организации.

Идентификация рисков

Идентификация рисков определяет, какие риски способны повлиять на проект, и документирует характеристики этих рисков. Идентификация рисков не будет эффективной, если она не будет проводиться регулярно на протяжении реализации проекта.

Идентификация рисков должна привлекать как можно больше участников: менеджеров проекта, заказчиков, пользователей, независимых специалистов.

Идентификация рисков — итерационный процесс. Вначале идентификация рисков может быть выполнена частью менеджеров проекта или группой аналитиков рисков. Далее идентификацией может заниматься основная группа менеджеров проекта. Для формирования объективной оценки в завершающей стадии процесса могут участвовать независимые специалисты. Возможное реагирование может быть определено в течение процесса идентификации рисков.

Качественная оценка рисков

Качественная оценка рисков — процесс представления качественного анализа идентификации рисков и определения рисков, требующих быстрого реагирования. Такая оценка рисков определяет степень важности риска и выбирает способ реагирования. Доступность сопровождающей информации помогает легче расставить приоритеты для разных категорий рисков.

Качественная оценка рисков это оценка условий возникновения рисков и определение их воздействия на проект стандартными методами и средствами. Использование этих средств помогает частично избежать неопределенности, которые часто встречаются в проекте. В течение жизненного цикла проекта должна происходить постоянная переоценка рисков.

Количественная оценка рисков

Количественная оценка рисков определяет вероятность возникновения рисков и влияние последствий рисков на проект, что помогает группе управления проектами верно принимать решения и избегать неопределенностей.

Количественная оценка рисков позволяет определять:

Количественная оценка рисков часто сопровождает качественную оценку и также требует процесс идентификации рисков. Количественная и количественная оценка рисков могут использоваться по отдельности или вместе, в зависимости от располагаемого времени и бюджета, необходимости в количественной или качественной оценке рисков.

Планирование реагирования на риски

Планирование реагирования на риски — это разработка методов и технологий снижения отрицательного воздействия рисков на проект.

Берет на себя ответственность за эффективность защиты проекта от воздействия на него рисков. Планирование включает в себя идентификацию и распределение каждого риска по категориям. Эффективность разработки реагирования прямо определит, будут ли последствия воздействие риска на проект положительными или отрицательными.

Стратегия планирования реагирования должна соответствовать типам рисков, рентабельности ресурсов и временным параметрам. Вопросы, обсуждаемые во время встреч, должны быть адекватны задачам на каждой стадии проекта, и согласованы со всеми членами группы по управлению проектом. Обычно требуются несколько вариантов стратегий реагирования на риски.

Мониторинг и контроль

Мониторинг и контроль следят за идентификацией рисков, определяют остаточные риски, обеспечивают выполнение плана рисков и оценивают его эффективность с учетом понижения риска. Показатели рисков, связанные с осуществлением условий выполнения плана фиксируются. Мониторинг и контроль сопровождает процесс внедрения проекта в жизнь.

Качественный контроль выполнения проекта предоставляет информацию, помогающую принимать эффективные решения для предотвращения возникновения рисков. Для предоставления полной информации о выполнении проекта необходимо взаимодействие между всеми менеджерами проекта.

Целью мониторинга и контроля является выяснить, было ли:

Контроль может повлечь за собой выбор альтернативных стратегий, принятие корректив, перепланировку проекта для достижения базового плана. Между менеджерами проекта и группой риска должно быть постоянное взаимодействие, должны фиксироваться все изменения и явления. Отчеты по выполнению проекта должны формироваться регулярно.

Источник

Риски проекта и все, что нужно о них знать

Вряд ли вам встречался проект, который волшебным образом шел в точности, как его запланировали в самом начале. Любой проект подвержен рискам — всевозможным событиям, которые на него влияют и обычно создают проектному менеджеру головную боль. Вообще, если не считать планирования, главная головная боль проектного менеджера как раз и заключается в разрешении рисков. Чтобы уменьшить ее, можно подумать об угрозах заранее. Оно того стоит — управлять рисками куда дешевле и проще, чем управлять реальными проблемами. Об этом и расскажем в статье: как правильно работать с рисками при управлении проектами и почему это важно.

Что такое риск

Если вам предстоит запустить проект, рано или поздно вы задумаетесь, что в нем может пойти не так. Вы начнете предугадывать слабые места проекта. Это и есть риски. Риск проекта — это неопределенное событие или условие, которое положительно или отрицательно влияет на цели проекта. Например, цель — закрыть проект, не превышая бюджет. Тогда любые события с непредвиденными расходами будут считаться риском. Или цель — создать качественный продукт раньше конкурента. Тогда есть риск опоздать с запуском или потерять проверенного поставщика и проиграть в качестве. Как только у проекта появляется цель, пора подумать о факторах, которые могут ей помешать.

Обычно риски возникают не просто так — к ним приводят действия участников проекта или они появляются из-за внутренних и внешних условий. Скажем, из-за плотной занятости руководителей проекта или плохой организации внештатных сотрудников.

Но иногда риски проекта бывают позитивными. Часто это удачные случайности или неожиданные результаты работы с негативными рисками. Представьте, что вы перестраховались и заложили в бюджет трудозатраты сотрудника-заместителя. Теперь если ваш ключевой сотрудник вдруг заболеет, а заместитель окажется эффективнее его, показатели улучшатся. Такие риски головной боли не приносят, но и встречаются очень редко. Поэтому управление рисками нужно в первую очередь для негативных событий.

Зачем управлять рисками

Управление рисками проекта — это страховка, с помощью которой можно вовремя спасти важную составляющую проекта, будь то деньги, время или даже уровень качества продукта. К тому же, профилактические меры часто выходят дешевле и быстрее решения возникших проблем. Пример рисков проекта: вы боитесь, что в середине проекта заказчик изменит требования — вам придется все переделывать и расширять бюджет. Подумайте об этом заранее. Уже на первом этапе вы можете согласовать подробное ТЗ и обговорить условия для пересмотра требований. Потратив пару дней на такую страховку, вы защитите проект от крупных задержек и сэкономите ресурсы.

По большому счету для любого риска есть два решения: игнорировать его и надеяться на лучшее или сразу попытаться устранить. Если надежда оправдается, первый вариант принесет выигрыш. Но для этого нужна скорее удача, чем расчет и планирование. В противном случае это просто принятие риска со всеми его последствиями — потерями в деньгах, времени или качестве.

Второй вариант — разрешение риска, ряд действий, чтобы снизить или устранить вероятность опасного события. Разрешение риска обычно требует дополнительных ресурсов и тщательного анализа. Но с ним проектному менеджеру немного спокойнее — проходит головная боль, появляется уверенность и защищенность. Этот вариант подходит для угроз, которые значительно выгоднее предотвратить, чем разбираться с негативными последствиями.

Получается, главная проблема и вместе с тем задача в управлении рисками — найти баланс между затратами на страховку и потенциальным ущербом от принятия риска.

Какие риски проекта самые опасные

Управление рисками проекта начинается с анализа. Предполагается, что к этому моменту вы уже знаете, какие риски проекта могут возникнуть на проекте, а лучше — имеете готовый реестр рисков. О том, как составить реестр, мы уже рассказывали в нашем журнале. Для начала можете просто сделать таблицу с рисками, их причинами и последствиями.

Задача анализа — сравнить сэкономленные ресурсы, если риск был принят, но не реализовался, с затратами на его разрешение. Оценка должна быть всесторонней, поэтому проводится в два этапа: сначала качественный, а потом количественный анализ.

Качественный анализ рисков проекта

Во время качественного анализа выбираются самые опасные и приоритетные угрозы. То есть все риски проекта делятся на важные и второстепенные. Критерии оценки руководитель выбирает самостоятельно, в зависимости от целей. Обычно решающие факторы — вероятность и возможные последствия.

Например, всегда есть опасность природных катаклизмов, скажем, наводнения. Но реальный риск существует только для производства в определенных географических районах — близко к воде. Для полноценного анализа этой угрозы нужно как минимум изучить статистику таких ЧП и посчитать потенциальный ущерб. Так, для производства в сухих районах риск маловероятен. Поэтому даже несмотря на большой потенциальный ущерб, нет смысла тратить на этот риск ресурсы.

Для определения вероятности рисков распределите их по шкале вероятности. Она может быть относительной или с цифровыми значениями.

Оценка последствий — подсчет потенциального ущерба проекту, например, расходы на зарплату сотруднику-заместителю или процент качества продукта. На универсальной шкале воздействие риска расположить сложно: ущерб зависит от целей проекта. Попробуйте записать последствия в виде таблицы, соотнося угрозы с целями.

Результаты качественного анализа ложатся в основу количественного.

Риски проекта — количественный анализ

На этот этап попадают наиболее вероятные и опасные риски. При плохом сценарии они напрямую угрожают целям проекта. Задача количественного анализа — выявить негативное влияние главных рисков и распределить их по степени этого влияния.

При количественном анализе, в отличие от качественного, значения определяются точно. Выделить высокие и низкие риски проекта недостаточно. Для оценки используются разные способы от анализа ожидаемой денежной стоимости (ОДС) до создания дерева решений.

Здесь вам может понадобиться помощь экспертов. Используйте опыт и знания сотрудников или внешних специалистов. Постоянно пересматривайте оценку, так как условия реализации проекта и его специфика могут меняться.

Управление рисками проекта — сложная область знаний со своими методиками и инструментами. Для углубления в нее можно почитать Руководство к своду знаний по управлению проектами — PMBOK. Там подробно описаны все необходимые методы управления рисками проекта, в том числе инструменты для качественного и количественного анализа.

Как найти выход

Главная цель работы с рисками — выбрать и применить верную стратегию управления. Какие риски проекта как лучше решать, подскажет тщательный анализ. Для каждого риска можно подобрать одну стратегию или скомбинировать несколько. В результате должна быть готова основная стратегия и на случай неэффективности основной — резервная.

Для работы с рисками есть несколько стратегий:

Стратегии управления рисками

Уклонение — исключение опасности. Включает все меры, чтобы защитить цели проекта от угрозы. Возможно, придется изменить сами цели — смягчить требования, узнать дополнительную информацию. Например, если появляется риск сорвать сроки проекта, можно попробовать упростить продукт и сократить количество задач.

Передача — передача ответственности за последствия риска третьей стороне. Угроза все еще реальна, но устранить ее предстоит другим людям. Стратегия эффективная, но за принятый риск придется выделить вознаграждение. Главные примеры ведения этой стратегии — страховка, гарантии выплат и гарантийное обслуживание.

Снижение — снижение вероятности риска или его негативных последствий с помощью профилактических мер. Чтобы перестраховаться, можно, например, покрыть все основные кейсы программного продукта автотестами. Пусть они в обязательном порядке запускаются перед попаданием кода в продакшн. Более простой пример снижения — заранее выбирать только опытных и проверенных участников проекта и партнеров.

Принятие — реагирование на последствия рисков без вмешательства в сам проект. Когда исключить или снизить риски проекта невозможно, их приходится принимать — работать с негативными событиями уже после того, как они произошли. Принятие может быть пассивным и активным. Пассивное представляет собой игнорирование событий риска и экстренные меры по устранению последствий. Активное принятие — создание резерва ресурсов на случай опасности. К резервным ресурсам относятся, например, деньги, время, загруженность сотрудников.

Как управлять рисками с помощью BPM-системы

Разобраться с рисками раз и навсегда невозможно — нужно постоянно следить за результатами решенных рисков и появлением новых. Управление рисками — долгосрочный процесс, поэтому на всех его этапах должна быть возможность:

собирать и документировать риски проекта;

хранить и передавать информацию о выполненных задачах;

обеспечивать мониторинг статусов рисков;

обеспечивать контроль со стороны проектного менеджера над всеми работами.

Учесть все эти требования помогает процессный подход. Он позволяет построить последовательную цепочку задач и обеспечивает контроль их исполнения.

Процессный подход реализуется с помощью BPM-системы, в которой работа организована в виде бизнес-процессов. Бизнес-процесс — это совокупность взаимосвязанных операций, направленных на достижение цели.

Одним из примеров BPM-систем является система ELMA. С помощью дополнительного модуля Проекты+ она позволяет запустить бизнес-процесс прямо из карточки проекта. А используя мониторинг процессов, проектный менеджер сможет контролировать все этапы работы и получать подробную аналитику после завершения процесса.

Процессы управления рисками проекта могут запускаться несколько раз за проект. Например, в начале проекта для планирования и после прохождения контрольных точек — для актуализации реестра рисков. В зависимости от структуры компании и самого проекта, задачи бизнес-процесса могут отличаться, но этапы работы общие:

После запуска бизнес-процесса проектный менеджер самостоятельно или вместе с командой выявляет все опасности. Лучше сразу разделить риски по целям, которым они угрожают, источнику и силе последствий. Можно собрать общий реестр для всех проектов компании и выбирать из него угрозы для определенного проекта.

Для оценки всех рисков или отдельной группы выбираются эксперты. Им приходит задача в виде сформированного реестра с комментариями менеджера. Эксперты проводят качественный анализ и для каждой угрозы определяют статус. Во время оценки также должна быть возможность вносить в реестр новые незафиксированные риски проекта.

Реестр возвращается к проектному менеджеру с проставленными статусами и замечаниями экспертов. Дальше нужно провести количественный анализ. Для этого можно снова привлечь экспертов или оценить риски силами команды проекта. Важно зафиксировать все результаты количественного анализа в реестре и передать в следующую задачу. Еще один вариант: отказаться от детальной оценки и сразу перейти к выбору стратегии.

Менеджер проекта подводит итоги анализа, пересматривает реестр рисков и приступает к выбору стратегии. Любое изменение статуса риска, например, если он состоялся или решился, менеджер сможет зафиксировать в реестре.

Когда для всех рисков появится план решения, остается продумать необходимые мероприятия и поставить по ним задачи.

После выполнения работ проектный менеджер оценивает эффективность всего процесса.

Бизнес-процессы по управлению рисками выполняются многократно, так что менеджер получает достаточно данных для глобальной оценки всей работы: сколько времени требует оценка, риски какого типа наиболее опасны, какая стратегия выигрышная. При этом у него есть возможность непрерывно следить за статусом угроз.

Если кратко

Гарантировать успех проекта невозможно — всегда будет оставаться элемент неопределенности и риски проекта, угрожающие целям. Чтобы уменьшить неприятности, можно подстраховаться и устранить угрозы заранее. По большому счету работа с рисками заключается в поиске баланса между затратами на решение рисков и потенциальным ущербом в случае их принятия. Достичь этот баланс получится, опираясь на результаты анализа. Только после аргументированной оценки угроз можно приступать к выбору стратегии управления: уклонение, передача, снижение или принятие. Работать с рисками удобнее с помощью бизнес-процесса, а в качестве инструмента для управления рисками использовать BPM-систему.

Вот небольшой чек-лист, как начать работу с рисками проекта:

Найдите слабые места проекта и запишите все возможные риски.

Проведите качественный анализ: разделите все риски проекта на важные и второстепенные.

Проведите количественный анализ: определите влияние рисков на проект в точных значениях.

Подберите и примените к каждому риску одну или несколько стратегий управления.

Следите за поведением решенных рисков и регулярно начинайте сначала: риск может возникнуть на любом этапе проекта.

Источник

Анализ проектных рисков

Материал посвящен изучению методологии анализа проектных рисков. Необходимость такого анализа обоснована прежде всего тем, что построенные по любому инвестиционному проекту потоки денежных средств относятся к будущим периодам и носят прогнозный характер. Поэтому возрастает вероятность недостоверности используемых для расчетов числовых данных, а значит и самих результатов. Следовательно, наиболее важной частью экспертизы становится учет и оценка возможных негативных последствий таких ошибок. Основным инструментом подобных исследований служит анализ рисков проекта, являющийся важнейшей составной частью экспертизы инвестиционного проекта и играющий значительную роль в принятии решения об инвестировании. Кроме того, анализ рисков должен играть роль своеобразного “переходного моста” от экспертизы проекта к управлению его реализацией. В данном разделе представлены практически используемые подходы к анализу проектных рисков, исследованы качественный и количественный аспекты анализа, вероятностный способ оценки рисков.

Анализ проектных рисков: процедурные вопросы

Теория риска начала интенсивно развиваться примерно с 50-х годов нашего столетия за рубежом. Наибольшее число исследований, посвященных анализу риска, принадлежит американским ученым, хотя эта проблема активно изучалась и в западноевропейских странах. В то же время в нашей стране происходило серьезное развитие математического аппарата анализа рисков применимо к теории планирования эксперимента в технических и естественных областях знаний.

В современной отечественной практике инвестиционного проектирования понятие “анализ проектных рисков” появилось недавно. Оно объединило накопленный ранее международный опыт и основательную российскую теоретическую базу, став обязательным разделом любого бизнес-плана инвестиционного проекта, “законодательно” закрепленным в “Методических рекомендациях по оценке эффективности инвестиционных проектов и их отбору для финансирования”.

Необходимо различать понятия “риск” и “неопределенность”.

Неопределенность предполагает наличие факторов, при которых результаты действий не являются детерминированными, а степень возможного влияния этих факторов на результаты неизвестна; это неполнота или неточность информации об условиях реализации проекта. Факторы неопределенности подразделяются на внешние и внутренние. Внешние факторы — законодательство, реакция рынка на выпускаемую продукцию, действия конкурентов; внутренние — компетентность персонала фирмы, ошибочность определения характеристик проекта и т.д.

Риск — потенциальная, численно измеримая возможность потери. Риск проекта — это степень опасности для успешного осуществления проекта. Понятием риска характеризуется неопределенность, связанная с возможностью возникновения в ходе реализации проекта неблагоприятных ситуаций и последствий, при этом выделяются случаи объективных и субъективных вероятностей.

Инвестиция в любой проект сопряжена с определенным риском, что, как уже указывалось, отражается в величине процентной ставки: проект может завершиться неудачей, т.е. оказаться нереализованным, неэффективным или менее эффективным, чем ожидалось. Риск связан с тем, что доход от проекта является случайной, а не детерминированной величиной (т.е. неизвестной в момент принятия решения об инвестировании), равно как и величина убытков. При анализе инвестиционного проекта следует учесть факторы риска, выявить как можно больше видов рисков и постараться минимизировать общий риск проекта.

Непосредственно отношение к риску зависит как от целей инвестирования (степени рискованности проекта), так и от финансового положения инициатора (инвестора). Для принятия правильного инвестиционного решения необходимо не только определить величину ожидаемого дохода, степень риска, но и оценить, насколько ожидаемый доход компенсирует предполагаемый риск. Однако сложность заключается в том, что оценка риска осуществления инвестиций в меньшей степени, чем другие способы оценки, поддается формализации. Тем не менее, анализ риска является необходимым и чрезвычайно важным этапом инвестиционной экспертизы.

К сожалению, в настоящее время ряд бизнес-планов инвестиционных проектов, содержащих раздел анализа рисков, сужает проблему до анализа только финансовых рисков или подменяет анализом банковских рисков, что не отражает весь спектр проектных рисков.

Данный раздел отражает анализ существующей теории (risk analysis) и практический известный авторам опыт оценки рисков проекта, что дает право на описание в этом разделе специального инструментария под общим названием анализ проектных рисков.

Анализ проектных рисков подразделяется на качественный (описание всех предполагаемых рисков проекта, а также стоимостная оценка их последствий и мер по снижению) и количественный (непосредственные расчеты изменений эффективности проекта в связи с рисками).

В число проектных рисков обычно включаются такие как: технические, риски участников проекта, политические, юридические, финансовые, маркетинговые, экологические, военные, строительно-эксплуатационные, специфические, риски обстоятельств непреодолимой силы и др.

Наиболее часто встречающимися количественными методами анализа рисков являются анализ чувствительности (уязвимости), анализ сценариев и имитационное моделирование рисков по методу Монте-Карло.

Предрисковая оценка чистых выгод инвестиционного проекта, анализ его эффективности базируется на утверждении о наиболее успешном осуществлении и эксплуатации проекта просто уже потому, что априори отсекает неопределенность исходных факторов (переменных). Дело в том, что основываясь на ретроспективном анализе, исследователь прогнозирует определенную величину (оценку) исследуемого фактора (переменной). Однако при этом результативный проектный показатель, зависящий от данного фактора, также принимает определенное точечное значение, которое может ввести в заблуждение, так как при некотором внепрогнозном изменении переменной изменится и результативность проекта.

Даже если эксперт-аналитик использует наиболее вероятные значения каждой проектной переменной, это вовсе не приведет к тому, что полученный результат будет также наиболее вероятным результатом.

Рассмотрим две переменных (фактора), в качестве которых выберем цену (Р) и объем (Q) проданной продукции.

Посчитаем выручку как произведение цены на объем для различных комбинаций переменных:

Таким образом, представленный пример показывает, что если исследователь абстрагируется от неопределенности и выберет наиболее вероятные значения переменных (факторов), то на выходе значение результативного показателя, являющегося функцией этих факторов, совсем не обязательно будет наиболее вероятным, и это может привести к ошибочным выводам и решениям.

При проведении анализа проектного риска сначала определяются вероятные пределы изменения всех его “рискованных” факторов (или критических переменных), а затем проводятся последовательные проверочные расчеты при допущении, что переменные случайно изменяются в области своих допустимых значений. На основании расчетов результатов проекта при большом количестве различных обстоятельств анализ риска позволяет оценить распределение вероятности различных вариантов проекта и его ожидаемую ценность (стоимость).

Анализ рисков, как уже говорилось, важнейший этап анализа инвестиционного проекта. Согласно финансовой теории, каждая фирма в процессе инвестиционной деятельности стремится максимизировать свою стоимость. В условиях полной определенности и отсутствия риска эта задача эквивалентна задаче максимизации прибыли, т.е. показателя NPV. Но как только предпосылки снимаются, задачи перестают быть эквивалентными. В реальности же для большинства инвесторов и разработчиков важна не только максимизация прибыли, но и минимизация риска рассматриваемого инвестиционного проекта.

Подчеркнем еще одно важное обстоятельство: анализ рисков проекта базируется на осуществленном расчете всех его показателей и критериев, так называемом базисном варианте (на основе фактической и прогнозной информации), доказавшем эффективность проекта.

Использование методов математического программирования для принятия оптимальных инвестиционных решений.

Некий бизнесмен решил создать компанию, сдающую в аренду клиентам офисное оборудование (например, факсы и ксероксы), которое он предполагает закупить. Предположим (для простоты), что каждый договор с клиентом об аренде имеет длительность два года и заключается в момент закупки оборудования компанией, т.е. в начале первого года. Проведенный компанией анализ рынка позволяет утверждать, что существует неограниченный спрос на предлагаемое в аренду оборудование по стандартной арендной плате, общая сумма которой будет выплачена в конце второго года. Чистый дисконтированный доход, полученный бизнесменом от сдачи в аренду каждого факса и каждого ксерокса, составит 400 и 500 ден. ед. соответственно. Стоимость факса 300 ден. ед., из которых часть (100 ден. ед.) выплачивается в конце первого года, а остальная сумма (200 ден. ед.) — в конце второго, ксерокс стоит 400 ден. ед., и схема выплат аналогична: 300 ден. ед. выплачиваются в конце первого года, а остальная сумма (100 ден. ед.) — в конце второго. Бизнесмен предполагает, что доступные ему ежегодные фонды ограничены и составляют 40 000 ден. ед. (в первый год) и 30 000 ден. ед. (во второй год).

Какое количество факсов и ксероксов следует приобрести бизнесмену, чтобы максимизировать суммарный чистый дисконтированный доход проекта?

Решение данной задачи можно получить с помощью методов линейного программирования.

Для построения модели задачи обозначим число единиц оборудования, которое нужно приобрести:

f — число факсов;
х — число ксероксов.

Введем ограничения:
100f + 300x = 0 (1.3);
х >= 0 (1.4).

Требуется максимизировать функцию

при ограничениях (1.1)—(1.4).

Известно, что в случае двух переменных решение задачи математического программирования можно провести не только аналитически (например, используя симплекс-метод), но и графически. В нашем примере интерес представляет только целочисленное решение.

Рассмотрим графический вариант решения модели сконструированной по выражениям (1.1)—(1.5).

Рис. 1.1. Графический вариант решения модели (1.1)—(1.5):
1 — в соответствии с выражением (1.1);
2 — в соответствии с выражением (1.2).

Заменив неравенство (1.1) равенством, построим в декартовой системе координат соответствующую прямую 1 (рис. 1.1).

Она разделит плоскость на две полуплоскости, расположенные над и под прямой. Неравенству (1.1) будут удовлетворять все точки, принадлежащие нижней полуплоскости и самой прямой 1.

Аналогичным образом отразим на графике решения неравенств (1.2) — (1.4).

Допустимое множество решений задачи линейного программирования находится в заштрихованной области и на ее границах.

Функционал (1.5) задачи строится аналогичным образом.

Из всего допустимого множества (согласно теории математического программирования) представляют интерес только точки, расположенные в вершинах заштрихованной области:

А (0; 150); В (100; 100); С (400/3; 0); О (0; 0).

Максимального значения, равного 90 000 ден. ед., функционал (1.5) достигает в вершине В, т.е. максимальный чистый дисконтированный доход, равный 90 000 ден. ед., бизнесмен может получить, если приобретет 100 факсов и 100 ксероксов.

На основании теории двойственности в математическом программировании можно построить задачу, двойственную к данной, а полученные при ее решении так называемые двойственные переменные (объективно обусловленные оценки, теневые цены, скрытые цены) позволяют определить альтернативную стоимость используемых в проекте дефицитных ресурсов.

Построим двойственную к нашей задаче.

Пусть p1 — двойственная оценка фондов в первый год;
p2 — двойственная оценка фондов во второй год.

В этих обозначениях, необходимо минимизировать общие альтернативные стоимости совокупного объема фондов в целом за период проекта, то есть минимизировать функцию Z= (40000р1 + 30000р2) при ограничениях:

экономический смысл которых в том, что продажа всех ресурсов (фондов), затрачиваемых на единицу каждого вида оборудования (факса или ксерокса) по их альтернативной стоимости в сумме не может быть меньше величины чистого дисконтированного дохода от одного факса или ксерокса соответственно. Кроме того, альтернативные стоимости, как реальные экономические величины, не могут иметь отрицательных значений, поэтому

Уже этот простой пример наглядно демонстрирует возможности и преимущества использования методов математического программирования для принятия проектных решений.

Источник