Что такое призма в математике

Призма (математика)

Призма (математика)

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Содержание

Элементы призмы

Свойства призмы

Виды призм

Призмы бывают прямые и наклонные.

Прямая призма — призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Наклонная призма — призма, у которой хотя бы одно боковое ребро не перпендикулярно основанию.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Правильная призма — прямая призма, основание которой является правильным многоугольником.

Свойства правильной призмы

См. также

Ссылки

Многогранники
Правильные (Платоновы тела)	Трёхмерные Тетраэдр • Куб • Октаэдр • Додекаэдр • Икосаэдр Четырёхмерные 6 правильных многогранников Большей размерности только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр, n-мерный куб
Правильные невыпуклые	Звёздчатый многогранник (Звёздчатый октаэдр, Звёздчатый додекаэдр, Звёздчатый икосаэдр, Звёздчатый икосододекаэдр)
Выпуклые	Полезное Смотреть что такое «Призма (математика)» в других словарях: Математика в девяти книгах — (начало) «Математика в девяти книгах» (кит. трад. 九章算術 … Википедия ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера Земляков — Земляков, Александр Николаевич Файл:Zemlyakov.jpg Александр Николаевич Земляков (17 апреля 1950(19500417), Бологое 1 января 2005, Черноголовка) математик,выдающийся советский и российский педагог, автор учебно педагогической… … Википедия Земляков, Александр Николаевич — Александр Николаевич Земляков (17 апреля 1950(19500417), Бологое 1 января 2005, Черноголовка) математик, выдающийся советский и российский педагог, автор учебно педагогической литературы. Биография Закончил в 1967 году с золотой… … Википедия Правильный многогранник — Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия Пирамида (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения). Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обcуждения могут быть пояснения … Википедия Бипирамида — или дипирамида является трёхмерным многогранником, сформированным из двух пирамид, одна из которых является зеркальным отражением другой. Место соединения пирамид образует общую фигуру в виде многоугольника. Простая бипирамида формируется при… … Википедия Изгибаемый многогранник — Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия Норма (философия) — «Мыслитель», Огюст Роден Философия (др. греч. φιλοσοφία «любовь к мудрости», «любомудрие», от φιλέω люблю и σοφία мудрость) наиболее общая теория … Википедия Определение философии — «Мыслитель», Огюст Роден Философия (др. греч. φιλοσοφία «любовь к мудрости», «любомудрие», от φιλέω люблю и σοφία мудрость) наиболее общая теория … Википедия Источник Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы. Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы. Призма является разновидностью цилиндра. Элементы призмы. конгруэнтными многоугольниками, которые лежат в плоскостях, параллельных друг другу. Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это Боковая поверхность – сумма боковых граней. Полная поверхность – сумма основания и боковой Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он

перпендикулярен этим плоскостям.

Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также

Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной

боковому ребру призмы.

Свойства призмы.

где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

Формула объема призмы:

Привальная четырехугольная пирамида.

Свойства правильной четырехугольной призмы.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.

Виды призм.

Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.

Остальные призмы являются наклонными.

Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковые

грани такой призмы — одинаковые прямоугольники.

Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называется

полуправильным многогранником.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Боковые грани – все грани, кроме оснований.

Боковые ребра – общие стороны боковых граней.

Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.

Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.

Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней.

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа,

геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение призмы. Элементы призмы.

Рассмотрим два равных многоугольника А₁А₂. А_n и В₁В₂. В_n, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А₁В₁, А₂В₂. А_nВ_n, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы.

Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов).

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2).

Рисунок 2 – Наклонная призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

На рисунке 3 приведены примеры прямых призм

Рисунок 3 – Виды призм.

Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб.

Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы.

Площадью полной поверхности призмы (S_полн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (S_бок) призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Таким образом, верно следующее равенство: S_полн= S_бок+2S_осн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P. Таким образом S_бок=P_оснh.

Пространственная теорема Пифагора

Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.

Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найдем квадрат длины его диагонали А₁С.

Для этого рассмотрим треугольник А₁АС:

Ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА₁АС – прямоугольный.

По теореме Пифагора получаем: А₁С 2 =АА₁ 2 +АС 2 (1).

Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.

Что и требовалось доказать

Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдите для каждой картинки пару

1)2) 3)

4)5)

6)

Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.

Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?

1) параллельные плоскости

Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ.

Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.

Источник

Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения призмы. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение призмы

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

На рисунке ниже представлен один из самых распространенных видов призмы – четырехугольная прямая (или параллелепипед). Другие разновидности фигуры рассмотрены в последнем разделе данной публикации.

Элементы призмы

Развёртка призмы – разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего, одного из оснований). В качестве примера – для прямоугольной прямой призмы:

Примечание: свойства призмы представлены в отдельной публикации.

Варианты сечения призмы

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

Источник

Что такое призма — определение и разновидности призм

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы расскажем о такой интересной геометрической фигуре, как ПРИЗМА.

Школьники сталкиваются с ней на уроках геометрии только в 10 классе. Соответственно, те, кто решил уйти после 9-го класса в колледж, этих знаний лишены. И мы восполним этот пробел.

А старшеклассникам наша статья (очень на это надеемся) поможет при подготовке к сдаче ЕГЭ. На экзаменах по математике попадаются несколько вопросов, связанных с ПРИЗМАМИ.

Призма – это геометрическая фигура, которая представляет собой объемный многогранник. Две его стороны лежат на параллельных основаниях и представляют собой различные многоугольники. А боковые грани – это параллелограммы, которые соединяются с основаниями.

Выглядит классическая призма так, как показано на рисунке выше.

На этом рисунке четко видны все элементы призмы:

В зависимости от вида основания призмы бывают:

Разнообразие призм можно считать бесконечным. Могут быть фигуры, у которых в основании и 10-угольник, и 20-угольник, и даже 100-угольник. Но, к счастью, такие фигуры попадаются крайне редко. И их точно не изучают в школе.

История изучения призмы

О существовании призм знали еще в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Об этом свидетельствуют различные археологические находки, прежде всего, остатки зданий и памятников.

Но научное описание призм – это заслуга древнегреческих математиков. В первую очередь, Аристотеля. Он даже целое направление науки придумал – стереометрией. В переводе с греческого это означает измерение пространства («метрио» — измерение, «стереос» — пространство).

И в рамках этой науки Аристотель занимался изучением призм, кубов, параллелепипедов и других объемных геометрических фигур.

Естественно, не обошел своим вниманием призмы и знаменитый древнегреческий математик и ученый – Евклид. В своих трудах он дает следующее описание:

Призма – это телесная (то есть пространственная) фигура, которая заключена между несколькими плоскостями. Две из них параллельны друг другу, равны и противоположны. А другие в любом количестве представляют собой параллелограммы.

Элементы призмы

Рассмотрим для примера такую вот призму.

Она пятиугольная и состоит из следующих элементов:

Подобные элементы есть у каждой призмы, независимо от ее вида.

Разновидности призм

Все призмы можно поделить на три категории:

Вместо заключения

Слово ПРИЗМА используется не только в геометрии, хотя именно это значение считается главным. И именно оно первым записано во многих словарях. Но есть и другие варианты:

А еще «Призма» — это кодовое название советской радиостанции 5-АК. Есть такой хоккейный клуб в Латвии – «Призма-Рига». И наконец, в Финляндии существует сеть продуктовых магазинов «PRISMA».

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

Спасибо! Хорошая статья.

Бедные дети, зачем им забивают голову всякими геометрическими призмами? Вообще, если провести опрос среди взрослых, понадобилось ли кому-нибудь это знание, уверен, мы не услышим ни одного положительного ответа.

Источник