Что такое преобразование подобия

Что такое преобразование подобия

Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

При гомотетии точки \(X\) и \(Y\) переходят в точки \(X’\) и \(Y’\) на лучах \(OX\) и \(OY\) соответственно, причем \(OX’ = k\cdot OX\), \(OY’ = k\cdot OY\). Отсюда следуют векторные равенства

\(\overline = k\overline,\, \overline = k\overline\).

Вычитая эти равенства почленно, получим:

\(\overline — \overline = k(\overline — \overline)\).

Так как \(\overline — \overline = \overline\), \(\overline — \overline = \overline\), то \(\overline = k\overline\). Значит, \(|\overline| = k|\overline|\), т.е. \(X’Y’ = kXY\). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки \(A, B, C\), лежащие на одной прямой, переходят в три точки \(A_1, B_1, C_1\), также лежащие на одной прямой. Причем если точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), то точка \(B_1\) лежит между точками \(A_1\) и \(C_1\). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол \(ABC\) преобразованием подобия с коэффициентом \(k\) переводится в угол \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). Подвергнем угол \(ABC\) преобразованию гомотетии относительно его вершины \(B\) с коэффициентом гомотетии \(k\). При этом точки \(A\) и \(C\) перейдут в точки \(A_2\) и \(C_2\). Треугольники \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\). Значит, углы \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?

Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

Ответ. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: \(\sim\).

Запись \(F\sim F’\) читается так: «Фигура \(F\) подобна фигуре \(F’\)».

Запись подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Пусть \(k = \frac\). Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Далее, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) и \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle C_2 = \angle C_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Далее, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Треугольники \(ABC\) и \(CBD\) имеют общий угол при вершине \(B\). Следовательно, они подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Источник

Презентация по геометрии на тему «Преобразование подобия»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПОВОРОТ Д В И Ж Е Н И Е

Свойства движения: При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок. Сохраняются расстояния между точками. Сохраняются углы между лучами.

Что такое подобие и где оно встречается? Посмотрите на эту картинку.

Все матрешки имеют одинаковое лицо, костюмы и пропорции. Значит они являются ПОДОБНЫМИ ФИГУРАМИ. Что такое подобные фигуры? Простым языком Это те фигуры, которые имеют разные массы, размеры, но одинаковые формы!

Где встречается подобие? Посмотрите вокруг. Мы живем в мире подобия. В самом Человеке заложен Принцип Подобия, каждый его орган или часть тела подобна всему телу. Даже все люди похожи. У каждого из нас одинаковый набор органов. У каждого два уха, два глаза и тп. Мы живем на планете Земля, наша планета подобна другим планетам. Она такая же круглая как и все планеты во вселенной.

В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

А для чего нам нужно подобие? Для решения задач. А вы знали, что при помощи зеркала можно найти высоту рядом находящегося предмета. Как измерить высоту дерева с которым мы стоим рядом?

Подобие фигур Преобразование фигуры F в фигуру F’ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры F и F’ называются подобными, если одна из них переводится в другую подобием. F F’ Y Х Y’ Х’ Х Х’ Y Y’ Х’Y’ = k ХY число k называется коэффициентом подобия. В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

О – центр гомотетии ОВ′ = k∙ОВ k – коэффициент гомотетии. О А А′ В В′ С С′

Источник

Планиметрия. Страница 9

1.Преобразование подобия и его свойства

Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G’, у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA’ = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A’B’ = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.

Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB’ = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G’ называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.

Свойства преобразования подобия

Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.

6.Пример 1

Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Доказательство:

Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F’ так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F’, т.е. ОA’ и OB’. Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA’.

Теперь рассмотрим треугольник ОАС.

Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Таким образом, мы пришли к выводу, что A’B’ = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F’ в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F’ можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F’ подобны.

Пример 2

У треугольников АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. AB = 6, AC = 9, A₁B₁ = 10, B₁C₁ = 10. Найдите остальные стороны треугольников.

Решение:

Пусть даны два треугольника АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A₁ и ∠В = ∠B₁. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k:

k = AB / А₁В₁ = 6 / 10 = 3 / 5

Отсюда следует, что

ВС = k * В₁С₁ = (3 / 5) * 10 = 6 см

А₁С₁ = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см

Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Пример 3

В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.

Решение:

В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы.

Тогда можно составить следующие соотношение:

Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см.

Пример 4

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.

Решение:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ₃. Аналогичным образом обозначим:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис.10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Так как OD / OF = OC / AO

Следовательно, OD / OС = OF / AO

Отсюда следует равенство углов:

Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно,

Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС.

Так как ϕ₁ + ϕ₂ + ϕ₃ = 90° (из прямоугольного треугольника BFC), то в треугольнике FDE угол при вершине F равен:

Аналогичным образом выводится, что:

Пример 5

В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.

Решение:

Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам: ∠А = ∠D, ∠C = ∠E как соответственные (Рис.11).

Тогда можно составить следующие соотношение:

Рис.11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF.

Источник

Преобразование подобия

Содержание

Примеры

Связанные определения

Свойства

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Преобразование подобия» в других словарях:

преобразование подобия — Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… … Справочник технического переводчика

преобразование подобия — panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ — см Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь

преобразование подобия — Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь

Преобразование — [transfor­ma­tion] (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь

преобразование (в кибернетике) — Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь

Преобразование плоскости — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Преобразование — одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия

преобразование — я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь

Источник

Конспект урока геометрии «Преобразование подобия»

урок геометрии в 9 классе

(Погорелов А.В. Геометрия 7-11, п. 100).

Цели урока : Формирование понятий преобразования подобия, гомотетии, подобных фигур; формирование интереса к математике; развитие внимания, воображения, математической речи.

Оборудование урока : 1. Плакаты, иллюстрирующие подобные фигуры.

2. Карточки для опроса (№1, №2, № 3, № 4).

3. Раздаточный материал: карточки А (рис.1), карточки В (рис.2), карточки с картой участка местности ( рис.3).

4. Рисунок к дидактической игре.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План проведения урока:

Организация начала урока. ( 1 минута)

2. Повторение действий над векторами и (10 минут)

материала по теме «Движение»

3. Изучение нового материала. (20 минут)

4. Решение задач на закрепление. ( 6 минут)

5. Дидактическая игра. ( 5 минут)

6. Подведение итогов урока. (2 минут)

7. Домашнее задание. ( 1 минута)

1. 1) Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку (готовность рабочего места, наличие учебников, тетрадей, чертежных инструментов), мобилизовать внимание.

2) Вызвать к доске 4-х учащихся для работы по карточкам.

Построить фигуру, в которую переходит  АВС, при параллельном переносе на вектор

Построить фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60 о по часовой стрелке.

К арточка № 3

Построить фигуру, в которую переходит  АВС, при симметрии относительно точки О

Построить фигуру, в которую переходит фигура F при симметрии относительно прямой у

2. 1) Устная работа по чертежу (чертеж заготовлен на доске заранее).

Представьте вектор в виде:

а) суммы неколлинеарных векторов;

б) суммы коллинеарных векторов;

в) разности векторов.

То же задание для вектора .

2) . Фронтальный опрос по теме “Движение”.

— Какое преобразование фигуры называется движением?

— Какие вы знаете виды движений?

— Какие фигуры называются равными?

3) Проверка выполнения заданий у доски . Еще раз подчеркнуть, что любое движение сохраняет расстояние между точками, а поэтому фигуры при движении переходят в равные фигуры.

Объяснение нового материала

— Кроме преобразований движения, которые сохраняют расстояния между точками, существуют преобразования, не обладающие этими свойствами. Сегодня мы рассмотрим такие преобразования.

— Запишите тему: Преобразование подобия.

— Сначала выполните следующее задание: начертите у себя в тетрадях, а мы на доске, схематично план класса.

— Почему стол на плане изображен прямоугольником (а не кругом или

— Чем отличаются и что имеют общего стол на планах на доске и в тетрадях? (отличаются размерами, но имеют одну и ту же форму).

— В жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Таковы, например, фотографии одного и того же лица, изготовленные с одного негатива в различных размерах, планы здания или целого города, местности, вычерченные в различных масштабах.

Демонстрируются плакаты с изображением фигур, имеющих одинаковую форму, но различные размеры. Учащимся предлагается привести примеры таких предметов из жизни.

— Для того, чтобы дать строгое математическое определение преобразования подобия надо выделить свойства этого преобразования.

Перед каждым учащимся лежит карточка А (рис. 1)

Преобразование фигуры F в фигуру F  называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. Х  У’ = к·ХУ; А  В  = к ·АВ.

Число к называется коэффициентом подобия.

Устные задачи на закрепление понятия:

Треугольник со сторонами 7,8,9 подвергли преобразованию подобия с коэффициентом 3. Чему равны стороны полученного треугольника?

2) У О Генри в книге «Благородный жулик» есть такой эпизод. Миллионер показывает Энди Теккеру фотографию антикварной статуи и говорит, что хотел бы такую же, только раза в полтора побольше. Какую статую хочет иметь миллионер, если на фотографии ее длина 30 см? (45 см.)

3). Будут ли подобны стеклянные банки в 0,5 л и 3 л? (Нет)

4) Распознавание подобных фигур по картинкам

Указать номера подобных фигур на карточке В (рис. 2)

Источник

• ← Что указывать на этикетке вайлдберриз
• Что такое отрыв пламени в инжекционной газовой горелки →

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 9
Рис.1 Преобразование подобия и его свойства. 2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2) Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны. Рис.2 Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3) Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’. Рис.3 Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA’B’=A»B» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, т.е. kA’B’=AB, kB’C’=BC и kA’C’=AC.	Рис.3 Подобие треугольников. 4.Подобие треугольников по трем сторонам Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A»B»C», который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA’B’=A»B», kВ’C’=В»C» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. И т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.	Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно: Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу. Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).	Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников. Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.	Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.