Что такое предельный переход
Непрерывность функции и предельный переход
Некоторая функция f будет стремится к числу А при х стремящемся к точке х0 тогда, когда разность f(x) – A будет сколь угодно мала. Другими словами, выражение |f(x) –A| становится меньше любого наперед заданного фиксированного числа h > 0, при уменьшении модуля приращения аргумента |∆x|.
Предельный переход
Нахождение этого числа А по функции f называют предельным переходом. В школьном курсе предельный переход будет встречаться в двух основных случаях.
1. Предельный переход в отношении ∆f/∆x при нахождении производной.
2. При определении непрерывности функции.
Непрерывность функции
Функция называется непрерывной в точке х0, если f(x) стремится к f(x0) при стремлении x к x0. При этом: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Это означает, что |∆f| будет малым при малых |∆x|. Если описывать словами, то малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения значения функции.
Функции, которые встречаются в школьном курсе математики, например, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция и другие, непрерывны в каждой точке области, на которой они определены. У этих функций графики изображаются непрерывными кривыми линиями.
На этом факте основывается способ построения графика функции «по точкам», которым мы обычно пользуемся. Но прежде чем им пользоваться, необходимо выяснить действительно ли рассматриваемая функция будет непрерывна. Для простых случаев это можно сделать на основании определения непрерывности, которое мы дали выше.
Например: докажем, что линейная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой y = k*x + b.
Согласно определению, нам нужно показать, что |∆f| становится меньше любого наперед заданного числа h>0, при малых |∆x|
|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.
Если взять |∆x| >h/|k| при k не равном нулю, то |∆f| будет меньше любого h>0, что и требовалось доказать.
Правила предельного перехода
При использовании операции предельного перехода следует руководствоваться следующими правилами.
1. Если функция f непрерывна в точке x0, то ∆f стремится к нулю при стремлении ∆х к нулю.
2. Если функция f имеет производную в точке х0, то ∆f/∆x стремится к f’(x0) при стремлении ∆x к нулю.
3. Пусть f(x) стремится к A, g(x) стремится к B при стремлении х к х0. Тогда:
f(x) + g(x) стремится к A + B;
f(x)*g(x) стремится к A*B;
f(x)/g(x) стремится к A/B ( при B не равном нулю).
Предельный переход
Средняя скорость представляет собой неполноценное описание быстроты моего движения при ходьбе. Скорость «3 км/час» ничего не говорит о темпе моего движения в каждой точке пути – это лишь усредненная скорость прохождения пути от начала до конца. Если я хочу иметь лучшее описание, мне нужно найти способ измерения моей скорости в каждой точке. Большинство из нас меньше интересует скорость, нежели опыт передвижения. Но физикам и полиции необходимо измерять скорость!
Лишь в 1650 г. западные ученые наконец открыли способ измерения скорости в любой точке пространства и времени. Ньютон и Лейбниц хотели измерять непостоянный мир изменений движения и предложили радикальную идею, которою они назвали предельным переходом. Идея предельного перехода составляет основу дифференциального исчисления и, поскольку вся физика основывается на дифференциальном исчислении, идея предельного перехода занимает центральное место во всей физике.
Я говорю своим слушателям, что для того, чтобы понять идею предельного перехода, нам следует вернуться к подробностям моей ходьбы. Допустим, что расстояние от стены до середины помещения составляет около 10 метров. Я говорю, что если мы используем общепринятый способ измерения времени, например по часам на стене аудитории, то сможем определить длительность моего движения. Затем я снова прохожу эти 10 метров и вместе со всеми присутствующими замечаю, что на это у меня уходит 5 секунд.
Имея эту новую информацию о времени, мы можем подсчитать мою скорость. Разделив расстояние 10 метров на время 5 секунд, мы получаем скорость 2 метра в секунду. Теперь у нас есть средняя скорость движения между двумя точками, но мы по-прежнему хотим знать больше. Чтобы иметь точные данные, нам нужно придумать, как измерять мою скорость в каждой отдельной точке. Это тот же вопрос, на который пришлось отвечать Ньютону.
Я представляю себе, что Ньютон использовал нечто вроде следующего эксперимента. Вероятно, он думал: «Пусть человек идет, а мы будем определять его скорость с помощью точных часов, измеряя, сколько он проходит, скажем, за пару секунд. Затем будем уменьшать время. Позволим ему двигаться только очень небольшое время, например полсекунды. Тогда мы снова можем находить его скорость в течение более коротких промежутков времени и на более коротких расстояниях. Нам нужно лишь разделить расстояние, которое он проходит за эти полсекунды и получить его среднюю скорость».
Рис. 11.1. Короткий путь
Потом Ньютона осенило. Он, должно быть, подумал: зачем ограничиваться тем, что мы можем измерять в настоящее время? Почему думать только о наших часах и линейках, которые не так уж точны? Предположим, что наши измерительные инструменты гораздо лучше и могут измерять очень маленькие расстояния и времена, вроде одной миллионной доли сантиметра и одной миллиардной доли секунды. Представьте себе прогулку длительностью в долю секунды!
Рис. 11.2. Очень маленькая прогулка
Зачем ограничиваться долей секунды? Почему не идти дальше в мысленном эксперименте, доводя его до предела? Давайте вообразим измерение расстояния, которое кто-то проходит за бесконечно малое время, приближающееся к нулю, поскольку в это микроскопическое количество времени мы чрезвычайно близко подходим к его скорости в данной точке пространства и времени, что и составляет нашу цель.
Рис. 11.3. Бесконечно короткий путь
В течение этого бесконечно малого времени человек продвинется очень ненамного. Хотя доля секунды коротка, мы все равно можем сказать, что он продвинулся на некоторое расстояние, и, коль скоро никто не пытается действительно точно измерять это расстояние, мы можем говорить, что измеряем расстояние и время в одной точке. Поскольку скорость – это расстояние, деленное на время, мы получаем скорость более или менее в одной данной точке.
Но, возможно, вы очень придирчивый читатель или физик и говорите, что это невозможно. Одна миллиардная сантиметра – это все еще расстояние между двумя точками, а не одна точка. Я представляю себе, что Ньютон сказал бы: «Мы еще не закончили эксперимент. Доведем эксперимент до предела во времени, когда количество времени приближается к нулю. Когда мы подходим к нулевому времени движения, мы как раз и будем примерно в одной точке».
Математиков не беспокоит, можете ли вы на самом деле что-либо измерить; они просто стараются быть как можно более последовательными. Поэтому Ньютон разработал идею скорости в точке: скорость – это пройденное пространство, деленное на время, когда количество времени, требуемое для этого маленького путешествия, приближается к нулю. Повторим это еще раз:
В пределе, когда расстояние и время между двумя точками становятся очень малыми и приближаются к нулю, расстояние, деленное на время, представляет собой скорость в любой данной точке.
Это понятие предельного перехода позволяло Ньютону говорить, что скорость в данной точке можно определять путем деления расстояния на время, когда это время, в пределе, приближается к нулю (точное выражение Ньютона дано в примечании 2).
Возможно, вас интересует, почему я трачу так много времени, говоря об этих подробностях. Большинство физиков и математиков довольствуются тем, что сказано выше. Мы определили скорость в точке – это отношение расстояния ко времени, когда рассматриваемое время приближается к нулю. Мы дали некоторые советы относительно приблизительного измерения скорости – использовать точные линейку и часы и делать все, что в ваших силах. Чего же еще можно хотеть?
Но нам все еще есть, о чем задумываться. Я хочу знать больше о том, что в точности происходит, когда мы переходим от движения между двумя местами к плавному движению в данной точке. Сегодня нам известно, что измерение малых расстояний представляет собой проблему. Когда мы доходим до мгновенных и точных положений, нам приходится измерять вещи размером с атомы, которые даже невозможно увидеть. Когда вещи так малы, мы не можем измерять точно. Нам препятствует физическая реальность.
Иными словами, такой вещи, как точка, не существует! Точка – это понятие общепринятой реальности, плод математического воображения. В физической реальности не существует точек. То, что мы когда-то считали точкой, на самом деле содержит в себе миллионы атомов.
Тем не менее, чисто математическое мышление, в отличие от физики, не привязано к измерениям. Математика может свободно странствовать в сфере идей. И математика предполагает, что существует нечто вроде скорости в данной точке, даже хотя мы знаем, что в общепринятой реальности мы, в лучшем случае, можем получать среднюю скорость движения между двумя точками, когда время движения крайне мало. Понятие скорости в точке – это фантазия, а не реальность.
Позднее математики заменили термин Ньютона «флюксия» на «производную». Эта смена названия означает, что изучающие исчисление больше не слышат термин «флюксия» и рискуют забыть, что производные применяются к миру течения. Точнее говоря, флюксия или производная определяется в той таинственной точке, где мир постепенного движения сливается с миром непрерывного изменения.
Производная – это суть исчисления, математическое описание движения, имеющее решающее значение для всей науки и, в особенности, для физики. На этом этапе вы уже усвоили основы исчисления. Нам просто нужно помнить, что флюксия, позднее названная производной, представляет собой темп изменения чего-либо (например, расстояния) в данной точке в терминах чего-либо другого (например, времени).
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
Читайте также
Переход
Переход Идеализация может быть названа качеством бесконечности; но первая есть по существу процесс становления и потому переход, подобный переходу становления в существование, на который теперь и нужно указать. Как снятие конечности, т. е. конечности, и как таковой, а
9. Переход к последующему
9. Переход к последующему После того как мы многому научились у Гегеля, а еще больше того, сумели его критически истолковать, мы можем говорить об отдельных периодах истории античной эстетики уже с употреблением нашей собственной терминологии и с использованием наших
6. Переход к терминологии
6. Переход к терминологии В дальнейшем нам предстоит сложная задача – изобразить античную эстетику не только в ее принципиально–сущностном виде, но и в ее терминологической системе. До сих пор в анализе принципов и проблем античной эстетики мы, конечно, не могли не
§1. Переход от ума к душе
§1. Переход от ума к душе Все наше предыдущее исследование античного представления об уме везде подчеркивало обязательную неподвижность ума, его вечную устойчивость и независимость от всего прочего. Однако, рассмотрев ум в его неподвижности и вечной
§1. Переход к материи
§1. Переход к материи Если мы бросим общий взгляд на пройденный нами историко–терминологический путь, то нетрудно будет заметить, что все рассмотренные нами до сих пор термины в основном относятся к смысловой стороне действительности. Яснее всего это видно на терминах
§4. Переход к последующему
§4. Переход к последующему 1. Рассмотренные выше категории и общая сфера выражаемого Общий принцип античной эстетики, как известно, мы толкуем как принцип чувственно–материального космоса (выше, часть пятая, глава II, §5, п. 2) Но ведь во всем предыдущем изложении мы почти
3. Предельный характер понятий природы и искусства
3. Предельный характер понятий природы и искусства Что такое природа, которую мы обычно берем в ее фактическом состоянии? Природная вещь, если она берется фактически, только отчасти выражает свою идею. Идею вещи нельзя ощупать или понюхать, ее нельзя покрасить или разбить
в) Переход к единовластию
в) Переход к единовластию Конкрето абсолютной самодержавной власти одного человека вызывает во всякой душе, избравшей неведенье, такое искреннее восхищение и трепет, какого никогда не может вызвать группа правителей, делящих власть между собой. «Дай нам царя, чтобы он
Метасистемный переход
Метасистемный переход Этот раздел покажется странным в общем контексте. Однако читателю придется смириться с этим. Язык и понятия кибернетики становятся частью общего образования, как арифметика, и я думаю, что это очень многообещающее явление. Так как мне все-таки
Переход к социализму
Переход к социализму Капиталистическое общество подвергалось и подвергается интенсивной критике, в значительной мере вполне справедливой. Но если вдуматься в эту критику, то мы увидим, что она является критикой недостаточности капитализма, а не обличением активного
Переход в ученичество
Переход в ученичество – Воин перестает быть Воином и ощущает уже не гармонию уединения, а полное одиночество, ощущение, что он – это ничто. На самом деле – Великое Ничто. Вся прежняя картина мира рушится, не остается абсолютно ничего;– И когда он понимает, что он – это
1. Вера как предельный интерес
1. Вера как предельный интерес Вера — это состояние предельной заинтересованности: динамика веры — это динамика предельного интереса человека. Человек, как и всякое живое существо, заинтересован во множестве вещей, прежде всего в тех, от которых зависит само его
80. В чем предельный смысл философии?
80. В чем предельный смысл философии? В принципе, философствование – роскошь. Человек может еще и философствовать! Да кто же он тогда, этот человек?! Человек философствует – и этим почти все сказано. И какое это удивительное и загадочное дело –
Предельный переход в равенстве и неравенстве
Предельный переход в равенстве и неравенстве
Предельный переход в равенстве и неравенстве. Объединение 2 переменных xn и yn с равенством или неравенством означает, что мы всегда говорим о каждом значении, то есть о значении одного и того же числа. 1) если 2 переменные xy, yn всех этих изменений равны: xn = yn, и каждая из них имеет конечный предел. Itxp = а, 11b_ul = ^、 Эти ограничения будут равны: a-b. Продолжим непосредственно от единственности предела[36, 4)]. Эта теорема обычно используется в виде перехода к пределам равенства. из xn= yn мы заключаем, что шдя = и=туп.
Эта теорема устанавливает допустимость перехода неравенства (связанного с равенством) к пределу. Людмила Фирмаль
Теоремы 1, 2 и 3 могут быть легко расширены в случае бесконечного предела. Людмила Фирмаль
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Предельный переход в физике
Предельный переход в физике
о Я только знаю об этой функции до сих пор. Решения некоторых линейных дифференциальных уравнений Частные деривативы. В классической механике, элек Трон считается частицей движущегося вещества Вдоль траектории полностью определяется уравнение движения.
Изнашивание между квантовой механикой и классической механикой Место в электродинамике между волной и Людмила Фирмаль
В некотором смысле, отношения, которые напоминают отношения геометрическими манипуляциями Tikoi. В волновой оптике, электромагнитных волнах Вектор электрического поля и магнитного поля, Определяется конкретной системой линейных производных Уравнение (уравнение Максвелла).
Геометрическая оптика учитывает распространение света по определенной траектории Для лучей. Подобные аналогии приводят к выводам Что такое критический переход от квантовой механики к классической Это происходит так же, как переход от волновой оптики к геометрии Богатый ключ.
Это математически выражается большим изменением ip на коротких расстояниях. Это, в частности, означает, что абсолютное значение фазы считается большим. Поэтому мы В квантовой механике существует волновая функция вида Φ = aeg Людмила Фирмаль
Основываясь на этой аналогии, фаза
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Что такое предельный переход
то она называется бесконечно малой последовательностью.
Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на последовательность, сходящуюся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.
Из этой теоремы, в частности, следует, что произведение постоянной величины на бесконечно малую, так же как произведение нескольких бесконечно малых друг на друга, является бесконечно малой величиной. Действительно, постоянная величина всегда есть величина ограниченная. То же относится и к бесконечно малой. Поэтому, например, произведение двух бесконечно малых можно истолковать как произведение бесконечно малой на ограниченную.
Теорема 3. Частное от деления последовательности, сходящейся к нулю, на последовательность, имеющую предел, отличный от нуля, есть последовательность, сходящаяся к нулю.
Следующая теорема позволяет использовать бесконечно малые при доказательствах теорем о пределах (теоремы 6-8).
Теорема 4. Общий член последовательности, имеющей предел, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины.
Из определения предела следует:
а это и доказывает нашу теорему.
Теорема 5. Если общий член последовательности отличается от какой-либо постоянной величины на бесконечно малую величину, то эта постоянная является пределом данной последовательности.
Рекомендуем пользователю доказать эту теорему самостоятельно.
Теперь мы рассмотрим правила предельного перехода, сформулированные в следующих трех теоремах.
Теорема 6. Предел суммы двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен сумме этих пределов:
Тогда на основании теоремы 4 мы можем записать:
$u_
$u_
а это и нужно было доказать.
Доказательство, которое мы сейчас провели, можно без труда обобщить на случай алгебраической суммы любого числа заданных последовательностей.
Теорема 7. Предел произведения двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен произведению пределов этих последовательностей:
$u_
что и требовалось доказать.
Доказательство в случае большего числа сомножителей проводится аналогичио.
Из теоремы 7 вытекает
Следствие. Постоянный множитель выносится за знак предела:
(можно рассматривать постоянный множитель как член постоянной последовательности и применить теорему 7 и положение о том, что предел постоянной последовательности равен ее членам).
Теорема 8. Предел частного двух последовательностей, имеющих предел, равен частному от деления этих пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.
Записать утверждение этой теоремы можно так: если