Что такое предел отношения

Что означает предел в математике

Сага о погрешностях при участии слова lim

Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной.

Что такое предел в математике

Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Самое простое объяснение функции в математике.

👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.

Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности

Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.

Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

График и предел

Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.

Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.

Погрешность в пределах

В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.

Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Считаем предел в программировании

Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).

Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:

Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

⚠️ Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.

С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.

Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.

Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияПрограмма справилась и выдала результат с нужной нам точностью

Источник

Предел функции.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x0, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x0, и которая сходится к точке x0 (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x0 в случае, если для всякой последовательности точек Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, которая сходится к x0, но которая не содержит x0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x0), последовательность значений функции Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениясходится к A.

Предел функции по Коши.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Ответ Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Необходимо рассчитать предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Таким образом, числитель будет таким:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Ответ Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Решение пределов функции.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Источник

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения.
2) Записи под значком предела, в данном случае Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения).
3) Функции под знаком предела, в данном случае Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения.

Сама запись Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениячитается так: «предел функции Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияпри икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, затем Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, …, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разбираемся, что такое Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения? Это тот случай, когда Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениянеограниченно возрастает, то есть: сначала Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, потом Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, потом Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, затем Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияи так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения?
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, …

Итак: если Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, то функция Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениястремится к минус бесконечности:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениябесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Опять начинаем увеличивать Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениядо бесконечности и смотрим на поведение функции:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Вывод: при Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияфункция Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениянеограниченно возрастает:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, попробуйте построить последовательность Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения. Если Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, то Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения.

! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, то все равно Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияи т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

Пределы с неопределенностью вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияи метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Вычислить предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения. Можно было бы подумать, что Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияв старшей степени:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияв старшей степени:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениянеобходимо разделить числитель и знаменатель на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияв старшей степени.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Разделим числитель и знаменатель на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Вот оно как, ответ Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Найти предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Снова в числителе и знаменателе находим Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияв старшей степени:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияделим числитель и знаменатель на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения.
Полное оформление задания может выглядеть так:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разделим числитель и знаменатель на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Найти предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияможно записать как Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения)
Для раскрытия неопределенности Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениянеобходимо разделить числитель и знаменатель на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разделим числитель и знаменатель на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Под записью Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияподразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияу нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияи метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Сначала находим дискриминант:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
И квадратный корень из него: Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения.

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Таким образом:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияуже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Очевидно, что можно сократить на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разложим числитель на множители.
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Вычислить предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Сначала «чистовой» вариант решения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Знаменатель:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Найти предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Получена неопределенность вида Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения, которую нужно устранять.
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияиспользуют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
И смотрим на наш предел: Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что можно сказать? Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияу нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения(которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношениямы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Неопределенность Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношенияне пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Найти предел Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Разложим числитель на множители:
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения
Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения

Спасибо за внимание.

Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Что такое предел отношения. Смотреть фото Что такое предел отношения. Смотреть картинку Что такое предел отношения. Картинка про Что такое предел отношения. Фото Что такое предел отношения Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *