Что такое порядок циклической группы

Циклическая группа

Смотреть что такое «Циклическая группа» в других словарях:

Циклическая группа — В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n целое число).… … Википедия

циклическая группа — ciklinė grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. cyclic group vok. zyklische Gruppe, f rus. циклическая группа, f pranc. groupe cyclique, m … Fizikos terminų žodynas

ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа с одним образующим. Все Ц. г. абелевы. Всякая конечная группа простого порядка Ц. г. Существует по одной, с точностью до изоморфизма, Ц. г. каждого конечного порядка пи одна бесконечная Ц. г., изоморфная аддитивной группе целых чисел.… … Математическая энциклопедия

ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… … Физическая энциклопедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Конечная группа — Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия

Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

Циклические подгруппы

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком. Любая подгруппа конечной группы конечна. И если НÍG – подгруппа группы G, то для любого элемента аÎG множество Н_а=<х: x=h◦a, для любых hÎH> называется левым классом смежности для G относительно Н. Понятно, что число элементов в Н_а равно порядку Н. (Аналогично можно сформулировать определение _аН – правого класса смежности относительно Н).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н.

Теорема 2.6.1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н. В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н. Поэтому, если n – порядок группы G, а k – порядок подгруппы Н, то n=m×k, где m – число классов смежности по Н в разложении группы G.

Если для любого элемента aÎG Þ Н_a = _аН (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G.

Утверждение: если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G.

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а◦b◦c) =(а◦b)◦c = а◦(b◦c). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а₁◦а₂◦…◦а_n = ◦ а_n = = ◦.

В аддитивной группе аналогом степени элемента a n будет n‑кратное к нему, обозначаемое обычно na, которое не стоит воспринимать как произведение n на а, поскольку nÎℕ и, возможно, nÏG. Т.о. na⇋, где nÎℕ, и 0а=е⇋0, и (‑n)a = ‑(na) = n(‑a) для любого натурального n, где (‑a) – обратный к aÎG.

Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел m и n и для любого aÎG выполняются известные свойства: а) при мультипликативной записи a n ◦a m = a n + m и (a n ) m = a nm ; б) при аддитивной записи na+ma = (n+m)a и n(ma)=(nm)a.

Подгруппа А_g называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом g. Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой, порожденной элементом g.

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка.

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g k =g m при k>m, то g k ‑ m =e; и, обозначив k-m через n, получим g n =e, nÎℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что g n =e, называется порядком элемента g, а сам элемент g называется элементом конечного порядка.

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими.

1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка <e>, порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е.

2) Рассмотрим группу подстановок S₃, состоящую из элементов: , , , , , . Порядок S₃=6. Порядок элемента а равен 2, т.к. . Порядок элемента b также равен 2, т.к. . Порядок элемента с равен 3, т.к. и . Порядок элемента f также равен 3, т.к. и . И, наконец, порядок d равен 2, т.к. . Тем самым, циклические подгруппы S₃, порожденные элементами e, a, b, d, c и f, соответственно равны: <e>, <e, a>, <e, b>, <e, d>, <e, c, f> и <e, f, c>, где последние две совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической подгруппы, порожденной им, совпадают).

Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. g m =g nk =e k =e, где m – порядок группы, n – порядок элемента g, k – целое число).

В группе S₃ подгруппа Н=<e, c, f> является нормальным делителем, а подгруппы 2‑го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента группы. Например, для элемента а левый класс смежности Н_а=<е ◦ а, с ◦ а, f ◦ a> = <а, b, d> и правый класс смежности _аН=<а ◦ е, а ◦ c, а ◦ f> = <а, d, b> совпадают. Аналогично для всех остальных элементов S₃.

3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое число кратно 1.

4) Рассмотрим множество корней n‑ой степени из единицы: Е_n=. Это множество является группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов e_k и e_m из E_n, где k, m £ n‑1, также будет элементом E_n, поскольку = = , где r=(k+m) mod n и r £ n‑1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент е=e₀=1 и для любого элемента e_k имеется обратный и . Эта группа циклическая, её порождающим элементом является первообразный корень . Нетрудно видеть, что различными являются все степени: , далее для k³n корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни расположены на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано на рисунке 11.

Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.2. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.

Пусть теперь (G, ∘ ) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g. Тогда каждому элементу g k ÎG единственным способом можно сопоставить элемент e_kÎE_n (0£k k )=e_k. И при этом для любых g k и g m ÎG следует, что f(g k ∘ g m )= f(g k ) ∘ f(g m ), поскольку f(g k ∘ g m )= f(g k + m )= f(g r ), где r=(k+m) mod n, и f(g r )=e_r=e_k×e_m. Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.

Источник

Что такое порядок циклической группы

Покажем, что всякая подгруппа циклической группы тоже циклическая.

ТЕОРЕМА 3.7. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.

Доказательство. Пусть — мультипликативная циклическая группа с образующим элементом а. Пусть — подгруппа группы 5. Теорема, очевидно, верна, если Я содержит только один элемент. Предположим, что Я содержит более одного элемента, Подгруппа содержит хотя бы одну положительную степень элемента а, ибо если то . Пусть — элемент из Я с наименьшим положительным показателем степени s. Всякий элемент из Я есть элемент вида . Если , то s делит k. В самом деле, по теореме о делении с остатком (теорема 4.4.4), для чисел k и s существуют такие целые числа q и , что

Ввиду . Так как то в силу выбора числа s значит, . Таким образом, множество состоит из степеней элемента . Следовательно, является циклической группой с образующим элементом

© 2021 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Источник

ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА

Смотреть что такое «ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА» в других словарях:

Циклическая группа — В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n целое число).… … Википедия

циклическая группа — ciklinė grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. cyclic group vok. zyklische Gruppe, f rus. циклическая группа, f pranc. groupe cyclique, m … Fizikos terminų žodynas

Циклическая группа — (математическая) Группа, все элементы которой являются степенями одного из её элементов. Примером конечной Ц. г. служит совокупность корней n й степени из единицы. Группа целых чисел, рассматриваемая по сложению, образует бесконечную Ц. г … Большая советская энциклопедия

ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… … Физическая энциклопедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Конечная группа — Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия

Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

Циклические группы. Группы подстановок

Пусть G —группа, H и F — ее подгруппы. Тогда пересечение D=H∩F непустое, поскольку оно содержит единичный элемент. D также является подгруппой группы G. Действительно, если элементы а и b принадлежат D, то их произведение и обратные им элементы содержатся как в H, так и в F, и поэтому также принадлежат D. Аналогично доказывается и следующее утверждение.

Теорема. Пересечение любого множества подгрупп группы G само является подгруппой этой группы.

Пусть S — произвольное непустое подмножество группы G. Рассмотрим всевозможные подгруппы G, которые содержат S в качестве подмножества. Одной из них будет, в частности, сама группа G. В силу теоремы пересечение всех таких подгрупп будет подгруппой G, которая называется подгруппой, порожденноймножеством S, и обозначается .

Если множество S состоит из одного элемента а, то порожденная им подгруппа называется циклической подгруппой, порожденной элементом а.

Случай m>0, n>0 аналогичен предыдущему. Доказательство второго равенства предлагается провести самостоятельно.

Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп
(т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов), называется циклической, а элемент, из степеней которого состоит циклическая группа,— ее образующим. Всякая циклическая группа коммутативна.

1. Группа (Z, +, 0) — циклическая. Ее образующий элемент — число 1. Это бесконечная группа. В качестве ее образующего можно взять число 1.

2. Рассмотрим множество квадратных матриц второго порядка с целыми элементами и определителем, равным 1. Это группа относительно операции умножения матриц (покажите сами). Тогда матрица А = порождает бесконечную циклическую подгруппу, при этом A n = .

Теорема. Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Рассмотрим еще один важный класс групп.

и имеем . В то же время , так что . Единичную (тождественную) подстановку обозначаем е= . Симметрическая группа степени п обозначается S_n и содержит n! элементов.

Пример. Группа S₃ состоит из следующих шести элементов:

a₁=e= , a₂= , a₃= , a₄= , a₅= , a₆=

Для подстановки имеем

, =e.

Тогда (2) =4, 2 (2) =5, (2) =2.

В подстановке элементы 1 и 3 остаются на месте, элемент 2 переходит в 4, элемент 4 — в 5, а элемент 5 — снова в 2. Такая подстановка называется циклом (245) длины 3. Этот же цикл можно записать и так: (452), (524).

В общем случае подстановка , перемещающая элементы j₁, j₂,…,j_k так, что (т. е. где k — наименьшее число, обладающее этим свойством), и оставляющая на месте остальные элементы, называется циклом длины k и обозначается (j₁,…,j_k). Циклы называются независимыми, если любые два из них не имеют общих переставляемых элементов.

Теорема. Каждая подстановка в S_n является произведением независимых циклов. Разложение подстановки в произведение циклов длины 2 определено однозначно с точностью до порядка циклов.

Два элемента i и j множества X называются эквивалентными относительно подстановки , если j= для некоторого целого числа s. Введенное отношение есть отношение эквивалентности на множестве X. Оно разбивает множество X на классы эквивалентности по этому отношению: . Каждый элемент i принадлежит одному и только одному классу X_l, причеммножество X_l состоит из образов элемента i при действии степеней подстановки где k_l – количество элементов в X_l. Множество X_l часто называют . В каждом классе эквивалентности X_r выберем по одному представителю i_r и подставим ему в соответствие цикл соответствующей длины k_r. Любой элемент, не принадлежащий X_r, остается на месте при действии степеней . Тогда подстановка есть произведение циклов

(8.4.1.)

Замечание. Если цикл имеет длину 1, то он действует как тождественная подстановка, Такие циклы в записи можно опускать, например:

=(156)(38)(47)(2)=(156)(38)(47).

Докажем единственность. Пусть

(8.4.2.)

Цикл длины 2 называется транспозицией. Любой цикл можно записать в виде произведения транспозиций, например:

(1 2. t-1 t)=(1 t)(1 t-1). (1 3)(1 2).

Тогда из теоремы вытекает

Следствие. Каждая подстановка в S_n является произведением транспозиций.

Пример. В группе S₄ (123)=(13) (12)=(23) (13)=(13) (24) (12) (14).

Разложение в произведение транспозиций не является единственным.

(8.4.3)

для любых двух подстановок и .

Подстановка называется четной, если , и нечетной, если . Все транспозиции – нечетные подстановки.

Множество четных подстановок степени n образуют подгруппу A_n, которая называется знакопеременной. Действительно, согласно (8.4.3), поскольку Множество нечетных подстановок не образует группу, так как произведение двух нечетных подстановок есть четная подстановка.

Источник