Порядок действий в математике
В данной публикации мы рассмотрим правила в математике касательно порядка выполнения арифметических действий (в том числе в выражениях со скобками, возведением в степень или извлечением корня), сопроводив их примерами для лучшего понимания материала.
Порядок выполнения действий
Отметим сразу, что действия рассматриваются от начала примера к его концу, т.е. слева направо.
Общее правило
сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание полученных промежуточных значений.
Над каждым действием мы написали число, которое соответствует порядку его выполнения, т.е. решение примера состоит из трех промежуточных действий:
Немного потренировавшись в дальнейшем можно все действия выполнять цепочкой (в одну/несколько строк), продолжая исходное выражение. В нашем случае получается:
2 ⋅ 4 + 12 : 3 = 8 + 4 = 12.
Если подряд идут несколько действий умножения и деления, то они также выполняются подряд, и их можно объединить при желании.
Примеры со скобками
Действия в скобках (если они есть) выполняются в первую очередь. А внутри них действует все тот же принятый порядок, описанный выше.
Решение можно разбить на действия ниже:
При расстановке действий выражение в скобках можно условно воспринимать как одно целое/число. Для удобства мы выделили его в цепочке ниже зеленым цветом:
Скобки в скобках
Иногда в скобках могут быть еще одни скобки (называются вложенными). В таких случаях сперва выполняются действия во внутренних скобках.
Раскладка примера в цепочку выглядит так:
Возведение в степень/извлечение корня
Данные действия выполняется в самую первую очередь, т.е. даже до умножения и деления. При этом если они касаются выражения в скобках, то сначала производятся вычисления внутри них. Рассмотрим пример:
Числовые и буквенные выражения. Порядок действий.
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел и знаков действий, а также скобок.
Пример №1. В каждом из этих выражений содержатся числа, между которыми есть знаки действий, а также бывают скобки. Это и есть числовые выражения.
Если выполнить по порядку все действия, которые есть в числовом выражении, то получится определенное число, которое называют значением числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях определяется правилами.
Действия сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление – действиями второй ступени. Возведение в степень – это действие третьей ступени.
Порядок действий в выражении, не содержащем скобки
890 – 567 + 2340 – 124
в данном выражении действия одной ступени (сложение и вычитание), поэтому выполняем их по порядку слева направо:
в этом выражении также действия одной ступени (умножение и деление), поэтому выполняем их по порядку слева направо:
здесь присутствуют действия всех ступеней. Поэтому начинаем выполнять их с наивысшей ступени – возведения в степень. Затем слева направо выполняем деление и умножение, а затем слева направо – сложение и вычитание:
Порядок действий в выражении, содержащем скобки
Если числовое выражение содержит скобки, то выполняют сначала действия в скобках, следуя правилу, а затем – действия за скобками.
(3245 + 67,92:2)×3 + (126×2 – 321:3) – 125
здесь числовое выражение содержит скобки, поэтому действия выполняем в скобках слева (деление, затем сложение), затем в скобках справа (умножение, деление, вычитание):
Теперь выполняем действия за скобками слева направо (умножение, сложение, вычитание):
Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения.
Выражения, содержащие не только числа и знаки действий, но и буквы, называют буквенными. Буквы также можно называть «переменная». Обращаем внимание на то, что знак «умножить» между числом и буквой не пишется.
Пример №6. Примеры буквенных выражений:
Числовое значение буквенного выражения – это значение числового выражения, полученного при подстановке конкретных значений переменной в данное выражение.
Пример №7. Найдем значение выражения с + х при с=23, х=0,17. Для этого подставим вместо с и х их данные числовые значения и получим числовое выражение 23 + 0,17. Теперь вычислим результат и получим 23,17. Таким образом, числовое значение буквенного выражения с + х равно 23,17.
Пример №8. Н айдем значение выражения 11х +(с — d) при х=10, c=178, d=121. Для этого подставляем вместо каждой переменной соответствующие числовые значения и получим числовое выражение 11×10 + (178 – 121). Выполнив действия, получим ответ 167. Это и есть числовое значение буквенного выражения.
Заметим, что и числовые и буквенные выражения можно называть еще как алгебраические выражения.
В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:
(x + 5) 2 — x (x — 10) = x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x
Затем приведем подобные слагаемые:
x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x = 20 x + 25
Далее подставим x из условия:
20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На координатной прямо отмечены числа a и b:
Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно:
Для удобства решения необходимо оценить данные нам числа. Из координатной прямой видно, что a > 0, так как расположено справа от ноля, а b 0
Значит, утверждение неверно.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Порядок действий
В уроке выражения мы узнали, что они бывают числовые и буквенные. Мы рассмотрели несколько числовых и буквенных выражений. Это были самые простейшие выражения.
Настало время сдвинуться с мёртвой точки и рассмотреть более сложные выражения. В данном уроке мы познакомимся с порядком выполнения действий.
Выражения могут состоять из нескольких чисел. Таковыми к примеру являются следующие выражения:
10 − 1 + 2 + 3
(3 + 5) + 2 × 3
5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1
Для подобных выражений принято соблюдать так называемый порядок действий. Суть в том, что выражение вычисляется кусочками по определённому порядку.
Когда нам требуется решить подобные примеры, мы сразу должны мысленно прочитать следующее правило:
Сначала вычислить то, что находится в скобках!
Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!
Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Видим, что в нём нет никакого умножения или деления. Тогда переходим к следующему правилу:
Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же выполняем эту операцию!
Затем снова читаем те, правила, которые мы прочитали выше. Читать их нужно в следующем порядке:
1. Сначала вычислить то, что находится в скобках!
2. Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же применяем эту операцию!
3. Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же применяем эту операцию!
Таким образом, значение выражения 10 − 1 + 2 + 3 равно 14
10 − 1 + 2 + 3 = 14
Иногда удобно расставить порядок действий над самим выражением. Для этого над операцией, которую необходимо выполнить, указывают её очередь. К примеру, в выражении 10 − 1 + 2 + 3 все действия выполняются последовательно слева направо, поэтому для него можно определить следующий порядок:
И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:
1) 10 − 1 = 9
2) 9 + 2 = 11
3) 11 + 3 = 14
Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий. Например, решение для выражения 10 − 1 + 2 + 3 можно записать следующим образом:
Но если человек не научился быстро считать в уме, то не рекомендуется использовать такой способ.
Пример 2. Найти значение выражения (3 + 5) + 2 × 3
Применим правила порядка действий. Прочитаем правила в порядке их приоритета.
Сначала вычислить то, что находится в скобках!
8 + 2 × 3
Снова читаем первое правило:
Сначала вычислить то, что находится в скобках!
Видим, что в выражении 8 + 2 × 3 нет никаких скобок. Тогда читаем следующее правило:
Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!
8 + 6
Осталось простейшее выражение 8 + 6, которое вычисляется легко:
Таким образом, значение выражения (3 + 5) + 2 × 3 равно 14
(3 + 5) + 2 × 3 = 14
Также, этот пример можно решить, расставив порядок действий над самим выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, а сумма — третьим:
И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:
1) 3 + 5 = 8
2) 2 × 3 = 6
3) 8 + 6 = 14
Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:
Но опять же, используя такой способ, нужно быть очень внимательным.
Пример 3. Найти значение выражения 5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1
Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, деление — третьим действием, четвёртое и пятое действие являются суммами и они будут выполнены в порядке их следования:
1) 5 − 3 = 2
2) 5 × 2 = 10
3) 2 : 2 = 1
4) 10 + 1 = 11
5) 11 + 1 = 12
Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:
Пример 4. Найти значение выражения (3250 − 2905) : 5
Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, а деление — вторым
1) 3250 − 2905 = 345
2) 345 : 5 = 69
В скобках могут выполняться два и более действия. Бывает даже так, что в скобках встречаются другие скобки. В таких случаях нужно применять те же правила, которые мы изучили ранее.
Пример 5. Найти значение выражения (6 411 × 8 − 40799) × 6
Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется умножение и вычитание. Согласно порядку действий, умножение выполняется раньше вычитания.
В результате будем иметь следующий порядок:
1) 6 411 × 8 = 51 288
2) 51 288 − 40 799 = 10 489
3) 10 489 × 6 = 62 934
Пример 6. Найти значение выражения: 1 657 974 : 822 × 106 − (50 377 + 20 338)
Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, деление будет вторым действием, умножение — третьим, вычитание — четвёртым.
1) 50 377 + 20 338 = 70 715
2) 1 657 974 : 822 = 2 017
3) 2 017 × 106 = 213 802
4) 213 802−70 715 = 143 087
Пример 7. Найти значение выражения: 14 026 − (96 : 4 + 3680)
Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется деление и сложение. Согласно порядку действий деление выполняется раньше сложения.
В данном случае сначала нужно 96 разделить на 4, и полученный результат сложить с 3 680. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат нужно вычесть из 14 026. В результате будем иметь следующий порядок:
1) 96 : 4 = 24
2) 24 + 3 680 = 3 704
3) 14026 − 3 704 = 10 322
Порядок действий
Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.
Порядок действий без скобок
Установленный порядок арифметических действий без скобок:
Порядок действий со скобками
Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.
В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.
Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.
Дробная черта
Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:
Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:
нельзя заменить на
потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.
| 20 : 4(2 + 3) ≠ | 20 | ; |
| 4(2 + 3) |
| 20 | = 20 : (4(2 + 3)). |
| 4(2 + 3) |
Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.
Порядок действий
При расчётах примеров нужно соблюдать определённый порядок действий. С помощью правил ниже, мы разберёмся в каком порядке выполняются действия и для чего нужны скобки.
Если в выражении скобок нет, то:
Рассмотрим порядок действий в следующем примере.
Напоминаем вам, что порядок действий в математике расставляется слева направо (от начала к концу примера).
При вычислении значения выражения можно вести запись двумя способами.
Первый способ
При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.
Второй способ
Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.
Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.
Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.
Порядок действий и возведение в степень
Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то: