Что такое плоскость в геометрии 7 класс определение

Плоскость

Понятие плоскости

поверхность школьной доски:

Эти поверхности ограничены, у них есть края. Но представление о плоскости мы имеем с их помощью.

Только плоскость простирается безгранично (в любом направлении, заданном на этой плоскости).

Понятие плоскость принадлежит к числу основных понятий геометрии.

Обозначение плоскости

Конечно, нарисовать плоскость, у которой нет краев, невозможно. Поэтому, при изображении плоскости, рисуют только ее часть:

Обозначается плоскость строчными буквами греческого алфавита – α (альфа), β (бета), γ (гамма) и т.д.:

Буквы пишут либо рядом с плоскостью, либо на плоскости.

Определение плоскости

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. ( то есть, любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит ей).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Плоскость

Всего получено оценок: 104.

Всего получено оценок: 104.

Плоскость – это основная единица планиметрии. Для правильного восприятия сложных фигур, таких как, пирамида, конус или призма, необходимо понимать и, главное, представлять себе, что такое плоскость.

Определение плоскости

Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.

Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.

Из плоскостей в планиметрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.

Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планиметрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планиметрия – это геометрия объемных фигур.

Способы задания плоскостей

Плоскость может быть задана тремя точками, нележащими на одной прямой. Из этого утверждения следуют еще два варианта задания плоскостей. При этом специального знака плоскостей не существует.

Плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, тогда одной точкой будет служить точка пересечения прямых, а двумя другими произвольные точки на одной и второй прямой.

Еще один вид это задание прямой и точкой, нележащей на этой прямой. По аналогии со вторым вариантам: одна точка уже есть и не лежит на прямой, а две других это произвольные точки имеющейся линии.

Рис. 1. Способы задания плоскостей.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.

Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.

Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.

Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.

Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.

Рис. 3. Расположение плоскостей.

Что мы узнали?

Мы дали определение и привели примеры плоскости. Выделили варианты пересечения прямой и плоскости и пересечения плоскостей. Привели несколько признаков, относящихся с плоскостям и разобрали все случаи существования плоскостей в пространстве.

Источник

Основные понятия геометрии. Понятие точки, прямой и плоскости

Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.

К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия.

Прямая и плоскость безграничны, поэтому на чертеже изображают часть.

Точка – это самая простая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура – это множество точек, обладающих определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком (или отрезком прямой). Основное свойство отрезка – это его длина. Длина отрезка – это расстояние между его концами. Измерить отрезок – это значит установить его длину в определенных единицах. Основные единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км).

Отрезок изображается так:

Луч – это направленная полу прямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два противоположно направленных луча. Такие лучи называются дополнительными.

Плоскость, как и прямая, – это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, невозможно увидеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную геометрическую фигуру:

Взаимное расположение прямой и точки

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости:

– либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку);

– либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Аксиома – это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

Основные свойства принадлежности точек и прямых

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости

Основные свойства измерения отрезков

Основные свойства откладывания отрезков

Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы.

Источник

Плоскость

Содержание

Все геометрические фигуры в планиметрии принадлежат одной, самой большой, бесконечной во всех направлениях фигуре – плоскости. Образно плоскость можно представить как тетрадный лист, но только бесконечно большой. Плоскость не имеет толщины, а её длина и ширина – бесконечно велики.

Аксиома 4:

Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости, лежащие по обоим сторонам прямой

Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита, а полуплоскости – теми же буквами, но с индексами «1» или «2». В планиметрии все фигуры лежат в одной плоскости, потому плоскость как таковая в задачах появляется редко.

Примеры задач

Задача 1

Условие: Три точки: А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=43 см, АС=75 см, ВС=32 см.

Вопрос: Какая из двух точек лежит между двумя другими?

Короткая запись условия:

Вопрос к задаче лучше написать полностью.

Чертёж: в чертеже нужно максимально точно и полно отразить все данные, содержащиеся в условии:

Фактически, данная задача будет решаться по мере построения

Решение:

Нам известно, что из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна находится между двумя другими: это – вторая аксиома планиметрии. Наша задача – определить, какая именно точка лежит между двумя другими.

Также нам известно, что между любыми двумя точками можно начертить отрезок, и что этот отрезок будет принадлежать той же прямой, что и точки его начала и конца. Следовательно, в нашем случае отрезок будет принадлежать прямой «а»: все точки принадлежат этой прямой по условию.

На основании третьей аксиомы геометрии мы знаем, что длина отрезка, отличная от нуля, равна сумме длин отрезков, на которые его делит некая принадлежащая ему точка.

Следовательно, самое большое расстояние должно быть между крайними точками отрезка, а меньшие – между одной из крайних и промежуточной.

Самый большой отрезок – АС. Значит, точка В лежит между точками А и С.

Задача 2

Условие: Есть прямая. Точки А, В и С не принадлежат этой прямой. Отрезок АВ пересекает прямую, отрезок АС не пересекает прямую.

Вопрос: пересекает ли прямую отрезок ВС?

Короткая запись условия:

Чертеж

В записи этой задачи мы в полной мере встречаемся с очень большой проблемой планиметрии: с тем, что приходится многое домысливать, но не произвольно, а так, что бы это соответствовало условию задачи. И затем следовать своим домыслам, как если бы они были частью условия.

Часто школьникам бывает это не понятно. Они говорят: «Откуда взялась плоскость α? Ведь о ней не упоминается в условии?» или «Откуда мы знаем, что точка А принадлежит именно полуплоскости α1?»

Все дело в том, что на самом деле не важно для решения задачи, как именно назвать плоскость. И с какой стороны отметить первую точку. Лишь бы все остальные шаги построения чертежа и логика решения не противоречили первому шагу. Планиметрия – наука о воображаемых вещах. Но воображаемых научно – с оглядкой на уже известные факты.

Мы решили задачу, но не только. На примере этой задачи мы ясно увидели ещё одну трудность, с которой сталкиваются учащиеся при изучении планиметрии: необходимо помнить все определения и теоремы, изученные на предыдущих уроках, чтобы решать задачи из уроков последующих. Притом помнить настолько хорошо, чтобы пользоваться или в любой момент при построении своих рассуждений. Это действительно нелегко и требует развитой памяти.

Но памяти можно помочь: заведите отдельную тетрадь для записи всех определений, аксиом и теорем, чтобы вы в любую минуту могли отыскать подходящий инструмент для решения новых задач. Держите тетрадку всегда под рукой

Источник

Плоскость в пространстве – необходимые сведения

Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.

Понятие плоскости и ее обозначения

Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.

Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга

Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:

В любой плоскости есть точки.

Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.

Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:

Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Графически последнюю аксиому можно представить так:

Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:

Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.

Графически этот вариант расположения выглядит так:

Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.

Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.

Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга

1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.

2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.

На графике это будет выглядеть так:

В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.

Как задать плоскость в пространстве

В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.

1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.

Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:

2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:

3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:

4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.

На рисунке этот способ будет выглядеть так:

Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:

Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.

Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).

Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:

Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.

Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.

Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.

Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.

Источник