Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния парамСтричСского уравнСния прямой, Ссли извСстны Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ этой прямой ΠΈΠ»ΠΈ Ссли извСстна ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ этой прямой. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ прСобразования уравнСния Π² парамСтричСском Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π² каноничСский ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой L Π½Π° плоскости прСдставляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅(1)

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ записи уравнСния прямой Π² парамСтричСском Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Ρ‚.Π΅ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° q Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ нуля.

Для построСния прямой Π½Π° плоскости Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ парамСтричСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (1), достаточно Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ t Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ значСния, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ x ΠΈ y ΠΈ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию. ΠŸΡ€ΠΈ t=0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M1(x1, y1) ΠΏΡ€ΠΈ t=1, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M2(x1+m, y1+p).

Для составлСния парамСтричСского уравнСния прямой Π½Π° плоскости L достаточно ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° прямой L ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ прямой L. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС, для построСния парамСтричСского уравнСния прямой Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1). Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС сначала Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой q=<m, p>, вычисляя разности ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ M1 ΠΈ M2: m=x2βˆ’x1, p=y2βˆ’y1(Рис.1). Π”Π°Π»Π΅Π΅, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ) ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° q прямой Π² (1).

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

МоТно Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ парамСтричСского уравнСния прямой, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Для этого подставим значСния m=x2βˆ’x1, p=y2βˆ’y1 Π² (1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M1(x1, y1) ΠΈ M2(x2, y2):

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M=(3,βˆ’1) ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ q=<βˆ’3, 5>. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой.

РСшСниС. Для построСния парамСтричСского уравнСния прямой, подставим ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1):

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M1=(βˆ’5, 2) ΠΈ M2=(βˆ’2, 3). ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой.

РСшСниС. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (2). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ M1 ΠΈ M2 Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2):

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Упростим ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ парамСтричСского уравнСния Π½Π° плоскости ΠΊ каноничСскому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t Π² (1) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ x ΠΈ y:

Из Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (3), ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ смотритС здСсь.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости прСдставлСна ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ парамСтрчСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΊ каноничСскому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ.

РСшСниС: Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ x ΠΈ y:

Из Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (5), ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ парамСтричСского уравнСния Π½Π° плоскости ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ

Для привСдСния парамСтричСского уравнСния прямой Π½Π° плоскости ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… (1) Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y ΠΈ подставим Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния (6) Π½Π° p ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ элСмСнты уравнСния:

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ обозначСния: A=p, B=βˆ’m, C=βˆ’px1+my1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ смотритС здСсь.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости прСдставлСна ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ парамСтрчСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ.

РСшСниС: Π’ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (9) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: x1=βˆ’5, y1=0, m=4, p=βˆ’2. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ эти значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (7):

Упростив Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (10) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой (9):

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ описаниС

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ прямая линия прСдставляСт собой ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пространства ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ нСбольшой Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹. Он являСтся Π½Π΅ΠΎΡ‚ΡŠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ прямой. ВсС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² зафиксированных Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ прямыми. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ всС тонкости ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ парамСтризация (ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ с использованиСм ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² элСмСнтов ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ).

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ принято Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько разновидностСй ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ парамСтричСского Ρ‚ΠΈΠΏΠ°. Π‘ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой Π² Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС. БпСциалисты Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ разновидности ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ парамСтричСского уравнСния прямой Π² пространствС Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ объяснСнии Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹. НСлишним Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ связь парамСтричСского уравнСния с симмСтричным. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ случаС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ свои ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ нСльзя ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· внимания.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ особСнности

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой К Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ: Π²=Π²1+nr/c=c1+wr. Π’ этом случаС Π²1 ΠΈ с1 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M1 Π½Π° прямой К. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ q= считаСтся Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ элСмСнтом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° К. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ символ r ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈ записи уравнСния Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ. Для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ построСния ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° повСрхности Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, которая Π±Ρ‹Π»Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ уравнСниями, достаточно Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ r Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΈ с, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° плоскости К, достаточно ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ). Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ всС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ситуации Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ для прямой q=. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ М1 ΠΈ М2: Π²=Π²2-Π²1, w=с2-с1. ПослС этого остаётся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (q).

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ парамСтричСского уравнСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½Π° линия ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ сразу Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ значСния m= Π²2-Π²1, w=с2-с1. Π—Π° счёт этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° плоскости, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М1 (Π²1, с1) ΠΈ М2 (Π²2, с2). РСшСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ считаСтся элСмСнтарным, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΎ всСх Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°Ρ….

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°

ВсС разновидности ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ тСсно связаны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π’ качСствС основы для Π½ΠΈΡ… выступаСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ прямой. Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² пространствС Π΄Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Y (t0, e0, x0). По условиям извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ прямой. Π’ этом случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти бСсконСчноС количСство Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ.

Для провСдСния СдинствСнной прямой слСдуСт ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ опрСдСляСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Для обозначСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ v (a, b, c). Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ‹ Π² скобках ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. Для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ W (s, z, m), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ располоТСны Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ логичСскоС равСнство: (s, z, m) = (t0, e0, x0) + Π°*v β€” (a, b, c).

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π±Ρ‹Π» взят символ Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ любоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Если ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ равСнство принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ для прямой Π² Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС. Если ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π°, Ρ‚ΠΎ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (s, z, m), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ линию.

Если Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Y (t0, e0, x0), Ρ‚ΠΎ Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° вмСсто Π½Π΅Ρ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, которая Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° прямой. Когда ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ с Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ: (s, z) = (t0, e0) + Π° * (a; b). Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ практичСски ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Π½ с ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ случаСм, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² этой ситуации ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ вмСсто ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… для указания всСх Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

БпСциалистами Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС уравнСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½Π° плоскости ΠΈ Π² пространствС, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ зависимыми Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. Бпособ получСния каноничСского уравнСния ΠΈΠ· парамСтричСского Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Для пространствСнного случая свойствСнны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ равСнствС: g=(l β€” l0) / a; g=(e β€” e 0) / b; g=(s β€” s0) / c. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всС Π»Π΅Π²Ρ‹Π΅ части равСнства ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: g=(l β€” l0) / Π°=(e β€” e0) / b=(s β€” s0) / c. Он являСтся ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ каноничСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ для прямой Π² пространствС. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ знамСнатСля прСдставляСт собой ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Из любой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ значСния Π² числитСлС. Благодаря ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ плоскости.

Наглядный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ΅ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Если всё ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅:

Π’ этом случаС прСдставлСна опрСдСлённая ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… равСнств, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° пСрСмСнная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ j. ПослСдний принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ парамСтричСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… прямых Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π² пространствС. НичСго Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ просто Π±Ρ‹Π» записан смысл ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ большим спросом, Π½ΠΎ для Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ понимания этого направлСния Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Если Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ парамСтризация прямой Π½Π° плоскости ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π° пространствСнному ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ. А это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для составлСния уравнСния парамСтричСской прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ для Π½Π΅Ρ‘ Π² явном Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° с парамСтричСскими прямыми Π½Π° плоскости

ИмСнно этот ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ являСтся Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ прямой, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ описанной гСомСтричСскими уравнСниями.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° рассчитаны Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π±ΠΈΡ‚ΡƒΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ составит Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ гСомСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° плоскости Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ матСматичСской систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Для поиска Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ элСмСнтарный ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ матСматичСской конструкции Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. А Π²ΠΎΡ‚ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ парамСтричСскиС уравнСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой Π² ΠΈΠ½Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΅Ρ‘ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚. Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° слСдуСт ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ.

Π”Π°Π½Π° прямая линия Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ…=1-3/4*Ο° / Ρƒ=-1+Ο°. ЦСль Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ: ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой. РСшСниС основано Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для достиТСния ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ… ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой Ρ…=1-ΒΎ*Ο° /Ρƒ=-1+Ο° послС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… манипуляций Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ 1, ΒΎ.

ИспользованиС Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ для ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ знаниями. Для Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ усвоСния этой Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ слСдуСт ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. По условиям Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

НуТно ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π»ΠΈ всС эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия: ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой сразу для Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ послС этого ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ равСнству. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π² парамСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· H ΠΈ D. Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π·Π°Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΠ½ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ случай. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ:

ПослС этого остаётся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Ρ‘Π΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² эти выраТСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ W ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π°Π»ΡŒΡ„Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ максимально ΠΈΠΌ соотвСтствуСт. РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ равСнства Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π°. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, послСдний Ρ„Π°ΠΊΡ‚ логичСски ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ парамСтричСского гСомСтричСского уравнСния прямой, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ для всСх ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ W прямой HD Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚, ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‡Π΅Π³ΠΎ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ прСдставлСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (см. Π Π°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях» Π½ΠΈΠΆΠ΅), поэтому ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ряда Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π‘ΠžΠ”Π•Π Π–ΠΠΠ˜Π•

ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠšΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Π’ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π² пространствС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ парамСтричСскиС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ каТдая пространствСнная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° явно зависит ΠΎΡ‚ нСзависимого ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° (ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ). ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ использовании Π½Π°Π±ΠΎΡ€ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° вмСстС составляСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ для полоТСния. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ парамСтричСскиС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ частицы описываСтся парамСтричСски ΠΊΠ°ΠΊ

Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ

БистСмы Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ проСктирования

ЦСлочислСнная гСомСтрия

НСявная рСализация

Если парамСтризация задаСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями

ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСявно Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… x ΠΈ y посрСдством тригономСтричСского тоТдСства ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° :

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся стандартным ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ (Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ) ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ свободного ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° t ΠΈ установки

Π―Π²Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС, любая кривая, заданная явным ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ (Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ) ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ свободного ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° t ΠΈ установки

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° окруТности ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚. Π‘ парамСтричСской вСрсиСй ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ парамСтричСскиС уравнСния, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ), Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚. Π’ случаС ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° такая Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ парамСтризация ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

Эллипс

Эллипс Π² каноничСской ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ (Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, главная ось вдоль X оси) с полуосями ΠΈ Π± ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны парамСтричСски

Эллипс Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ

ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ ЛиссаТу

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ЛиссаТ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ Π½Π° эллипс, Π½ΠΎ Ρ… ΠΈ Ρƒ синусоиды находятся Π½Π΅ Π² Ρ„Π°Π·Π΅. Π’ каноничСском ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ кривая ЛиссаТу задаСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ с востока Π½Π° Π·Π°ΠΏΠ°Π΄, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ парамСтричСски прСдставлСна ​​как

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ с сСвСра Π½Π° юг, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна ​​парамСтричСски ΠΊΠ°ΠΊ

Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΡ…ΠΎΠΈΠ΄

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния для Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΡ…ΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠ²:

НСкоторыС слоТныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях

Π‘ΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ для описания ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… пространствах. НапримСр:

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ повСрхности

Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ±Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° t ΠΈ u ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2Ο€.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ u ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2Ο€ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° повСрхности двиТСтся ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΉ окруТности, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· отвСрстиС Π² Ρ‚ΠΎΡ€Π΅. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ t ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2Ο€ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° повСрхности двиТСтся ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ окруТности Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ отвСрстия Π² Ρ‚ΠΎΡ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния прямой Π½Π° плоскости: описаниС, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Одним ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости» являСтся вопрос составлСния парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π½Π° плоскости Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ рассматриваСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ составлСния ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… извСстных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. ПокаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ уравнСниям ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°; Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π½Π° плоскости

ΠšΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Π°Ρ прямая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ссли Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, которая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ этой прямой, ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ M 1 M β†’ = Ξ» Β· a β†’ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ-парамСтричСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ прямой.

Π’ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

УравнСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы x = x 1 + a x Β· Ξ» y = y 1 + a y Β· Ξ» носят Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π½Π° плоскости Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ названия Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ: ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ прямой Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ парамСтричСским уравнСниям Π½Π° плоскости Π²ΠΈΠ΄Π° x = x 1 + a x Β· Ξ» y = y 1 + a y Β· Ξ» ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€Π΅ всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Ξ»

БоставлСниС парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π½Π° плоскости

РСшСниС

x = x 1 + a x Β· Ξ» y = y 1 + a y Β· Ξ» ⇔ x = 2 + 3 Β· Ξ» y = 3 + 1 Β· Ξ» ⇔ x = 2 + 3 Β· Ξ» y = 3 + Ξ»

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ парамСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2 + 3 Β· Ξ» y = 3 + Ξ»

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π½Π° плоскости ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠΌ уравнСниям Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ

Π’ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ являСтся Π½Π΅ самым ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π² уравнСния прямой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. Рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΡƒΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли a x ΠΈΠ»ΠΈ a y Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ части систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости:

РСшСниС

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° осущСствим ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ каноничСскому ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3 x + 2 y + 3 = 0

БлСдуя Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ дСйствий, для получСния уравнСния прямой с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом, уравнСния прямой Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния прямой Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой, Π° ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ дальнСйший ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ дСйствиС: запись парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ этой прямой.

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… x ΠΈ y :

x = x 1 + a x Β· Ξ» y = y 1 + a y Β· Ξ»

РСшСниС

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2 + 5 Β· Ξ» y = 2 + 2 Β· Ξ»

Когда Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ парамСтричСским уравнСниям ΠΎΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния прямой, уравнСния прямой с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом ΠΈΠ»ΠΈ уравнСния прямой Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ…, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ привСсти ΠΊ каноничСскому, Π° послС ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ парамСтричСским уравнСниям.

РСшСниС

Π—Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ каноничСского Π²ΠΈΠ΄Π°:

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части равСнства ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ Ξ» ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ парамСтричСскиС уравнСния прямой:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с парамСтричСскими уравнСниями прямой Π½Π° плоскости

Рассмотрим Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго встрСчаСмыС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с использованиСм парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π½Π° плоскости Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

РСшСниС

РСшСниС

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М 0 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой; Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° N 0 Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой.

РСшСниС

РСшСниС

РСшСниС

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ искомыС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, осущСствим ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *