Что такое параллельная линия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ
Смотреть что такое «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ» в других словарях:
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ — диффеоморфные гладкие линии в пространстве, имеющие в соответствующих точках параллельные касательные. Таковы, напр., гладкие компоненты эквидистантных линий на плоскости (см. Эквидистанта) они характеризуются тем, что расстояние между… … Математическая энциклопедия
Линии шрифта — воображаемые горизонтальные параллельные линии, проходящие через верхние или нижние окончания букв в строке (не считая выносных элементов): верхняя линия шрифта строчных букв, верхняя линия шрифта прописных букв, линия шрифта (нижняя линия… … Издательский словарь-справочник
Параллельные миры в фантастике — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. У это … Википедия
Параллельные миры — Параллельный мир (в фантастике) реальность, существующая каким то образом одновременно с нашей, но независимо от неё. Эта автономная реальность может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном … Википедия
линии полировки — 3.46.1 линии полировки: Тонкие параллельные линии на поверхности грани бриллианта, возникшие в результате обработки. Источник: ГОСТ Р 52913 2008: Бриллианты. Классификация. Технические требования оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КРУГИ — Круги, проводимые на глобусе параллельно экватору. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КРУГИ Круги, проводимые параллельно экватору. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в… … Словарь иностранных слов русского языка
Линии Керли — Вид исследования рентгенография Область исследования грудная клетка … Википедия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ — диффеоморфные, одинаково ориентированные поверхности F1 и F2, к рые имеют в соответствующих точках параллельные касательные плоскости, причем расстояние hмежду соответствующими точками F1 и F2 постоянно и равно расстоянию между соответствующими… … Математическая энциклопедия
Параллельность прямых
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых
В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.
Параллельные прямые: основные сведения
Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.
Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.
Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.
Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.
В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:
Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.
Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.
В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.
Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.
Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.
Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.
Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:
Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.
Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:
В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.
Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.
На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.
В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.
Дадим иллюстрацию указанных теорем:
Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.
На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.
В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.
Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.
Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.
Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.
Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.
A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2
Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.
a x = t · b x a y = t · b y
Решение
Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:
Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.
Ответ: заданные прямые не параллельны.
Решение
Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.
Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.
Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.
Ответ: данные прямые параллельны.
Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.
Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.
a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z
Решение
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.
Ответ: параллельность заданных прямых доказана.
Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.
Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE
Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.
Теорема.
Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.
Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.
Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и MС, что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.
Следствие.
Аксиома параллельных линий.
Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.
Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.
Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).
Следствия.
1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.
2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.
Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.
Теорема.
Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.
Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.
Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.
Урок 45 Бесплатно Параллельные прямые
На этом уроке разберем один из случаев взаимного расположения прямых на плоскости, узнаем, какие прямые называют параллельными.
Дадим представление об основных свойствах и признаках параллельных прямых.
Рассмотрим, с помощью каких инструментов и какими способами можно построить их на плоскости.
Убедимся на примерах в том, что знания о параллельных прямых используются во многих областях нашей жизни.
Параллельные прямые
Из всех известных нам линий самой простой на первый взгляд является прямая линия.
Прямая линия бесконечна, то есть не имеет начала и конца.
Следовательно, изобразить на плоскости мы можем только часть прямой, а общий вид ее мы можем только представить.
Прямую обозначают любой строчной латинской буквой и читают как «прямая а». Но прямая может быть обозначена двумя прописными латинскими буквами, которые располагаются на разных концах прямой, и читают её как «прямая АВ».
Прямая линия имеет такие характерные особенности:
Через две произвольные точки можно провести прямую и притом только одну.
Через произвольную точку можно провести бесконечное множество прямых.
Две не совпадающие прямые на плоскости или пересекаются, или не пересекаются.
Прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся на всем своем протяжении, называются параллельными прямыми.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Слово «параллельность» («параллелос») с греческого языка переводится как «идущие рядом».
Термин «параллельность» использовали еще за долго до того, как параллельные прямые приобрели свое определение.
В древности знак для обозначения параллельных прямых имел вид знака, известного нам сегодня, как знак равенства «=».
Например, параллельность прямых а и d записывали так: «а = d».
Но в 1557 году Роберт Рекорд для обозначения равенства ввел знак «равно» в том виде, в котором он сегодня известен нам «=».
Чтобы избежать недоразумений и путаницы, символ параллельности был перевернут вертикально, его стали обозначать «||»
Сейчас параллельность прямых а и d записывают так: «а||d».
Принято считать, что между параллельными прямыми угол равен нулю.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.
Отрезки AB и CD параллельны (AB||CD).
Отрезки OM и CD не являются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.
Луч а и b параллельны (а||b).
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой.
Необходимо понимать, что нельзя считать отрезки и лучи параллельными друг другу только за то, что они не пересекаются.
Приведем пример непересекающихся отрезков и лучей, которые вовсе не параллельны друг другу.
Как мы можем заметить, отрезок АВ не пересекает луч (а), но он и не параллелен ему.
Таким образом, отрезки и лучи, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, будут являться параллельными друг другу и этим прямым.
Выясним некоторые признаки и свойства параллельных прямых.
Рассмотрим аксиому параллельности прямых:
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой, параллельной данной.
Таким образом, расстояние между параллельными прямыми везде одинаково, а длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.
Подобную ситуацию можно представить, вспомнив железнодорожный путь (рельсы и шпалы) или шведскую лестницу.
Рассмотрим некоторые признаки параллельных прямых:
1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они между собой параллельны
Если а||с и b||с, то а||b.
2. Если две прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны друг другу.
Если а⊥с и b⊥с, то а||b.
Перейдем к знакомству со свойствами параллельных прямых.
1. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.
Если c||b и а⊥с, то а⊥b.
2. Если несколько параллельных прямых пересечь прямой, то эта прямая пересечет каждую из параллельных прямых, причем под одним и тем же углом.
∠1 = ∠2 = ∠3
Части параллельных прямых, замкнутые между другими параллельными прямыми, равны.
Если а||b и d||c, а⊥с, b⊥c, b⊥d, a⊥d, то отрезки AB = CD и AC = BD.
Верно и обратное утверждение, если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.
Подобную ситуацию можно представить, вспомнив четырехугольную столешницу или табурет.
Существуют другие признаки и свойства параллельных прямых, но они будут рассмотрены вами позже.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Главный труд древнегреческого математика Евклида «Начала» (300 лет до н.э.) является первым дошедшим до наших дней теоретическим трактатом по математике, он содержит основы античной геометрии и математики.
В «Началах» Евклид обобщил все ранее известные достижения древнегреческой математики и создал основу для ее дальнейшего изучения и развития.
Главное научное и историческое значение данной работы Евклида заключается в попытках построения теории геометрии на основе аксиом и логических рассуждений.
Изложение материала ведется от общего к частному: определения и аксиомы, далее постулаты, затем задачи и теоремы.
Евклид делает понятия аксиома и постулат различными, но это различие неясно.
Особый интерес и внимание у математиков всех времен и народов вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, описанная в первой из тринадцати книг «Начала».
Пятый постулат Евклида о параллельных прямых, в отличие от остальных простых и элементарных для понимания постулатов, казался громоздким и, на первый взгляд, не очень очевидным.
В связи с этим многие математики пытались доказать недоказуемое и вывести постулат из разряда аксиом и представить как теорему.
Любые доказательства сводились к появлению только лишь более простых формулировок постулата.
За два тысячелетия было огромное множество попыток доказать пятый постулат, но каждая из них содержала утверждение, которое невозможно было доказать без использования того самого постулата.
Научные труды «Начала» оказали заметное влияние на развитие теории математики вплоть до наших дней.
Книга была переведена на множество языков.
В современных источниках приводится другая формулировка постулата о параллельных прямых, которая равносильна постулату Евклида.
Принадлежит она Птолемею Проклу: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»
Существуют и другие эквивалентные формулировки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации