Что такое парабола и гипербола в алгебре

Что такое парабола и гипербола в алгебре

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:
\(\left| <> \right| = 2a\),
где \(\), \(\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( \right)\) гиперболы до фокусов \(\) и \(\), \(a\) − действительная полуось гиперболы.

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Уравнения асимптот гиперболы
\(y = \pm \large\frac\normalsize x\)

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
\( = + \),
где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.

Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме
\( \left\ < \beginx &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Координаты фокуса
\(F \left( <\large\frac

<2>\normalsize, 0> \right)\)

Координаты вершины
\(M \left( <0,0>\right)\)

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)
\(A + Dx + Ey + F = 0\;\left( \right) \),
или в эквивалентной форме
\(y = a + bx + c,\;\;p = \large\frac<1><2a>\normalsize\)

Уравнение директрисы
\(y = — \large\frac

<2>\normalsize\),
где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса
\(F\left( <, + \large\frac

<2>\normalsize> \right)\)

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\)
\(y = a,\;\;p = \large\frac<1><<2a>>\normalsize\)

Координаты вершины
\(M \left( <0,0>\right)\)

Источник

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Функция

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Парабола

Гипербола

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

Высшая математика. Шпаргалка

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Высшая математика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

Чтобы уравнение Ах 2 + Вх + Ау 2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х 2 и у 2 были равны, чтобы В 2 + С 2 — 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Эллипс — сжатая окружность (рис. 3).

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Прямая АА1 называется осью сжатия, отрезок АА1 = 2абольшой осью эллипса, отрезок ВВ1 = 2bмалой осью эллипса (a > b) точка Оцентром эллипса, точки А, А1, В, В1вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 — k = (a — b) / aсжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же значение 2а (F1M + FM = 2a) (рис. 4).

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). F1M — FM = 2a. Точки F, F1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF1 = 2cфокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х 2 / а 2 + у 2 / (а 2 — с 2 ) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = — bx / a (b 2 = c 2 — a 2 ).

Парабола — это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы — точка О. Каноническое уравнение параболы: у 2 = 2рх.

Источник

Гипербола и парабола

Кривая второго порядка (4.17) называется гиперболой (точнее кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС 0, С 0; 2) 8 = 0; 3) 8 0) имеем гиперболу, каноническое уравнение которой

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

где a = I— действительная полуось; о = — — мнимая noil А V —С

чения, большие 1. Вершины гиперболы — точки А1 (а; 0), А2 (

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Перепишем уравнение гиперболы (4.21) в виде

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

угодно близко подходят к прямым у = ±—х, называемым асим-

Для равносторонней гиперболы = Ь) х 2 — у 2 = а 2 асимптоты у = ±х взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.

Во втором случае (при 8 = 0) уравнение кривой (4.17) примет

вид — — — =0, т.е. получаем пару пересекающихся прямых

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

В третьем случае (при 5 2 Ъ 2

гиперболой (4.22) (на рис. 4.20 она изображена пунктиром).

ми у = ±—х, проходящими через точку (6; 3/2). Найти расстояние 4

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

между ее вершинами.

Решение. Так как точка (6; 3/2) лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению 36 9

ме того, — = —, так как а 4

асимптоты гиперболы 3

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Рассмотрим обратную пропорциональную зависимость,

задаваемую уравнением у =

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Выбрав в качестве новых осей Ох’ и Оу’ биссектрисы координатных углов (рис. 4.22), представим уравнение (4.24) через новые координаты х’ и у’. Пусть ОМ = г, тогда так как из А ОМВ’ г cos а = х г sin а = у’.

(см. рис. 4.23) уравнение примет

Итак, график дробно-линейной функции (4.25) есть равносто-

ронняя гипербола с асимптотами х — —; у = —, параллельными

О Пример 4.10. Найти координаты центра, вершин и урав-

Решение. Преобразуем уравнение, выделив целую часть дробно-линейной функции: Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Полагая х + 1 = х’, у + 2 = у получим х’у’ — 5, т.е. заданное уравнение есть уравнение равносторонней гиперболы с центром О’ (— 1;—2) и асимптотами

х + 1 = 0, у + 2 = 0 (рис. 4.24).

Так как т = 5 > 0, то гипербола располагается в I и III квадрантах, а новые координаты ее вершин (±л/5 ; ±V5). Переходя к старым координатам по формулам х=х’ — 1, у = у’

2, найдем старые координаты вершин гиперболы А (— V5— 1; — 2),

Пусть в уравнении кривой второго порядка (4.13) В = 0, а также один из коэффициентов А или С равен нулю; для определенности А = 0, Сф 0, т.е.

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Пусть также D ф 0 (в противном случае мы имели бы пару параллельных горизонтальных прямых у = у1 и у = у2, где у, и у2 — корни уравнения Су 2 + Еу + F =0 или отсутствие каких-либо линий и точек вообще). Дополним члены, содержащие у, до полного квадрата

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Для произвольной точки М (х, у) параболы расстояние до фокуса по формуле (3.5) равно

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

(так как х + — > 0). С другой стороны, расстояние до директрисы MN = х + у (рис. 4.26).

Таким образом, парабола представляет множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.

Если в уравнении (4.28) поменять местами х и у, то получим х 2 = 2ру — уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение

ветви параболы направлены вверх, при А 2 + Вх + С (А ф 0).

Отсюда у = А(х 2 + — х + —). Дополнив выражение, стоящее А А

Обозначив х + — = х’, у —-= у‘, в новой системе

Таким образом, график квадратного трехчлена у = Ах 2 + Вх + С

симметрии х = » параллельной оси Оу.

D> Пример 4.11. Построить кривую у = — Зх 2 + 10х — 3.

Решение. Вынося коэффициент при х 2 и дополняя правую часть уравнения до полного квадрата, получим

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Таким образом, заданная кривая есть парабола с вершиной в точке О’ (^; )

Источник

Содержание:

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

Первая задача сводится к построению графика уравнения Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреи решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре).

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебрекоординаты которой задаются формулами Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебребудет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Число Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреназывается эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебрехарактеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебрестановится более вытянутым

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре).

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Тогда Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреА расстояние Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреПодставив в формулу r=d, будем иметьЧто такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Возведя обе части равенства в квадрат, получимЧто такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреили

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебретакже определяют параболы.

Легко показать, что уравнение Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреО. Для этого выделим полный квадрат:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

и сделаем параллельный перенос по формуламЧто такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреЧто такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Пример:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебрекоторое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре— мень-

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреи определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреи характеризует форму эллипса. Для окружности Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреЧем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре— каноническое уравнение эллипса с центром в точке Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебребольшей полуосью а=3 и меньшей полуосью Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Найдем эксцентриситет эллипса:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреа оси Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебрепараллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

В новой системе координат координаты Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебревершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Переходя к старым координатам, получим:

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебре

Построим график эллипса.

Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть фото Что такое парабола и гипербола в алгебре. Смотреть картинку Что такое парабола и гипербола в алгебре. Картинка про Что такое парабола и гипербола в алгебре. Фото Что такое парабола и гипербола в алгебреЗадача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *