Что такое отрезок середина отрезка

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Свойства длин отрезков:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

CA > CB или CB Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Источник

Что такое середина отрезка

Ответ или решение 2

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Определение координат середины отрезка

Определение середины отрезка графически

Для определение середины отрезка графически нужны:

Действия проводится в следующем порядке:

1) один конец циркуля с иглой устанавливается в любой конец отрезка;

2) раскрываем циркуль на расстояние визуально большее, чем половина отрезка и меньшее, чем весь отрезок;

3) проводим вторым концом циркуля с грифелем над отрезком дугу и под отрезком такую же дугу;

4) переносим иглу циркуля в другой конец отрезка;

5) вторым концом циркуля с грифелем над отрезком проводим дугу до пересечения с первой дугой над отрезком;

6) аналогично находим точку пересечения двух дуг под отрезком;

7) проводим через две полученные точки прямую;

8) точка пересечения исходного отрезка и проведенной прямой является серединой заданного отрезка.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Середина отрезка — это такая точка, которая делит отрезок (множество, которое состоит из двух точек, расположенных на прямой (концы отрезка), и точек, которые лежат между ними) на две равные части. Концы отрезка и его середину обычно обозначают латинскими буквами: A и B — концы, C — середина, C и D — концы, E — середина и т. д.

Зная координаты конца и начала отрезка, можно вычислить координаты его середины.

Пусть концы отрезка AB имеют координаты A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Тогда координаты середины отрезка будут равны:

Зная координаты конца и начала отрезка, также можно вычислить расстояние, которое отделяет середину отрезка от его концов. Для этого необходимо вычислить длину отрезка по формуле:

Источник

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезкаЧто такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Середина отрезка в пространстве

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Следовательно, точка C имеет координаты:

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Решение

Решение

Ответ: 58

Решение

Источник

Отрезок. Ломаная линия

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 1 Отрезок на прямой

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 4 Отрезок без прямой

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

Измерить отрезок можно:

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 12 Ломаная линия

На рисунке 12 видно, что:

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть фото Что такое отрезок середина отрезка. Смотреть картинку Что такое отрезок середина отрезка. Картинка про Что такое отрезок середина отрезка. Фото Что такое отрезок середина отрезка

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

Источник

Координаты середины отрезка

Что такое середина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой ограниченный с двух сторон участок прямой.

Пусть точки A и B не совпадают. Если провести через них прямую, то образуется отрезок AB или BA, который ограничен точками A и B. Данные точки являются концами отрезка.

Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, ограничивающими данный отрезок. Длина отрезка AB обозначается как модуль данной геометрической фигуры, то есть |AB|.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Серединой отрезка является такая точка C, принадлежащая отрезку AB, которая расположена в центре данного отрезка, то есть |AC|=|CB|.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам. Определите координату xC, соответствующую С.

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

Следствием второго равенства будет следующее утверждение:

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат Ax, Ay; Bx, By; Cx, Cy — это проекции исходных точек.

По построению прямые AAx, BBx, CCx относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

Это значит, что Cx и Cy являются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(xA,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, Ay, Az; Bx, By, Bz; Cx, Cy, Cz — проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, Cz — делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:

Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка

Трактовка векторов в алгебре позволяет составить формулу для расчета координат середины отрезка.

Дано: прямоугольная система координат Oxy, в которой лежат произвольные точки A(xA,yA) и B(xB,yB), а также C, делящая пополам отрезок, ограниченный A и B.

По определению действий над вектором в геометрии:

Это значит, что С — это центр диагоналей.

Произведем подстановку в формулу (1):

Получили формулу определения координат середины отрезка, находящегося в декартовой системе координат:

По аналогично схеме можно вывести формулу для расчета координат центра отрезка, лежащего в пространстве:

Примеры решения задач

Дано: в декартовой системе координат имеются точки M(5,4) и N(1,−2). Найти координаты середины отрезка MN.

Пусть точка O — центр MN. Тогда вычислим ее координаты, подставив в формулы:

Точка O имеет координаты (3,1).

Дано: треугольник ABC лежит в прямоугольной системе координат. Известны координаты его вершин: A(7,3), B(−3,1), C(2,4). Вычислите длину медианы АМ.

Поскольку АМ является медианой треугольника ABC, то точка М делит сторону ВС на два равных отрезка, то есть является серединой отрезка ВС. Отсюда можно вычислить координат точки М:

Теперь, зная координаты начала и конца отрезка АМ, применим формулу нахождения расстояния между точками:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *