что такое фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

Содержание

Определение

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

для любого 0″ border=»0″ /> существует такое натуральное , что для всех N_\varepsilon» border=»0″ />.

Связанные определения

Свойства

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Фундаментальная последовательность» в других словарях:

Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

КОШИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — то же, что фундаментальная последовательность … Математическая энциклопедия

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — вещественное число, положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении… … Математическая энциклопедия

Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… … Википедия

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… … Математическая энциклопедия

Источник

Критерий Коши сходимости последовательности.

Фундаментальная последовательность.

Последовательность \(\\>\) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого \(\varepsilon>0\) существует такое натуральное число \(n_<\varepsilon>\), что для любого \(n\geq n_<\varepsilon>\) и любого \(m\geq n_<\varepsilon>\) справедливо неравенство \(|x_-x_| 0 \ \exists n_<\varepsilon>: \ \forall n\geq n_ <\varepsilon>\ \forall m\geq n_<\varepsilon>\rightarrow|x_-x_| 0 \ \exists n_<\varepsilon>: \ \forall n\geq n_ <\varepsilon>\ \forall p\in\mathbb\rightarrow|x_-x_| Теорема.

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость. Пусть последовательность \(\\>\) имеет конечный предел, равный a. По определению предела
$$
\forall\varepsilon>0 \displaystyle \exists N_<\varepsilon>:\forall p\geq N_<\varepsilon>\rightarrow|x_

-a| 0 \ \exists n_\varepsilon:\forall n\geq n_\varepsilon \ \forall m\geq n_\varepsilon\rightarrow|x_n-x_m| 0 \ \exists k_\varepsilon:\quad \forall k\geq k_\varepsilon\rightarrow Пример.

Доказать, что последовательность \(\\), где
$$
x_=1+\frac<1><2>+\ldots+\frac<1>,\nonumber
$$
расходится.

\(\triangle\) Последовательность \(\\>\) расходится, если не выполняется условие Коши \eqref, то есть
$$
\exists \varepsilon_0>0: \ \forall k\in\mathbb\quad\exists n\geq k\quad\exists m\geq k: \ |x_-x_|\geq \varepsilon_0.\label
$$

Таким образом, условие \eqref выполняется при \(\displaystyle \varepsilon_0=\frac<1><2>\), и в силу критерия Коши последовательность \(\\>\) расходится. \(\blacktriangle\)

Источник

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981,
Л. Д. Кудрявцев.

Смотреть что такое «ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ» в других словарях:

Фундаментальная последовательность — Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная … Википедия

Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

КОШИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — то же, что фундаментальная последовательность … Математическая энциклопедия

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — вещественное число, положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении… … Математическая энциклопедия

Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… … Википедия

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… … Математическая энциклопедия

Источник

Понятие фундаментальной последовательности.

Понятие фундаментальной последовательности.

Последовательность < > называется фундаментальной, если для любого ε>0 найдется номер N(ε) такой, что при n≥ N(ε) и для любого натурального ряда p(p=1,2,3…) выполняется неравенство 0, и воспользуемся следствием1 из теоремы23. В соответствии с этим следствием интервал интервал ( — ε, ε) содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, т.е. этот интервал содержит бесконечно много элементов последовательности < >. Т.к. , то этот интервал запишем в виде: (a- ε, ε). Этот интервал есть ε-окрестность точки a. он содержит бесконечно много элементов последовательности < >. Тогда в соответствии с 1-м определением предельной точки, число а является предельной точкой этой последовательности. Т.к. то последовательность < >. Является сходящейся.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности(теорема25).

Для того, чтобы последовательность < > сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Необходимость-считается, что последовательность < > сходится. Надо доказать, что она является фундаментальной. По определению сход. последовательности для любого ε найдется N(ε) такой, что n, поэтому при n≥ N(ε) выполняется неравенство ε , тогда по теореме24 фундаментальная последовательность является сходящейся.

Понятие производной функции, ее геометрический смысл.

Производной функции y’(x), f’(x) называетсяпредельное значение приращения функции к приращению аргумента

Геометрический смысл-tg угла наклона касательной к графику функции.

Правая и левая производные.

Правой(левой) производной функции y=f(x) называется правое(левое) предельное значение отношения приращения функции

F’(x+0) правая производная, F’(x-0) левая производная.

Дифференцируемость функции(определение. Теорема26).

Функция называется дифференцируемой в т. X, если ее приращение Δy ( в этой точке), соответствующее приращению аргумента Δx, равно Δy=A* Δx+o(Δx) не зависит от Δx.

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела этой точке конечную производную.

Необходимость-считается, что функция дифференцируема в точке x0. Надо доказать, что она имеет в этой точке производную. По определению дифференциала функции Δy= => =A+ , =A+ =A, y’(x0)=A. Δy0=y’(x0)+o( )

Достаточность-считается,что в т. x0 существует конечная производная. Надо доказать, что в x0 функция дифференцируема. По определению производной =f’(x), тогда – y’(x0)=α( = α( , =y’(x0)* +o(x)

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции dy в точке x₀ называется главное приращение функции в этой точке dy=y’(x)*dx

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения частного(теорема27).

Пусть функции u(x) и g(x) дифференцируемы в точке x. Тогда сумма, разность, произведение, частное(при условии, что знаменатель ≠0 в точке x) этих функций также дифференцируемы. При этом справедливы формулы:

1. .

2. .

3. .

Формула Лейбница.

Y=u(x)*v(x). (uv) (n) =

Дифференциал высшего порядка. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x. dy=f’(x)dx. Если функция f’(x) дифференцируема, то можно записать d(dy)=d 2 y=d(f’(x)dx)=d(f’(x)dx=f’’(x)dxdx=f’’(x)(dx) 2

Если функция n-раз дифференцируема, то можно записать d n y=f ( n ) (x)(dx) n =f ( n ) (x)=

Дифференцирование функции, заданной параметрически. ,

Правило Лопиталя(теорема30).Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, пусть кроме того, = =0, = =∞ и производная g’(x) отлична от 0 в рассматриваемой окрестности. Тогда если существует предельное значение , то существует и предельное значение и справедливо равенство: = . Замечание-если условие теоремы выполняется для f’(x) и g’(x), то справедливо =…… . Данное правило используется для раскрытия неопределенностей вида , , .

Формула Тейлора(теорема31).

Пусть функция у=f(x) дифференцируема n-раз в точке x₀ и некоторой окрестности этой точки. Тогда для любой точки x из этой окрестности справедлива формула:

f(x)=f(x0)+ + +…+ + , остаточное слагаемое.

В форме Пеана o((x-x0)’), в форме Лагранжа * .

Частный вид формулы Тейлора при x0 носит название формулы Маклорена.

Теорема 34.

Пусть функция y=f(x)имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке. Тогда f’( )=0.

Понятие фундаментальной последовательности.

Последовательность < > называется фундаментальной, если для любого ε>0 найдется номер N(ε) такой, что при n≥ N(ε) и для любого натурального ряда p(p=1,2,3…) выполняется неравенство 0, и воспользуемся следствием1 из теоремы23. В соответствии с этим следствием интервал интервал ( — ε, ε) содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, т.е. этот интервал содержит бесконечно много элементов последовательности < >. Т.к. , то этот интервал запишем в виде: (a- ε, ε). Этот интервал есть ε-окрестность точки a. он содержит бесконечно много элементов последовательности < >. Тогда в соответствии с 1-м определением предельной точки, число а является предельной точкой этой последовательности. Т.к. то последовательность < >. Является сходящейся.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности(теорема25).

Для того, чтобы последовательность < > сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Необходимость-считается, что последовательность < > сходится. Надо доказать, что она является фундаментальной. По определению сход. последовательности для любого ε найдется N(ε) такой, что n, поэтому при n≥ N(ε) выполняется неравенство ε , тогда по теореме24 фундаментальная последовательность является сходящейся.

Источник

Б1. 35. Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (последовательность Коши, сходящаяся в себе последовательность) – последовательность<x_n>, удовлетворяющая следующему условию Коши:

Для любого ε > 0 существует такое n, что для всех n > N, m > N выполняется неравенство |x_n – x_m|

· Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.

· Полнота наследует замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.

· Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено, то есть для любого пространство можно покрыть конечным числом шаром радиуса

· Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства

· Множество вещественных чисел полно в стандартной метрике

· Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно

· Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.

· Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространсво.

Источник