Что такое экстремума точки экстремума

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаЧто такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаиз этого промежутка выполняется неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаиз этого промежутка выполняется неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Найдем нули производной: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 м\c

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Источник

Возрастание, убывание и экстремумы функции

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, справедливо неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумарастёт на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, справедливо неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаубывает на интервалах Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумав первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаво 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи её стандартная Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума— окрестность:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Собственно, определения:

Точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывается точкой строгого максимума, если существует её Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума-окрестность, для всех значений Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумакоторой за исключением самой точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавыполнено неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. В нашем конкретном примере это точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывается точкой строгого минимума, если существует её Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума-окрестность, для всех значений Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумакоторой за исключением самой точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавыполнено неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывают точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывается точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаданной окрестности выполнено неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
Точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывается точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаданной окрестности выполнено неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаили «принцессой болота» Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумав точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Да, кстати, о королевских особах:
– значение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывают максимумом функции;
– значение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманазывают минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумамаксимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаминимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Тогда:

– если производная Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумана интервале, то функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавозрастает на данном интервале;

– если производная Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумана интервале, то функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаубывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапринадлежит области определения функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумалибо значения Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумане существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманеотрицательна:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумадля любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаскорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаобитает на промежутке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, а её производная неравенством Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаоднозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаВ критической точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумане является точкой минимума функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаидёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумадля любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавообще не считается критической, так как функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумабанально в ней не определена.

Экспоненциальная функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумарастёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума). Исследуя же производную Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, легко сделать вывод, что функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманаоборот – убывает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Что делает натуральный логарифм Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумасегодня вечером?
Растёт:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумана интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи её производной Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Там, где график косинуса находится над осью Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, синус растёт. Обратно – где график Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумарасположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума), синусоида Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумадостигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи его производной Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманесёт бодрую весть о том, что функция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавозрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумарастёт – производная здесь положительна: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
При Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаопределена, но не дифференцируема. Однако в критической точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумасуществует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаесть экстремум, то Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумалибо значения Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумане существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи её критическая точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума:

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Получилось обычное квадратное уравнение:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Примечание: корни можно традиционно обозначить через Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Тогда:

если при переходе через точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапроизводная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

если при переходе через точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапроизводная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаразвернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавсё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
I) Берём какую-нибудь точку интервала Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, значит, производная отрицательна на всём интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

II) Выбираем точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, принадлежащую интервалу Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, и проводим аналогичное действие:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, следовательно, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумана всём интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапоследнего интервала:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, поэтому Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумав любой точке интервала Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

В результате получены следующие знаки производной:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Время собирать урожай!

На интервалах Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапроизводная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумана данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, значит, функция возрастает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапроизводная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

При переходе же через точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапроизводная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Ответ: функции возрастает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи убывает на интервалах Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, а в точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– максимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Остерегайтесь сокращенной записи Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Под значками Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаобычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи критические точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(парабола ниже оси) и Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума…Итак, решение нашего уравнения: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Решим уравнение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Таким образом, получаем три критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, принадлежащую интервалу Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, и выполним подстановку: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, а значит, производная отрицательна и на всём интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи знаменатель Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумастрого положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумавозрастает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи убывает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает максимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапроизводная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумане считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи убывает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаВ точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумадостигается максимум функции: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, а в точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– минимум: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаесть две вертикальные асимптоты Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи наклонная асимптота Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Вот наш герой:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаэкстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаопределена на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи крайние точки области определения:Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Более того, точка Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума(не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Функция убывает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи возрастает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаосталось не при делах, так как на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумапопросту нет графика функции Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

Ответ: функция убывает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи возрастает наЧто такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– критические точки. Почему значения Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Функция возрастает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи убывает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает максимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремуманет экстремума.

Ответ: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– точка минимума, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– классическое остриё, направленное вниз, при Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– «нормальный» максимум. В точках Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. Я проводил статистическое исследование.

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Ответ: функция убывает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи возрастает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
2) Найдём критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума, Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаэкстремум отсутствует.

Ответ: в точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.

2) Найдём критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– критическая точка.
3) Определим знаки производной:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Ответ: функция возрастает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи убывает на Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума. В точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаона достигает максимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Пример 7: Решение:

Область определения: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума.
Найдём критические точки:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума– критическая точка.
Определим знаки производной:
Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума
Ответ: функция убывает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаи возрастает на интервале Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумаВ точке Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремумафункция достигает минимума: Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть фото Что такое экстремума точки экстремума. Смотреть картинку Что такое экстремума точки экстремума. Картинка про Что такое экстремума точки экстремума. Фото Что такое экстремума точки экстремума Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *