Что такое эффективная плотность состояний дырок в валентной зоне

Донорный полупроводник считается сильно вырожденным при:

(2.62)

т.е. когда уровень Ферми расположен в зоне проводимости по крайней мере на 5кТ выше Е_c. Условие (2.62) действует и при очень низкой температуре. Если kT à 0, то η₀ à ∞ (здесь η₀ – приведенный уровень Ферми при нулевой температуре). В этом случае в выражении (2.52) знаменатель = 1, а бесконечный верхний предел интегрирования можно заменить η₀. Тогда равновесная концентрация электронов в сильно вырожденном донорном полупроводнике будет равна:

(2.63)

При этом концентрация дырок в сильно-вырожденном полупроводнике n-типа проводимости задается формулой (2.61).

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно определить положение уровня Ферми:

(2.63а)

Равновесная концентрация дырок в сильно вырожденном акцепторном полупроводнике запишется следующим образом:

, (2.64)

При этом концентрация электронов находится из соотношения (2.60).

Из равенств (2.63) и (2.64) следует, что концентрация свободных носителей заряда в сильно вырожденном полупроводнике не зависит от температуры. Она определяется положением уровня Ферми и величиной эффективной массы. При этом, чем меньше эффективная масса носителей заряда, тем соответственно и меньше их концентрация, при которой наступает вырождение.

E EF EC ED Eg EV

E N(E) N(E)

E EF EC EV F(E)

E EF EC EV n0; p0

Рис. 2.9. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми-Дирака и концентрация носителей заряда в сильно-вырожденном полупроводнике n-типа проводимости при термодинамическом равновесии.

Третий случай – вырожденный полупроводник (рис. 2.7, область В).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Величина N_а представляет собой концентрацию акцепторов. Так же как и для n – полупроводника, для полупроводников типа p справедливо равенство .

Это равенство означает, что произведение концентраций электронов и дырок при данной температуре T для данного полупроводника постоянно и не зависит от характера и количества примесей.

В силу симметрии выражений, определяющих концентрацию основных и неосновных носителей заряда в примесных полупроводниках, независимо от типа проводимости, их можно записать в следующем виде:

— для дырок, -для электронов,

где W_F – уровень Ферми, определяемый для соответствующего типа полупроводника.

Поделив эти выражения друг на друга, приняв при этом n = n_i 2 / p и p = n_i 2 / n, можно привести

их к следующему виду: ,

Учитывая, что энергия электрона (дырки) W = q·φ, последние выражения для дырок и электронов соответственно можно привести к виду:

, .

φ_T = k·T/q – температурный потенциал (в вольтах). При комнатной температуре

.

Тогда: ,

Из этих выражений непосредственно следует:

φ_Fn = φ_E + φ_T · ln(n / n _i ) – для полупроводников n – типа уровень Ферми смещён от середины запрещённой зоны вверх по диаграмме к свободной зоне на величину ln(n / n _i ) и

2.7. Электропроводность примесных полупроводников.

Пренебрегая в данном случае концентрацией неосновных носителей, будем остерегаться заблуждения относительно их роли в физических процессах, имеющих место в полупроводниковых приборах.

2.7.1. Зависимость электропроводности примесных полупроводников от температуры.

Зависимость проводимости σ от температуры определяется двумя факторами:

2.8. Электрический ток в примесном полупроводнике

Перемещение носителей заряда – электронов и дырок в полупроводнике вызывается двумя причинами.

1) Направленное перемещение под действием электрического поля, называемое дрейфом носителей заряда. Ток обусловленный дрейфом носителей заряда называется дрейфовым.

2) Направленное перемещение носителей заряда вследствие разности концентраций зарядов

(дырок или электронов) в смежных областях полупроводника. Ток, обусловленный

Полная плотность электронного и дырочного тока определяется суммой двух составляющих: — полный электронный ток

и — полный дырочный ток

Как правило, нас интересует движение носителей заряда в направлении одной из осей координат.

Обозначив это направление через x, для одномерной модели получим:

Как электроны, так и дырки всегда движутся в направлении убывания концентрации носителей заряда, поэтому если выбранное положительное направление оси х совпадает с градиентом, то электронный ток будет иметь положительное направление, а дырочный ток отрицательное. Этим обясняется знак минус перед диффузионной составляющей дырочного тока в приведённых выше выражениях для плотностей токов.

3. КОНТАКТ ДВУХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ РАЗЛИЧНОГО ТИПА ПРОВОДИМОСТИ.

3.1.Электронно – дырочный переход.

Под идеальным контактом двух полупроводников понимается такое их соединение, при котором:

Так как основные носители заряда по обе стороны границы раздела имеют различные знаки, с одной стороны границы раздела возникает градиент концентрации дырок, а с другой электронов. Следовательно возникнет диффузия электронов из n полупроводника в p полупроводник и диффузия дырок из p области в n область, т.е. через границу раздела потечёт диффузионный ток.

Уход основных носителей заряда, в первую очередь из близлежащих к границе раздела областей полупроводников, “оголяет” ионы атомов доноров и акцепторов, положительные в n и отрицательные в p полупроводнике, заряд которых ранее компенсировался основными носителями. Нескомпенсированные объёмные заряды по обе стороны границы раздела полупроводников создают электрическое поле напряжённостью E. Это поле препятствует дальнейшей диффузии основных зарядов, но создаёт возможность дрейфа неосновных носителей заряда – дырок из n области в p область и электронов из p области в n область.

Таким образом, через границу раздела полупроводников текут две составляющие диф-фузионного тока основных носителей заряда, направленные из p области в n область, а также две составляющие дрейфового тока неосновных носителей заряда, направленные из n области в p область. При этом “оголяются” всё более удалённые по обе стороны от границы раздела ионы, т.е. их объёмный заряд растёт.

Область объёмных зарядов на границе раздела полупроводников разного типа проводимости, обеднённая основными носителями заряда, называетсяp-n переходом.

По мере увеличения объёмного заряда, а следовательно и напряжённости поля E, диффузионный ток уменьшается, а дрейфовый ток возрастает. Этот процесс продолжается до тех пор, пока лишь незначительная часть основных носителей заряда, имеющих энергию, достаточно большую, для преодоления тормозящего действия поля, сможет перемещаться(прорываться) через границу раздела.

Когда диффузионный ток таких носителей заряда уравновесится, растущим по мере увеличения объёмного заряда, током неосновных носителей заряда, наступает состояние динамического равновесия. В этом состоянии токи в смежные области полупроводников уравновешивают друг друга, объёмный заряд перестаёт расти, суммарный ток через границу раздела равен нулю, т.к. внешняя цепь разомкнута.

Источник

Эффективная плотность состояний в зоне проводимости

Равновесные процессы – процессы, происходящие в телах, которые не подвергаются внешним воздействиям. В состоянии термодинамического равновесия для данного образца кристалла при заданной температуре существует определенное распределение электронов и дырок по энергиям, а также значения их концентраций. Вычисление концентраций основных и неосновных носителей заряда составляет главную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.

Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто квантово-механическую – нахождение числа возможных квантовых состояний электронов и статистическую – определение фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям при термодинамическом равновесии.

1.3.1. Распределение квантовых состояний в зонах

Стационарные состояния электрона в идеальном кристалле характеризуются квазиимпульсом р. Запишем принцип неоднородностей Гейзенберга для квазиимпульсов dp_x, dp_y и dp_z:

(1.1)

Перемножим соответственно левые и правые части этих соотношений. Получим

(1.2)

(1.3)

Рис. 1.3. Диаграмма для расчета плотности квантовых состояний:
а – распределение электронов по энергии в зоне проводимости;
б – зона Бриллюэна для расчета плотности состояний

Определим число квантовых состояний в зоне проводимости в узком интервале энергий от Е до Е+dЕ, рассчитанное на единицу объема кристалла. Его можно представить в виде N(E)dE, где N(E) есть плотность состояний.

Вблизи дна зоны проводимости для случая изотропного параболического закона дисперсии энергия электрона

(1.4)

где Е_C – энергия, соответствующая дну зоны проводимости. Для удобства эффективную массу электрона m_n будем писать без звездочки. Из (1.4) получим dE = p·dp/m_n, то есть dp = m_ndE/p и p 2 = 2m_n(E-E_c). Подставляем в (1.3), имеем

(1.5)

(1.6)

Аналогичная формула получается и для валентной зоны, но только вместо (Е – Е_C) напишем (Е_V – Е), а вместо m_n – эффективную массу дырки m_p.

Как видно из (1.6), плотность квантовых состояний возрастает по мере удаления от дна зоны проводимости.

1.3.2. Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми

Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми-Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, выражается функцией Ферми-Дирака:

(1.7)

Здесь F – электрохимический потенциал, или уровень Ферми. Из (1.7) видно, что уровень Ферми можно определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Вид функции Ферми-Дирака схематически показан на рисунке 1.4. При Т = 0 она имеет вид разрывной функции. Для E F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно не заполнены. При Т > 0 функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки E = F быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми F лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны Е_C хотя бы на 2kT (в некоторых учебниках пишут Е_C – Е > kT). Тогда в распределении (1.7) единицей в знаменателе можно пренебречь и оно переходит в распределение Максвелла – Больцмана классической статистики. Это случай невырожденного полупроводника:

(1.8)

Концентрация электронов в зоне проводимости равна:

(1.9)

Рис. 1.4. Функция распределения плотности состояний в зоне проводимости N(E), функции Ферми-Дирака f и Больцмана f_Б

Отметим, что в качестве верхнего предела в написанном интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Но, так как функция f для энергий E > F экспоненциально быстро убывает с увеличением E, то замена верхнего предела на бесконечность не меняет значения интеграла. Подставляем в (1.9) выражения (1.6) и (1.8). Расчет интеграла несложен. Получим

(1.10)

(1.11)

Величина N_C получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости.

В случае невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми лежит выше потолка валентной зоны хотя бы на 2kT, то есть F – E_C > 2kT (в некоторых учебниках пишут F – E_C > kT), функция Ферми-Дирака для дырок f_p имеет вид

(1.12)

а концентрация дырок в валентной зоне

(1.13)

где E_V – энергия, соответствующая потолку валентной зоны, а N_V рассчитывается по уравнению (1.11), если вместо m_n взять эффективную массу дырки m_p. Величина N_V – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Отметим, что в (1.9) перед интегралом появился множитель 2, что связано с тем, что на каждом уровне энергии могут находиться два электрона с противоположными спинами (принцип Паули).

Для расчета n и p по уравнениям (1.10) и (1.13) необходимо знать положение уровня Ферми F. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от уровня Ферми, хотя зависит от температуры:

(1.14)

Это уравнение используется для расчета p при известном n или, наоборот, для расчета n при известном p. Величина n_i при некоторых температурах для конкретных полупроводников приводится в справочниках.

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению

Здесь, как и раньше, dZ– число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале отEдоE+dE. Функциюg(E)вычислим для кубического кристалла со сторонойL. Энергия электрона у дна зоны проводимости(Е(к) дать рисунок) приближенно может быть представлена в виде

здесь энергия дна зоны проводимости, – эффективная масса электрона у дна зоны проводимости,k– квазиимпульс электрона, – его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:

Каждому набору чисел n_x,n_y,n_zотвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , гдеV– объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусомk, соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностямиk=constиk+dk =const. Объем этого слоя составляет . Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:

Подставляя значения k 2 иdkв формулу (10), получим

.

Учитывая (8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:

Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:

где E_v– энергия потолка валентной зоны, – эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:

Следует подчеркнуть, что формулы (11) и (13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Рис. 4. Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне

Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней dZв интервале энергийdE

4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок

Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN, находящихся вdZсостояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (1) определяется выражением

.

Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим

Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (14) в пределах зоны

здесь Е_п– энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E)

Преобразуем теперь выражение (16) к виду

.

Произведем замену переменных в подынтегральном выражении

В результате получим

.

Интеграл в этом выражении равен . Следовательно

Величину N_cназываютэффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергиейЕв валентной зоне не занято, равна .

Тогда концентрация дырок

здесь E_v– потолок валентной зоны.

При условии, что газ дырок невырожденный, получим

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

Перемножая выражения (17) и (19), получим

Соотношение (21) называется законом действующих масс. При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называетсяневырожденным, а полупроводники –невырожденными.

Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой nнаpи на.

Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т

Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.

Статистика равновесных носителей заряда в полупроводниках.

Связь уровня химического потенциала с концентрацией равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках.

Очевидно, число электронов в кристалле единичного объема, занимающих состояния с энергиями в интервале от до будет равно:

(1)

Сначала будем рассматривать случай когда :

(2)

В данном случае электронный газ в зоне проводимости подчиняется классической статистике Максвелла. Классическая статистика описывает процессы при не высоких концентрациях электронов (электронный газ). Полупроводники, у которых равновесные носители заряда подчиняются статистике Максвелла, называются невырожденными. Условие должно выполняется всех энергий электрона находящего в зоне проводимости, в том числе и для минимальных энергий , т.е. , . Отсюда следует, что в невырожденных полупроводниках уровень химического потенциала лежит ниже дна зоны проводимости на величину не меньшую .

Очевидно, концентрация всех свободных электронов будет равна:

Так как под знаком интеграла стоит функция быстро убывающей с энергией, то верхний придел интегрирования можно заменить на бесконечность, тогда:

(3)

– эффективная плотность состояний в зоне проводимости, численно равная концентрации электронов в зоне проводимости, при условии, что уровень совпадает с дном зоны проводимости. Аналогично можно получить выражение для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике:

– эффективная плотность состояний в валентной зоне.

В собственном полупроводнике уровень один и тот же в формулах (3) и (4).

Список литературы

К. В. ШАЛИМОВА Физика полупроводников Издательство «Энегия», Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10 1976 год

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников, М., Наука, 1978

Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г., Физика полупроводников, изд. 2, М., Наука, 1990

Кардона М. Основы физики полупроводников. М., ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Киттель Ч., Введение в физику твердого тела, М., Наука, 1978

Статистика равновесных носителей заряда в полупроводниках.

Функция плотности состояний для электронов и дырок в полупроводниках.

Носителями заряда (тока) называют электроны зоны проводимости и дырки валентной зоны. В общем случае в полупроводнике могут содержаться примеси как донорного, так и акцепторного типов. В этом случае при T > 0 K 0 в результате теплового возбуждения электроны будут переходить в зону проводимости переходы (1, 2) и на акцепторные уровни переходы (3).

В результате тепловых переходов 1, 3, образуются носители заряда. Если бы тепловые переходы были единственными, то концентрация носителей заряда непрерывно возрастала бы со временем. С течением времени концентрация электронов была бы , однако эксперименты дают меньшее значение, это связано с тем, что наряду с тепловым возбуждением одновременно протекает обратный процесс – процесс рекомбинации. Это переходы носителей сверху вниз (переходы 1′ – 3′). С течением времени устанавливается динамическое равновесие между процессами. В этом случае количество переходов в единицу времени снизу вверх равно количеству переходов сверху вниз. Носители заряда образованные в результате теплового возбуждения и соответствующие состоянию динамического равновесия называются равновесными носителями заряда.

В равновесном состоянии температура кристалла одинакова во всех его точках. В адиабатическом приближении считается, что тепловое движение кристаллической решетки влияет на вероятность заполнения носителями заряда состояний в зонах, но не на сами состояния. В полупроводниках, как и металлах, вероятность заполнения электроном энергетического уровня с энергией определяется функцией распределения Ферми-Дирака:

(1)

Значит, уровень химического потенциала — это такой уровень, который с одинаковой вероятностью может быть заполнен электронами и свободен от них.

(2)

(2) функция распределения Ферми-Дирака для дырок. Известно, что объем первой зоны Бриллюэна равен .

В зоне Бриллюэна число разрешенных волновых векторов N равно числу элементарных ячеек кристалла. Тогда, на одно разрешенное квантовое состояние будет приходиться объем обратного пространства равный:

где V – объем кристалла. В кристаллах единичного объема на одно разрешенное состояние приходится объем обратного пространства равный . Впредь будем рассматривать кристаллы единичного объема.

Найдем аналогичное выражение для числа состояний в кристаллах единичного объема, которые занимают электроны в интервале энергий от до . Для определенности будем рассматривать зону проводимости, дно которой лежит в центре зоны Бриллюэна ; такую зону имеют кристаллы кубической системы A₂B₆, A₃B₅. Как известна такой экстремум характеризуется одной компонентой эффективной массы, т.е. эффективная масса изотропная величина. Изоэнергетическая поверхность такого экстремума – сфера. На поверхности такой сферы лежат концы таких разрешенных волновых векторов, которые имеют одинаковые значения модуля волнового вектора .

Очевидно число состояний, которым соответствуют волновые вектора, модули которых имеют значение от до , равно отношению объема шарового слоя толщиной к объему пространства, приходящемуся на одно квантовое состояние :

(3)

Как известно для сферической изоэнергетической поверхности закон дисперсии имеет параболическую форму:

(4)

, ,

(5)

Подставим (5) в (3) и получим:

(6)

(6) определяет собой число квантовых состояний в кристалле единичного объема, которые занимают электроны с энергией в интервале от до .

(7)

(7) – функция плотности состояний для электронов зоны проводимости. Она определяет собой число состояний в кристалле единичного объема приходящегося на единичный интервал энергии вблизи энергии . Видно, что плотность состояний возрастает с энергией электронов, она больше в кристаллах с большей эффективной массой электронов. Видно, что она не зависит от температуры.

Для дырок валентной зоны функция распределения равна:

(8)

На рисунке площадь заштрихованного прямоугольника равна:

и численно равна числу электронных состояний в интервале энергий .

На зависимости функции плотности состояний от эффективной массы основан эффект Бурштейна-Масса. Он состоит в смещении края оптического поглощения в фиолетовую область спектра по мере легирования кристалла мелкими примесями.

Для примера рассмотрим два кристалла, которые имеют одинаковые характеристики, но разные эффективные массы электронов.

По мере легирования будет возрастать число электронов в зоне проводимости, при данных уровнях легирования интервал энергии, которые занимают электроны в зоне проводимости будет больше у первого кристалла .

Из диаграммы видно, что для межзонных оптических переходов, нужна энергия оптических квантов . Для того, чтобы наблюдать эффект Бурштейна-Масса необходимо выбирать полупроводники с малыми эффективными массами.

У непрямозонных полупроводников: германий, кремний, дно зоны проводимости лежит не в центре зоны Бриллюэна. В общем случае такие экстремумы характеризуются тремя компонентами эффективной массы: .

В этом случае выражение для функции плотности имеет вид:

(9)

где – эффективная масса плотности состояний, M – число полных эллипсоидов (долин), M_Si = 6, M_Ge = 4.

У Ge экстремум зоны проводимости лежит на границе зоны Бриллюэна в точках L на линии [111]. Так как точки L лежат на границе зоны Бриллюэна, то на нее приходится 8 полудолин, т.е. 4 полных долины.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук – маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник

• ← что такое сатурация в медицине показатели нормы как измерить
• что делать если хламидиоз не поддается лечению →