Что такое чистый сдвиг

Научная электронная библиотека

Лекция 6. СДВИГ (СРЕЗ)

Понятие чистого сдвига. Элементы конструкций, работающих в условиях чистого сдвига. Деформации, напряжения. Площадки чистого сдвига. Закон Гука при сдвиге. Условие прочности при сдвиге (срезе).

Рис. 16. Расчетная схема при сдвиге

Используя метод сечений (разрезая стержень между силами P), можно установить, что в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – поперечная сила Q.

Такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила, называют чистым сдвигом.

Мера скольжения одного поперечного сечения относительно другого – касательные напряжения τ.

Принято, что касательные напряжения распределены по всей площади поперечного сечения равномерно. Если в поперечном сечении стержня площадью A возникает внутренняя поперечная сила Q = P, то касательные напряжения в любой точке этого сечения будут равны: T = Q/A = P/A.

Рис. 17. Чистый сдвиг

При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол α с вертикальной исходной площадкой равны:

Касательные напряжения τ, приведенные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Таким образом, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и они образуют с главными площадками углы, равные 45°.

При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

Касательные напряженияτ измеряются в таких же единицах, что и нормальные напряжения: мегапаскалях, килоньютонах на квадратные сантиметры, килограммах силы на квадратный сантиметр (МПа, кН/см2, кгс/см2) и т.п.

В результате сдвига одно поперечное сечение стержня смещается относительно другого на величину δ, называемую абсолютным сдвигом.

Рис. 18. Углы сдвига

Малый угол γ, на который изменится первоначально прямой угол, – относительный сдвиг, выражается в радианах. Угол сдвига γ пропорционален касательным напряжениям. Математическая зависимость между углом сдвига и касательным напряжением называется законом Гука при сдвиге:

Зависимость между модулем сдвига и модулем Юнга:

Значение коэффициента Пуассона μ находится в пределах 0 ≤ μ ≤ 0,5.

Источник

Чистый сдвиг и его особенности

Чистый сдвиг и его особенности

Чистым сдвигом называют такое напряженное состояние, когда на гранях элементарного, выделенного из бруса элемента действуют только касательные напряжения. Такие грани называют площадками чистого сдвига.

Пусть, например, к брусу приложены перпендикулярно его оси две равные по модулю, но противоположно направленные силы , действующие весьма близко друг от друга (рис. 2.38, а). При достаточной величине этих сил произойдет срез — отделение левой части бруса от правой по некоторому сечению .

Деформации среза в зоне действия усилий предшествует перекашивание прямых углов параллелепипеда (рис. 2.38, б). Эту деформацию называют сдвигом. На гранях параллелепипеда возникают касательные напряжения, направление которых определяется законом парности касательных напряжений. Величина касательного напряжения

где — площадь поперечного сечения бруса.

Фактически распределение касательных напряжений по сечению не является равномерным. Касательные напряжения в узких краевых зонах приближаются к нулю. Однако это обстоятельство при практических расчетах можно не принимать во внимание, так как оно относится к числу местных отклонений и область этих отклонений мала по сравнению с общими размерами сечения.

Другим примером, иллюстрирующим состояние чистого сдвига, может служить скручивание тонкостенной трубки (рис. 2.39, а). Под действием внешних моментов концевые сечения трубы совершают относительный поворот, вследствие чего стенки трубы испытывают деформацию сдвига, а ее образующие наклоняются. Разрезав мысленно трубу по одной из образующих и развернув ее, увидим, что труба представляет собой пластинку, подверженную чистому сдвигу (рис2.39, б).

Исследуем напряженное состояние при чистом сдвиге с помощью формул (2.19) и (2.20). В этих формулах нормальные напряжения и на площадках чистого сдвига равны нулю. Это имеет место при или .

Анализ указанных зависимостей показывает, что при чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и противоположны по направлению: .

Таким образом, при чистом сдвиге наблюдается «закон парности нормальных напряжений», по форме аналогичный закону парности касательных напряжений. На взаимно перпендикулярных площадках действуют главные напряжения, равные по величине, но имеющие противоположный знак.

Сдвиг является частным случаем двухосного напряженного состояния, так как два главных напряжения не равны нулю.

Из выведенных ранее формул, следует, что главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45° и располагаются так, как показано на рис. 2.40.

Рассмотрим характерные особенности деформации при сдвиге (см. рис. 2.38, б).

Под действием касательных напряжений грань ей смещается относительно грани вниз и занимает новое положение . Величина сдвига относительно плоскости носит название абсолютного или линейного сдвига. Величина абсолютного сдвига зависит от расстояния между параллельными плоскостями. Величину называют относительным, сдвигом. Угол у, на который поворачиваются сечения и в процессе деформации, носит название угла сдвига. Угол сдвига в пределах упругой деформации очень мал, поэтому тангенс угла может быть заменен самим углом:

Следовательно, угол сдвига характеризует относительную деформацию при сдвиге.

Для деформации чистого сдвига закон Гука выражается соотношением

где — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости второго рода; — относительный сдвиг.

Модуль упругости второго рода имеет размерность напряжения, так как относительный сдвиг является величиной безразмерной. Величины модулей упругости первого и второго рода связаны следующей формулой, вывод которой здесь не приводится:

где — модуль упругости первого рода; — коэффициент Пуассона.

Отметим, что модуль упругости второго рода для стали , для алюминия .

Подставив в формулу (2.68) значение касательного напряжения по уравнению (2.66) и относительный сдвиг по выражению (2.67), получим еще один вариант формулы закона Гука для сдвига:

Конструкцию на прочность при деформации сдвига рассчитывают так, чтобы действительные касательные напряжения были меньше допускаемых.

Условие прочности при срезе имеет вид

Допускаемое напряжение при срезе обычно принимается как некоторая часть допускаемого напряжения того же материала при растяжении. Для стали, меди и алюминия ; для чугуна можно принимать .

Эта теория взята со страницы лекций по предмету «прикладная механика»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Чистый сдвиг

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб. d — абсолютный сдвиг, g » δ/а — относительный сдвиг или угол сдвига.

Закон Гука при сдвиге:γ=τ/G или τ=Gγ. G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге.G=E/2(1+µ) (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: U=δQ/V=Q 2 a/2GF.

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

τ=P/ℓδ τ =M_вн/2πR 2 δ σ_α= τ ABsinα+ τ BCcosα σ τ _α= τ ABcosα- τ BCsinα

AB=AC cos α, BC=AC sin α.

Отсюда следует, что: σ_α= τ sin2α τ _α= τ cos2α

15. Центртяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

; ; , где Р=åр_k, x_k,y_k,z_k – координаты точек приложения сил тяжести р_k. Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:

, DF_k – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то . Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси. Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2a: ; кругового сектора: ; треугольник: в точке пересеч. медиан (1/3 медианы от основания).

Статический момент площади плоской фигуры – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси. S_x=åy_i×DF_i= F×y_c; S_y=åx_i×DF_i= F×x_c.

Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести:

Т.1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Т.2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Т.3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести, V=2px_cF.

Т.4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести, F=2px_cL.

Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда: и т.д. — способ отрицательных площадей (объемов).

24.Теорема о сложении скоростей: , ; рчастныепоэтому скорость его конца и т.д., Þ: ,

; – относительная скорость.

; переносная скорость: , поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v_e) и относительной (v_r) скоростей , модуль: .

25.Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения : 1) – ускорение полюса О;

2)

3) – относительное ускорение точки;

4) ,

получаем: .

Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: – ускорение полюса О; – вращательное уск., – осестремительное уск., т.е. .

23.Мгновенный центр ускорений– точка (Q) плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для его построения из точки А откладываем под углом к ускорению а_А отрезок , при этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения e. Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгн.ц. ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и м.ц.у. один и тот же угол : . Мгновенный центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.

20.Движение твердого тела. При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей.

. Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то

. При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: Y=f₁(t); q=f₂(t); j=f₃(t). Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловая скорость прецессии , угл. скорость нутации , угл. ск. собственного вращения . ,

– модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: – кинематические уравнения Эйлера.

27.Теорема об изменении количества движения матер. точки. – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д.

29.Работа силы. Мощность. Элементарная работа dA = F_tds, F_t – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA = Fdscosa.

Если a – острый, то dA>0, тупой – o : dA=0. dA= – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . Если сила постоянна, то = F×s×cosa. Единицы работы:[1 Дж (джоуль) = 1 Нм].

, т.к. dx= dt и т.д., то .

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А₁+А₂+…+А_n.

Работа силы тяжести: , >0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы упругости: –работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа силы трения: если сила трения const, то — всегда отрицательна, F_тр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: N=A/t. [1 Вт (ватт) =1 Дж/с, 1 кВт (киловатт) =

= 1000 Вт, 1л.с.(лошадиная сила) = 75 кгс×м/с = 736 Вт].

30.Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и F_x=F_x(x,y,z) и т.д. Свойства стационар. силовых полей:

1) Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М₁ и конечного М₂ положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.

2) Имеет место равенство А_2,1= – А_1,2. Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.

Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.

Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями назыв. потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, А_1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:

. Функция U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) назыв. силовой функцией. Элементарная работа сил поля: dА=ådА_i= dU. Если силовое поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении , т.е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Потенциальная энергия П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П₀= 0. П=П(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n). Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий А_1,2= П₁– П₂. Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на постоянную величину U₀: А_1,0= П =U₀ – U. Потенциальная энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния r точки массой m до центра: , . Центральной является гравитационная сила ,

, l – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: , l₁ и l₂ – деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.

Источник